Exercise 3.5: PM and FM for Rectangular Signals

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Signalverläufe bei PM und FM

Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, welches im oberen Diagramm dargestellt ist.

Dieses kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$.

Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation (WM), die jeweils in der Form

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\psi (t) )$$

darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation (PM) mit der Winkelfunktion

$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$

und der Frequenzmodulation (FM), bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:

$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$

$K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als Phase Shift Keying (PSK) und entsprechend die Frequenzmodulation als Frequency Shift Keying ' (FSK) bezeichnet.

Fragebogen

1

Welches der Signale ist durch Phasenmodulation, welches durch Frequenzmodulation entstanden?

	$s_1(t)$ beschreibt eine Phasenmodulation.
	$s_1(t)$ beschreibt eine Frequenzmodulation.

2

Wie groß ist die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$, die man ohne Nachrichtensignal   ⇒   $q(t) = 0$ messen könnte?

$ϕ_{\rm T} \ = \ $ $\ \rm Grad$

3

Welche Trägerfrequenz (bezogen auf $1/T$) wurde bei den Grafiken verwendet?

$f_{\rm T} · T \ = \ $

4

Die Phase des PM–Signals ist $±90^\circ$. Wie groß ist die Modulatorkonstante?

$K_{\rm PM} \ = \ $ $\ \rm V^{-1}$

5

Wie groß ist der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ des FM–Signals, bezogen auf $1/T$?

$Δf_{\rm A} · T \ = \ $

6

Wie groß ist die FM–Modulatorkonstante?

$K_{\rm FM} \ = \ $ $\ \rm (Vs)^{-1}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist die Antwort 2:

• Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$.
• Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$.

(2)  Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden.

• Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall $T$ erkennt man, dass $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$ verwendet wurde.
• Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt $f_{\rm T}$ nicht direkt auf. Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls $f_{\rm T} · T = 6$ zugrunde liegt.

(4)  Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt:

$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten:   $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$ Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:

$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$

(6)  Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden: $$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$ Mit $Δf_A · {\rm A} = 2$ erhält man somit

$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$