Exercise 3.12: Trellis Diagram for Two Precursors

Trellisdiagramm für zwei Vorläufer

Wir gehen von den Grundimpulswerten $g_0$ , $g_{\rm –1}$ und $g_{\rm –2}$ aus:

Das bedeutet, dass die Entscheidung über das Symbol $a_{\rm \nu}$ auch durch die nachfolgenden Koeffizienten $a_{\rm \nu +1}$ und $a_{\rm \nu +2}$ beeinflusst wird.
Damit sind für jeden Zeitpunkt $\nu$ genau acht Fehlergrößen $\varepsilon_{\rm \nu}$ zu berechnen, aus denen die minimalen Gesamtfehlergrößen ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(00)$ , ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ , ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(10)$ und ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(11)$ berechnet werden können.
Hierbei liefert beispielsweise ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ Information über das Symbol $a_{\rm \nu}$ unter der Annahme, dass $a_{\rm \nu +1} = 0$ und $a_{\rm \nu +2} = 1$ sein werden.
Die minimale Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(01)$ ist hierbei der kleinere Wert aus dem Vergleich von

$[{\it \Gamma}_{\nu-1}(00) + \varepsilon_{\nu}(001)] \hspace{0.15cm}{\rm und} \hspace{0.15cm}[{\it \Gamma}_{\nu-1}(10) + \varepsilon_{\nu}(101)].$

Zur Berechnung der minimalen Gesamtfehlergröße ${\it \Gamma}_2(10)$ in den Teilaufgaben (1) und (2) soll von folgenden Zahlenwerten ausgegangen werden:

unipolare Amplitudenkoeffizienten: $a_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$ ,
Grundimpulswerte $g_0 = 0.5$ , $g_{\rm –1} = 0.3$ , $g_{\rm –2} = 0.2$ ,
anliegender Detektionsabtastwert: $d_2 = 0.2$ ,
Minimale Gesamtfehlergrößen zum Zeitpunkt $\nu = 1$ :

${\it \Gamma}_{1}(00) = 0.0,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(01) = 0.2, \hspace{1cm} {\it \Gamma}_{1}(10) = 0.6,\hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) = 1.2 \hspace{0.05cm}.$

In der Grafik ist das vereinfachte Trellisdiagramm für die Zeitpunkte $\nu = 1$ bis $\nu = 8$ dargestellt.

Blaue Zweige kommen entweder von ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(00)$ oder von ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(01)$ und kennzeichnen eine hypothetische „ $0$ ”.
Dagegen weisen alle roten Zweige – ausgehend von den Zuständen ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(10)$ bzw. ${\it \Gamma}_{\rm \nu –1}(11)$ – jeweils auf das Symbol „ $1$ ” hin.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Viterbi–Empfänger.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Alle Größen sind hier normiert zu verstehen. Gehen Sie izudem von unipolaren und gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten aus: ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
Die Thematik wird auch im Interaktionsmodul Eigenschaften des Viterbi–Empfängers behandelt.

Fragebogen

$\varepsilon_2(010) \ = \$

$\varepsilon_2(011) \ = \$

$\varepsilon_2(110) \ = \$

$\varepsilon_2(111) \ = \$

${\it \Gamma}_2(10) \ = \$

${\it \Gamma}_2(11) \ = \$

	Die ersten sieben Symbole sind $1011010$ .
	Die ersten sieben Symbole sind $1101101$ .
	Das letzte Symbol $a_8 = 1$ ist sicher.
	Über das Symbol $a_8$ ist noch keine endgültige Aussage möglich.

Musterlösung

Solution

(1) Die erste Fehlergröße wird wie folgt berechnet:

$\varepsilon_{2}(010) = [d_0 - 0 \cdot g_0 - 1 \cdot g_{-1}- 0 \cdot g_{-2}]^2= [0.2 -0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.01} \hspace{0.05cm}.$

Entsprechend gilt für die weiteren Fehlergrößen:

$\varepsilon_{2}(011) \ = \ [0.2 -0.3- 0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.09}\hspace{0.05cm},$

$\varepsilon_{2}(110) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.36}\hspace{0.05cm},$

$\varepsilon_{2}(111) \ = \ [0.2 -0.5- 0.3-0.2]^2\hspace{0.15cm}\underline {=0.64} \hspace{0.05cm}.$

(2) Die Aufgabe ist, jeweils den minimalen Wert von zwei Vergleichswerten zu finden:

${\it \Gamma}_{2}(10) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(010), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(110)\right] = {\rm Min}\left[0.2+ 0.01, 1.2 + 0.36\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.21} \hspace{0.05cm},$

${\it \Gamma}_{2}(11) \ = \ {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{1}(01) + \varepsilon_{2}(011), \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{1}(11) + \varepsilon_{2}(111)\right] = {\rm Min}\left[0.2+ 0.09, 1.2 + 0.64\right]\hspace{0.15cm}\underline {= 0.29} \hspace{0.05cm}.$

(3) Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

Die Folge $1011010$ erkennt man aus dem durchgehenden Pfad: „Rot – Blau – Rot – Rot – Blau – Rot – Blau”.
Dagegen kann über das Symbol $a_8$ zum Zeitpunkt $\nu = 8$ noch keine endgültige Aussage gemacht werden:
Nur unter der Hypothese $a_9 = 1$ und $a_{\rm 10} = 1$ würde man sich für $a_8 = 0$ entscheiden, bei anderen Hypothesen für $a_8 = 1$ .