Exercise 2.1Z: Different Signal Courses

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Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale (A), (B) und (C) sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Der Momentanwert dieser Signale $x(t)$ wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.

Im Einzelnen sind dargestellt:

(A):   ein dreieckförmiges periodisches Signal,

(B):   das Signal (A) nach Einweggleichrichtung,

(C):   ein rechteckförmiges periodisches Signal,

(D):   ein rechteckförmiges Zufallssignal,

(E):   das Zufallssignal  (D)  nach  AMI-Codierung; hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit „$+2\hspace{0.03cm}\rm V$” und „$-2\hspace{0.03cm} \rm V$” codiert wird.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Vom Zufallsexperiment zurZufallsgröße.

Fragebogen

1

Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße? Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl $M$.

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

2

Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschließlich) kontinuierliche Zufallsgröße?

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

3

Welche Zufallsgrößen besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?

	Signal (A)
	Signal (B)
	Signal (C)
	Signal (D)
	Signal (E)

4

Für das Signal (D) wird die relative Häufigkeit $h_0$ empirisch über $100\hspace{0.03cm}000$ Binärsymbole ermittelt. Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen $0.49$ und $0.51$ liegt?

${\rm Min[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ ] \ =$

5

Wieviele Symbole ($N_\min$) müsste man für diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen 0.499 und 0.501” größer als $99\%$ ist?

$N_\min \ = $ $\ \cdot 10^9$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Zufallsgrößen (C) und (D) sind binär ($M= 2$), während die Zufallsgröße (E) dreiwertig ist. Richtig sind die Lösungsvorschläge 3, 4 und 5.

(2)  Die Zufallsgröße (A) ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$ mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen. Alle anderen Zufallsgrößen sind diskret.

(3)  Nur die Zufallsgröße (B) hat einen diskreten Anteil bei $0\hspace{0.03cm}\rm V$ und außerdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen $0\hspace{0.03cm} \rm V$ und $+2\hspace{0.03cm}\rm V$).

(4)  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt: $$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$

Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit $h_0$ von der Wahrscheinlichkeit $p_0 = 0.5$ betragsmäßig um mehr als $0.01$ abweicht, mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar: $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$

(5)  Mit $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$ und $\varepsilon = 0.001$ gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen: $${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$ Aufgelöst nach $N$ erhält man: $$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$