Exercise 3.1Z: Influence of the Message Phase in Phase Modulation

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Zwei PM–Signalverläufe

Wir betrachten die Phasenmodulation verschiedener Schwingungen

$$ q(t) = \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$

Das Quellensignal ist hierbei normiert (Amplitude $1$) dargestellt, so dass das phasenmodulierte Signal mit dem Modulationsindex (bzw. Phasenhub) $η$ wie folgt beschrieben werden kann:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot q(t) \right)\hspace{0.05cm}.$$

• Das in der oberen Grafik dargestellte Signal $s_1(t)$ ist durch die Parameterwerte $ϕ_{\rm N} = -90^\circ$ und $η_1 = 2$ charakterisiert. Die Frequenz $f_{\rm N}$ dieses sinusförmigen Quellensignals soll ebenso wie die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ aus dem dargestellten Signalausschnitt der Dauer $200 \ \rm μs$ ermittelt werden.

• Das Signal $s_2(t)$ unterscheidet sich von $s_1(t)$ möglicherweise durch eine andere Nachrichtenphase $ϕ_{\rm N}$ und einen anderen Modulationsindex $η$. Alle anderen Systemparameter sind gegenüber $s_1(t)$ unverändert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Signalverläufe bei Phasenmodulation.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Frequenz $f_{\rm N}$ des Nachrichtensignals.

$f_{\rm N} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Wie groß ist die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$?

$f_{\rm T} \ = \ $ $\ \rm kHz$

3

Wie groß ist die maximale Phasenabweichung $ϕ_{\rm max}$ zwischen $z(t)$ und $s(t)$?

$ϕ_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm rad$

4

Zu welcher maximalen Zeitverschiebung der Nulldurchgänge führt diese Phase?

$Δt_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm μs$

5

Bestimmen Sie den Modulationsindex $η_2$ für das Signal $s_2(t).

$η_2 \ = \ $

6

Welche Phasenlage $ϕ_{\rm N2}$ hat das für $s_2(t)$ zugrunde liegende Quellensignal $q(t)$?

$ϕ_{\rm N2} \ = \ $ $\ \rm Grad$

Musterlösung

Solution

(1)  Man erkennt aus der Skizze, dass der dargestellte Signalausschnitt der Dauer $200 \ \rm μs$ genau der Periodendauer des sinusförmigen Quellensignals entsprechen muss. Daraus folgt $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \ \rm kHz}$.

• Zu den Zeitpunkten $t = 0$, $t = 100 \ \rm μs$ und $t = 200 \ \rm μs$ sind die Signale $z(t)$ und $s(t)$ phasensynchron.
• In der ersten Halbwelle von $q(t)$ kommen die Nulldurchgänge von $s(t)$ etwas früher als die des Trägersignals $z(t)$   ⇒   positive Phase.
• Dagegen ist im Bereich von $t = 100 \ \rm μs$ bis $t = 200 \ \rm μs$ die Phase $ϕ(t) < 0$.

(2)  Es gilt $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm kHz}$, da im dargestellten $z(t)$–Signalausschnitt der Dauer $200 \ \rm μs$ genau $10$ Perioden abgezählt werden können.

(3)  Die maximale relative Phasenabweichung beträgt $ϕ_{\rm max} = η_1/(2π)\hspace{0.15cm}\underline{ ≈ 0.318}$.

(4)  Da die Periodendauer des Trägers $T_0 = 20 \ \rm μs$ ist, erhält man $Δt_{\rm max} = ϕ_{\rm max} ·T_0\hspace{0.15cm}\underline{ ≈ 6.37 \ \rm μs}$.

(5)  Die maximale Phasenabweichung (Verschiebung der Nulldurchgänge) ist bei $s_2(t)$ genau so groß wie bei $s_1(t)$. Daraus kann auf $η_2 = η_1\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$ geschlossen werden.

(6)  Das Signal $s_2(t)$ ist gegenüber $s_1(t)$ um $25 \ \rm μs$ nach rechts verschoben. Deshalb muss auch für die Quellensignale gelten:

$$ q_2(t) = q_1(t - 25\,{\rm \mu s}) = \cos(2 \pi f_{\rm N} (t - 25\,{\rm \mu s}) ) = \cos (\omega_{\rm N} \cdot t - 0.75 \cdot \pi)\hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht der Phasenlage $ϕ_{\rm N2}\hspace{0.15cm}\underline{ = -135^\circ}$.