Two-dimensional Gaussian Random Variables

Programmbeschreibung

Dieses Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen $XY$, gekennzeichet durch die Standardabweichungen (Streuungen) $\sigma_X$ und $\sigma_Y$ sowie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt: $m_X = m_X = 0$.

Das Applet zeigt

die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF)$ $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$ in dreidimensioanaler Darstellung sowie deren Höhenlinien,
die zweidimensionale Verteilungsfunktion $\rm (2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF)$ $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$ als 3D-Plot.

Theoretischer Hintergrund

Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ⇒ 2D–WDF

Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen $X$ und $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer zweidimensionalen Zufallsgröße $XY =(X, Y)$ zusammenzufassen. Dann gilt:

$\text{Definition:}$ Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF, englisch: Probability Density Function, kurz: PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße $XY$ an der Stelle $(x, y)$

$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X \le x + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big] }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$

Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz $\text{2D-WDF}$ ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
$∩$ kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
$X$ und $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und $x \in X$ sowie $y \in Y$ geben Realisierungen hiervon an.
Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im Theorieteil.

Anhand dieser 2D–WDF $f_{XY}(x, y)$ werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße $XY$ vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen ⇒ Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:

$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y ,$$

$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x .$$

Diese beiden Randdichtefunktionen $f_X(x)$ und $f_Y(y)$

liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten $X$ bzw. $Y$,
nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.

2D–WDF bei Gaußschen Zufallsgrößen

Für den Sonderfall Gaußscher Zufallsgrößen – der Name geht auf den Wissenschaftler Carl Friedrich Gauß zurück – können wir weiterhin vermerken:

Die Verbund–WDF einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße $XY$ mit Mittelwerten $m_X = 0$, $m_Y = 0$ und Korrelationskoeffizienten $ρ = ρ_{XY}$ lautet:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho^2}}\ \cdot\ \exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot (1-\it\rho^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg]\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}-1 \le \rho \le +1.$$

Ersetzt man $x$ durch $(x - m_X)$ sowie $y$ durch $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
Die Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$ einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen $σ_X$ bzw. $σ_Y$.
Bei unkorrelierten Komponenten $X$ und $Y$ muss in obiger Gleichung $ρ = 0$ eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\hspace{0.05cm}\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

$\text{Fazit:}$ Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF $f_{XY}(x, y)$ folgt aus der Unkorreliertheit auch direkt die statistische Unabhängigkeit:

$$f_{XY}(x,y)= f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y) . $$

Bitte beachten Sie:

Bei keiner anderen WDF kann aus der Unkorreliertheit auf die statistische Unabhängigkeit geschlossen werden.
Man kann aber stets ⇒ für jede beliebige 2D–WDF $f_{XY}(x, y)$ von der statistischen Unabhängigkeit auf die Unkorreliertheit schließen, weil:
Sind zwei Zufallsgrößen $X$ und $Y$ völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine linearen Abhängigkeiten
⇒ sie sind dann auch unkorreliert.

Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen

rechts

Aus der Bedingungsgleichung $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$ können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.

Sind die Komponenten $X$ und $Y$ unkorreliert $(ρ = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:

$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$

Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:

Kreise (falls $σ_X = σ_Y$, grüne Kurve), oder
Ellipsen (für $σ_X ≠ σ_Y$, blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.

Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen

Bei korrelierten Komponenten $(ρ ≠ 0)$ sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall $σ_X = σ_Y$. Ausnahme: $(ρ=\pm 1)$ ⇒ Diracwand; siehe Aufgabe 4.4 im Buch „Stochastische Signaltheorie”, Teilaufgabe (5).

Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen

Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:

$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$

Die Grafik zeigt in hellerem Blau zwei Höhenlinien für unterschiedliche Parametersätze, jeweils mit $ρ ≠ 0$.

Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist durchgehend rot eingezeichnet.

Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:

Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten $ρ$ auch vom Verhältnis der beiden Streuungen $σ_X$ und $σ_Y$ ab.
Der Neigungswinkel $α$ der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der $x$–Achse hängt ebenfalls von $σ_X$, $σ_Y$ und $ρ$ ab:

$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$

Die (rote) Korrelationsgerade $y = K(x)$ einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
$K(x)$ kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet.

Zweidimensionale Verteilungsfunktion ⇒ 2D–VTF

$\text{Definition:}$ Die 2D-Verteilungsfunktion ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der eindimensionalen Verteilungsfunktion (VTF):

$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ] .$$

Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der 1D-VTF und der 2D-VTF:

Der Funktionalzusammenhang zwischen 2D–WDF und 2D–VTF ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:

$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta .$$

Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach $x$ und $y$ angeben: Stimmt das?

$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$

Bezüglich der Verteilungsfunktion $F_{XY}(x, y)$ gelten folgende Grenzwerte:

$$F_{XY}(-\infty,-\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,+\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm} F_{XY}(+\infty,y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}+\infty,+\infty) = 1.$$

Im Grenzfall $($unendlich große $x$ und $y)$ ergibt sich demnach für die 2D-VTF der Wert $1$. Daraus erhält man die Normierungsbedingung für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1 . $$

$\text{Fazit:}$ Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:

Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.

Ab hier: Vorratslager

Erwartungswerte zweidimensionaler Zufallsgrößen

Ein Sonderfall der statistischen Abhängigkeit ist die Korrelation.

$\text{Definition:}$ Unter Korrelation versteht man eine lineare Abhängigkeit zwischen den Einzelkomponenten $x$ und $y$.

Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.

Zur quantitativen Erfassung der Korrelation verwendet man verschiedene Erwartungswerte der 2D-Zufallsgröße $(x, y)$.

Diese sind analog definiert zum eindimensionalen Fall

gemäß Kapitel 2 (bei wertdiskreten Zufallsgrößen)
bzw. Kapitel 3 (bei wertkontinuierlichen Zufallsgrößen):

$\text{Definition:}$ Für die (nichtzentrierten) Momente gilt die Beziehung:

$$m_{kl}={\rm E}\big[x^k\cdot y^l\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\hspace{0.05cm}^{k} \cdot y\hspace{0.05cm}^{l} \cdot f_{xy}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y.$$

Die beiden linearen Mittelwerte sind somit $m_x = m_{10}$ und $m_y = m_{01}.$

$\text{Definition:}$ Die auf $m_x$ bzw. $m_y$ bezogenen Zentralmomente lauten:

$$\mu_{kl} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\hspace{0.05cm}^k \cdot (y-m_{y})\hspace{0.05cm}^l\big] .$$

In dieser allgemein gültigen Definitionsgleichung sind die Varianzen $σ_x^2$ und $σ_y^2$ der zwei Einzelkomponenten durch $\mu_{20}$ bzw. $\mu_{02}$ mit enthalten.

$\text{Definition:}$ Besondere Bedeutung besitzt die Kovarianz $(k = l = 1)$, die ein Maß für die lineare statistische Abhängigkeit zwischen den Zufallsgrößen $x$ und $y$ ist:

$$\mu_{11} = {\rm E}\big[(x-m_{x})\cdot(y-m_{y})\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{x}) (y-m_{y})\cdot f_{xy}(x,y) \,{\rm d}x \, {\rm d}y .$$

Im Folgenden bezeichnen wir die Kovarianz $\mu_{11}$ teilweise auch mit $\mu_{xy}$, falls sich die Kovarianz auf die Zufallsgrößen $x$ und $y$ bezieht. Die Kovarianz hängt wie folgt mit dem nichtzentrierten Moment $m_{11} = m_{xy} = {\rm E}\big[x · y\big]$ zusammen:

$$\mu_{xy} = m_{xy} -m_{x }\cdot m_{y}.$$

Anmerkung:

Diese Gleichung ist für die numerische Auswertung enorm vorteilhaft, da $m_{xy}$, $m_x$ und $m_y$ aus den Folgen $〈x_v〉$ und $〈y_v〉$ in einem Durchlauf gefunden werden können.
Würde man dagegen die Kovarianz $\mu_{xy}$ entsprechend der oberen Definitionsgleichung berechnen, so müsste man in einem ersten Durchlauf die Mittelwerte $m_x$ und $m_y$ ermitteln und dann in einem zweiten Durchlauf den Erwartungswert ${\rm E}\big[(x - m_x) · (y - m_y)\big]$.

$\text{Beispiel 4:}$ In den beiden ersten Zeilen der folgenden Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen $〈x_ν〉$ und $〈y_ν〉$ eingetragen. In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte $x_ν · y_ν$ angegeben.

Beispielhafte 2D-Erwartungswerte

Die Tabelle zeigt folgenden Sachverhalt:

Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man $m_x =0.5$, $m_y = 1$ und $m_{xy} = 0.69$.
Daraus ergibt sich die Kovarianz zu $\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$
Ohne Kenntnis der Gleichung $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$ hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte $m_x$ und $m_y$ ermitteln müssen, um im zweiten Durchlauf die Kovarianz $\mu_{xy}$ als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.

Korrelationskoeffizient

Man spricht von „vollständiger Korrelation”, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ durch die Gleichung $y = K · x$ ausgedrückt wird. Dann ergibt sich für die Kovarianz:

$\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$ bei positivem Wert von $K$,
$\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$ bei negativem $K$–Wert.

Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

$\text{Definition:}$ Der Korrelationskoeffizient ist der Quotient aus Kovarianz $\mu_{XY}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_X$ und $σ_Y$ der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

Der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$ weist folgende Eigenschaften auf:

Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{xy} ≤ +1$.
Sind die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ unkorreliert, so ist $ρ_{xy} = 0$.
Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ ist $ρ_{xy}= ±1$ ⇒ vollständige Korrelation.
Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.
Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $y$ mit steigendem $x$ im Mittel kleiner wird.

Gaußsche 2D-WDF mit Korrelation

$\text{Beispiel 5:}$ Es gelten folgende Voraussetzungen:

Die betrachteten Komponenten $x$ und $y$ besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
Die beiden Streuungen sind unterschiedlich $(σ_y < σ_x)$.
Der Korrelationskoeffizient beträgt $ρ_{xy} = 0.8$.

Im Unterschied zum Beispiel 2 mit statistisch unabhängigen Komponenten ⇒ $ρ_{xy} = 0$ (trotz $σ_y < σ_x$) erkennt man, dass hier bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.

Korrelationsgerade

Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade

$\text{Definition:}$ Als Korrelationsgerade bezeichnet man die Gerade $y = K(x)$ in der $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch Regressionsgerade genannt.

Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:

Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$–Richtung betrachtet und über alle $N$ Punkte gemittelt – ist minimal:

$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:

$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$

Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$–Achse einnimmt, beträgt:

$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$

Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von $y$ auf $x$ handelt.

Die Regression in Gegenrichtung – also von $x$ auf $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in $x$–Richtung.

Das interaktive Applet Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen (falls $σ_y \ne σ_x$) für die Regression von $x$ auf $y$ ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:

$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$

Versuchsdurchführung

Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Hide solution”.
Aufgabenstellung und Lösung in Englisch.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

In der folgenden Beschreibung bedeutet

Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).

(1) Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=5, \ p=0.4)$ und Rot: Binomialverteilung $(I=10, \ p=0.2)$.

Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=0)$ und ${\rm Pr}(z=1)$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(z=0)=0.6^5=7.78\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.4 \cdot 0.6^4=25.92\%;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(z=0)=0.8^10=10.74\%, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z=1)=0.2 \cdot 0.8^9=26.84\%.$

(2) Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(3 \le z \le 5)$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Es gilt }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z=3) + {\rm Pr}(z=4) + {\rm Pr}(z=5)\text{, oder } {\rm Pr}(3 \le z \le 5) = {\rm Pr}(z \le 5) - {\rm Pr}(z \le 2)$.

$\hspace{1.85cm}\text{Blau: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2304+ 0.0768 + 0.0102 =1 - 0.6826 = 0.3174;$

$\hspace{1.85cm}\text{Rot: }{\rm Pr}(3 \le z \le 5) = 0.2013 + 0.0881 + 0.0264 = 0.9936 - 0.6778 = 0.3158.$

(3) Es gelten weiter die Einstellungen von (1). Wie unterscheiden sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma$ der beiden Binomialverteilungen?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1} = I \cdot p\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} m_\text{1, Blau} = 5 \cdot 0.4\underline{ = 2 =} \ m_\text{1, Rot} = 10 \cdot 0.2; $

$\hspace{1.85cm}\text{Streuung:}\hspace{0.4cm}\sigma = \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{m_1 \cdot (1-p)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma_{\rm Blau} = \sqrt{2 \cdot 0.6} =1.095 < \sigma_{\rm Rot} = \sqrt{2 \cdot 0.8} = 1.265.$

(4) Setzen Sie Blau: Binomialverteilung $(I=15, p=0.3)$ und Rot: Poissonverteilung $(\lambda=4.5)$.

Welche Unterschiede ergeben sich zwischen beiden Verteilungen hinsichtlich Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Beide Verteilungern haben gleichen Mittelwert:}\hspace{0.2cm}m_\text{1, Blau} = I \cdot p\ = 15 \cdot 0.3\hspace{0.15cm}\underline{ = 4.5 =} \ m_\text{1, Rot} = \lambda$;

$\hspace{1.85cm} \text{Binomialverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Blau}^2 = m_\text{1, Blau} \cdot (1-p)\hspace{0.15cm}\underline { = 3.15} \le \text{Poissonverteilung: }\hspace{0.2cm} \sigma_\text{Rot}^2 = \lambda\hspace{0.15cm}\underline { = 4.5}$;

(5) Es gelten die Einstellungen von (4). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \gt 10)$ und ${\rm Pr}(z \gt 15)$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomial: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - {\rm Pr}(z \le 10) = 1 - 0.9993 = 0.0007;\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(z \gt 15) = 0 \ {\rm (exakt)}$.

$\hspace{1.85cm}\text{Poisson: }\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(z \gt 10) = 1 - 0.9933 = 0.0067;\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \gt 0 \ ( \approx 0)$

$\hspace{1.85cm} \text{Näherung: }\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(z \gt 15) \ge {\rm Pr}(z = 16) = \lambda^{16}/{16!}\approx 2 \cdot 10^{-22}$.

(6) Es gelten weiter die Einstellungen von (4). Mit welchen Parametern ergeben sich symmetrische Verteilungen um $m_1$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \text{Binomialverung mit }p = 0.5\text{: }p_\mu = {\rm Pr}(z = \mu)\text{ symmetrisch um } m_1 = I/2 = 7.5 \ ⇒ \ p_μ = p_{I–μ}\ ⇒ \ p_8 = p_7, \ p_9 = p_6, \text{usw.}$

$\hspace{1.85cm}\text{Die Poissonverteilung wird dagegen nie symmetrisch, da sie sich bis ins Unendliche erstreckt!}$

Zur Handhabung des Applets

(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz

(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

(C) Vorauswahl für roten Parametersatz

(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider

(E) Graphische Darstellung der Verteilungen

(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz

(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz

(H) Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

(J) Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2018 wurde das Programm von Jimmy He (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab