Augendiagramm und ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit

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Programmbeschreibung

Das Applet verdeutlicht

Das Applet verwendet das Framework  Plot.ly Stimmt das?

Theoretischer Hintergrund

Blockschaltbild und Voraussetzungen

Für diese Applet gilt das nebenstehende Modell der binären Basisbandübertragung. Zunächst gelten folgende Voraussetzungen:

Binäres Basisbandübertragungssystem

• Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei mit der Bitrate  $R = 1/T$, wobei  $T$  die Symboldauer angibt.
• Das Sendesignal  $s(t)$  ist zu allen Zeiten  $t$  gleich  $\pm s_0$, das heißt:   Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist NRZ–rechteckförmig mit Amplitude  $s_0$  und Impulsdauer  $T$. Die Spektralfunktion lautet:

$$G_s(f)= s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f \hspace{0.05cm}T)\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$

• Das Empfangssignal sei  $r(t) = s(t) + n(t)$. Der AWGN–Term  $n(t)$  ist durch die (einseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0$  gekennzeichnet. Der Kanalfrequenzgang sei bestmöglich (ideal) und muss nicht weiter berücksichtigt werden:  $H_{\rm K}(f) =1$.
• Das Empfangsfilter mit Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  formt aus  $r(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = d_{\rm S}(t)+ d_{\rm N}(t)$, das vom Entscheider mit Entscheiderschwelle  $E = 0$  zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  ausgewertet wird.
• Bei den Untersuchungen muss zwischen dem Signalanteil  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend vom Sendesignal  $s(t)$  – und dem Rauschanteil  $d_{\rm N}(t)$  unterschieden werden, dessen Ursache das AWGN–Rauschen  $n(t)$  ist. Der Nutzanteil  $d_{\rm S}(t)$  kann als gewichtete Summe von gewichteten und jeweils um  $T$  verschobenen Detektionsgrundimpulsen  $g_d(t) = g_d(t) \star h_{\rm E}(t)$  dargestellt werden mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t) = {\rm F}^{-1}\big[H_{\rm E}(f)\big])$.
• Zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit benötigt man ferner die Varianz  $\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big]$  des Detektionsrauschanteils (bei AWGN–Rauschen):

$$\sigma_d^2 = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 {\rm d}f = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |h_{\rm E}(t)|^2 {\rm d}t.$$

Optimales impulsinterferenzfreies System – Matched-Filter-Empfänger

Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für den hier betrachteten Fall  $H_{\rm K}(f) =1$  mit dem Matched-Filter-Empfänger, also dann, wenn  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit NRZ–Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist. Die Rechteck–Impulsantwort hat dann die Dauer  $T_{\rm E} = T$.

• Der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  ist dann dreieckförmig mit dem Maximum  $s_0$  bei  $t=0$  und es gilt  $g_d(t)=0$  für  $|t| \ge T$. Aufgrund dieser engen zeitlichen Begrenzung kommt es nicht zu Impulsinterferenzen   ⇒   $d_{\rm S}(t = \nu \cdot T) = \pm s_0$   ⇒   der Abstand aller Nutzabtastwerte ist stets $s_0$.

• Mit der Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  als die Fourierrücktransformierte des Frequenzgangs  $H_{\rm E}(f)$  gilt:

$$d_{\rm S}(t) = s(t) \star h_{\rm E} (t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}d_{\rm N}(t) = n(t) \star h_{\rm E} (t)\hspace{0.05cm}.$$

• Das weiße Rauschen  $n(t)$  am Empfängereingang besitzt theoretisch eine unendliche große Leistung (praktisch:   eine unnötig große Leistung). Durch den Tiefpass mit dem Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  wird diese auf den quadratischen Erwartungswert des Detektionsstörsignals („Varianz”) begrenzt:

$$\sigma_d^2 = {\rm E}\big[d_{\rm N}(t)^2\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Allerdings ist zu beachten, dass der Tiefpass  $H_{\rm E}(f)$  nicht nur das Störsignal  $n(t)$, sondern auch das Nutzsignal  $s(t)$  verändert. Dadurch werden die einzelnen Sendeimpulse verbreitert und in ihrer Amplitude vermindert. Nach den Voraussetzungen für dieses Kapitel muss sichergestellt werden, dass es nicht zu  Impulsinterferenzen  kommt.
• Aufgabe des Entscheiders ist es, aus dem wert– und zeitkontinuierlichen Detektionssignal  $d(t)$  das wert– und zeitdiskrete Sinkensignal  $v(t)$  zu erzeugen, das die Nachricht des Sendesignals  $s(t)$  „möglichst gut” wiedergeben sollte.

wird  $($Entscheiderschwelle  $E = 0)$.

ist optimal an den Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  angepasst, so dass Impulsinterferenzen keine Rolle spielen. Impulsinterferenzbehaftete Systeme und die Entzerrungsverfahren werden im dritten Hauptkapitel  dieses Buches  behandelt.

• Die Parameter des (binären) Schwellenwertentscheiders sind optimal gewählt. Aufgrund der bipolaren Signalisierung ist die optimale Entscheiderschwelle  $E = 0$  und wegen der symmetrischen Impulsform liegen die optimalen Detektionszeitpunkte bei  $\nu \cdot T$.

• Das Empfangsfilter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$,  Impulsantwort  $h_{\rm E}(t) = {\rm F}^{-1}\big[H_{\rm E}(f)\big])$  ist optimal an den Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  angepasst, so dass Impulsinterferenzen keine Rolle spielen.

Versuchsdurchführung

Noch überarbeiten

• Wählen Sie zunächst die Nummer  (1, ...)  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• $M=2$  steht für „Binärcode” und  $M=4$  für „Quaternärärcode”.
• „Gauß” steht für bdquo;nach Gauß‐Empfangsfilter”.
• „Rechteck” steht für „Empfangsfilter mit rechteckförmiger Impulsantwort”.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

• Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
• Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

Bis hierher

(1)  Verdeutlichen Sie sich die Entstehung des Augendiagramms für  $M=2 \text{, Gauß, }f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.4$. Wählen Sie hierfür „Einzelschritt”.

•  Dieses Augendiagramm ergibt sich, wenn man das Detektionsnutzsignal  $d(t)$  in Stücke der Dauer  $2T$  unterteilt und diese Teile übereinanderzeichnet.
•  In  $d(t)$  müssen alle „Fünf–Bit–Kombinationen” enthalten sein   ⇒   mindestens  $2^5 = 32$  Teilstücke   ⇒   maximal  $32$  unterscheidbare Linien.
•  Das Diagramm bewertet das Einschwingverhalten des Nutzsignals. Je größer die (halbe) Augenöffnung ist, desto weniger Impulsinterferenzen gibt es.

(2)  Gleiche Einstellung wie in  (1). Zusätzlich gilt  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ {\rm dB}$. Bewerten Sie die ausgegebenen Größen  $ö_{\rm norm}$,  $\sigma_{\rm norm}$  und  $p_{\rm U}$.

•  $ö_{\rm norm}= 0.368$  zeigt an, dass die Symboldetektion durch benachbarte Impulse beeinträchtigt wird. Für impulsinterferenzfreie Binärsysteme gilt  $ö_{\rm norm}= 1$.
•  Die Augenöffnung kennzeichnet nur das Nutzsignal. Der Rauscheinfluss wird durch  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  erfasst. Dieser Wert sollte möglichst klein sein.
•  Die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = {\rm Q}(ö_{\rm norm}/\sigma_{\rm norm}\approx 1.4\%)$  bezieht sich allein auf die „ungünstigsten Folgen”, bei „Gauß” z. B.  $-1, -1, +1, -1, -1$.
•  Andere Folgen werden weniger verfälscht   ⇒   die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  ist (meist) deutlich kleiner als $p_{\rm U}$  (beschreibt den „Worst Case”).

(3)  Die letzten Einstellungen bleiben. Mit welchem  $f_{\rm G}/R_{\rm B}$–Wert wird die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimal? Auch Augendiagramm betrachten.

•  Der minimale Wert  $p_{\rm U, \ min} \approx 6 \cdot 10^{-5}$  ergibt sich für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.8$, und zwar nahezu unabhängig vom eingestellten  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0$.
•  Der normierte Rauscheffektivwert steigt zwar gegenüber dem Versuch  (2)  von  $\sigma_{\rm norm}= 0.168$  auf  $\sigma_{\rm norm}= 0.238$  an.
•  Dies wird aber durch die größere Augenöffnung  $ö_{\rm norm}= 0.91$  gegenüber  $ö_{\rm norm}= 0.368$  mehr als ausgeglichen  $($Vergrößerungsfaktor $\approx 2.5)$.

(4)  Für welche Grenzfrequenzen  $(f_{\rm G}/R_{\rm B})$  ergibt sich eine völlig unzureichende Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 50\%$ ? Auch Augendiagramm betrachten.

•  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B}<0.28$  ergibt sich ein geschlossenes Auge  $(ö_{\rm norm}= 0)$  und damit eine worst–case Fehlerwahrscheinlichkeit in der Größenordnung von  $50\%$.
•  Die Entscheidung über ungünstig eingerahmte Bit muss mehr oder weniger zufällig erfolgen, auch bei guten Rauschverhältnissen  $(10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 16 \ {\rm dB})$.

(5)  Mit welchem $D(\mu)$–Feld erhält man nach der  $\rm IDFT$  im  $d(\nu)$–Feld eine reelle Cosinusfunktion mit der Amplitude $A=1$?

•  Die Diskrete Fouriertransformation ist ebenso wie die herkömmliche Fouriertransformation linear   ⇒   $D(1) = D(15)=0.5$.

(6)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (e): Cosinussignal}$ und anschließende Signalverschiebungen.  Was bewirken diese Verschiebungen im Frequenzbereich? 

•  Eine Verschiebung im Zeitbereich verändert das Cosinussignal zu einer „Harmonischen Schwingung” mit beliebiger Phase.
•  Das  $D(\mu)$–Feld ist weiterhin Null bis auf  $D(1)$  und  $D(15)$. Die Beträge   $|D(1)|$  und  $|D(15)|$  bleiben ebenfalls gleich.
•  Die alleinige Veränderung betrifft die Phase, also die unterschiedliche Aufteilung der Beträge auf Real– und Imaginärteil.

(7)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (f): Sinussignal}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. Wie lautet das Analogon der herkömmlichen  $\text{FT}$ ?

•  Das Sinussignal ergibt sich aus dem Cosinussignal durch vier Zeitverschiebungen. Deshalb gelten alle Aussagen von (6) weiterhin.
•  Für die herkömmliche (zeitkontinuierliche) Fouriertransformation gilt:   $x(t) = \sin(2\pi \cdot f_0 \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = {\rm j}/2 \cdot \big [\delta(f +f_0)-\delta(f -f_0)\big ]$.
•  Der Koeffizient  $D(1)$   ⇒   $($Frequenz: $+f_0)$  ist imaginär und hat den Imaginärteil  $-0.5$. Entsprechend gilt  ${\rm Im}\big [D(15)] =+0.5$   ⇒   $($Frequenz: $-f_0)$.

(8)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$.  Interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zur Aufgabe  (5).

•  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (2f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -2 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +2f_0)$.
•  Für die Frequenz  $2f_0$ steht das Feld  $D(2)$  und für die Frequenz  $-2f_0$ aufgrund der Periodizät das Feld  $D(14) = D(-2)$ :   $D(2) = D(14) = 0.5$.

(9)  Untersuchen Sie nun den Fall  $\text{DFT von Sinussignal (zwei Perioden)}$. Welche Einstellung müssen Sie vornehmen? Interpretieren Sie das Ergebnis.

•  Zum gewünschten Signal kommt man von  $\text{DFT von Signal (g): Cosinussignal (zwei Perioden)}$  mit zwei Verschiebungen. Bei  (7):  Vier Verschiebungen.
•   Das DFT–Ergebnis lautet dementsprechend:  ${\rm Im}\big [D(2)] =-0.5$  und  ${\rm Im}\big [D(14)] =+0.5$.

(10)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von (h) Alternierende Zeitkoeffizienten}$. Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis.

•  Hier lautet die zeitkontinuierliche Fouriertransformation:   $x(t) = \cos(2\pi \cdot (8f_0) \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.15cm}X(f) = 0.5 \cdot \delta(f -8 f_0)+0.5 \cdot \delta(f +8f_0)$.
•  $8f_0$  ist die höchste mit  $N=16$  in der DFT darstellbare Frequenz. Pro Periodendauer gibt es nur zwei Abtastwerte, nämlich  $+1$  und  $-1$.
•  Unterschied zur Teilaufgabe  (5): Aus  $D(1) =0.5$  wird nun  $D(8) =0.5$. Ebenso verschiebt sich  $D(15) =0.5$  auf  $D(8) =0.5$.   Endergebnis:  $D(8) =1$.

(11)  Welche Unterschiede erhält man mit den beiden Einstellungen   $\text{DFT von Signal (i): Diracimpuls}$    sowie   $\text{IDFT von Spektrum (I): Diracspektrum}$ ?

•  Keine! Im ersten Fall sind alle Koeffizienten  $D(\mu) = 1$ (reell); im zweiten Fall dagegen in äquivalenter Weise die Koeffizienten  $d(\nu) = 1$ (reell).

(12)  Gibt es Unterschiede, wenn man im jeweiligen Eingabefeld die reelle  $1$  um jeweils eine Stelle nach unten verschiebt, also  $d(\nu=1) = 1$  bzw.  $D(\mu=1) = 1$?

•  Im ersten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [d(\nu=1)] = 1$  ergibt sich im Frequenzbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $X(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f/f_0}$  mit negativem Vorzeichen.
•  Im zweiten Fall  ⇒   ${\rm Re}\big [D(\mu=1)] = 1$  ergibt sich im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $x(t) = {\rm e}^{+{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$  mit positivem Vorzeichen.
•  Hinweis:   Mit  ${\rm Re}\big [D(\mu=15)] = 1$  ergäbe sich auch im Zeitbereich die komplexe Exponentialfunktion   ⇒   $x(t) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t}$  mit negativem Vorzeichen.

(13)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (k): Dreieckimpuls}$. Interpretieren Sie die  $d(\nu)$–Belegungunter der Annahme  $T_{\rm A} = 1 \ \rm ms$.

•  Wählen Sie die Betragsdarstellung. $x(t)$  ist symmetrisch um  $t=0$  und erstreckt sich von  $-8 \cdot T_{\rm A} = -8 \ \rm ms$  bis  $+8 \cdot T_{\rm A} = +8 \ \rm ms$.
• $d(\nu)$–Belegung:    $d(0)=x(0)= 1$, $d(1)=x(T_{\rm A})= 0.875$, ... ,  $d(8)=x(8T_{\rm A})= 0$,  $d(9)=x(-7T_{\rm A})= 0.125$, ...,  $d(15)=x(-T_{\rm A})= 0.875$.

(14)  Gleiche Einstellung wie bei (13). Interpretieren Sie das DFT–Ergebnis, insbesondere die Koeffizienten $D(0)$,  $D(1)$,  $D(2)$  und  $D(15)$.

• Im Frequenzbereich steht  $D(0)$  für die Frequenz  $f= 0$  und  $D(1)$  und  $D(15)$  für die Frequenzen  $\pm f_{\rm A}$. Es gilt  $f_{\rm A} = 1/(N \cdot T_{\rm A}) = 62.5\text{ Hz}$.
• Für den Wert des kontinuierlichen Spektrums bei  $f=0$  gilt  $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 0.5/(0.0625\text{ kHz}) = 8\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
• Die erste Nullstelle des  ${\rm si}^2$–förmigen Spektrums  $X(f)$  tritt bei  $2 \cdot f_{\rm A}= 125\text{ Hz}$ auf. Die weiteren Nullstellen sind äquidistant.

(15)  Neue Einstellung:  $\text{DFT von Signal (i): Rechteckimpuls}$. Interpretieren Sie die dargestellten Ergebnisse.

•  Das eingestellte (symmetrische) Rechteck erstreckt sich über  $\pm 4 \cdot T_{\rm A}$. An den Rändern sind die Zeitkoeffizienten nur halb so groß:  $d(4) = d(12) =0.5$.
• Die weiteren Aussagen von  (14)  gelten auch für dieses  ${\rm si}$–förmige Spektrum  $X(f)$.

(16)  Gleiche Einstellung wie bei (15). Welche Modifikationen sind am  $d(\nu)$–Feld vorzunehmen, um die Rechteckdauer zu halbieren   ⇒   $\pm 2 \cdot T_{\rm A}$.

•  $d(0) = d(1) = d(15) =1, \ d(2) = d(14) = 0.5$. Alle anderen Zeitkoeffizienten Null  ⇒   erste Nullstelle des  ${\rm si}$–Spektrums bei  $4 \cdot f_{\rm A}= 250\text{ Hz}$.

(17)  Neue Einstellung:  $\text{IDFT von Spektrum (L): Gaußspektrum}$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zeitbereich.

•  Die Zeitfunktion  $x(t)$  ist hier ebenfalls gaußförmig mit dem Maximum  $x(t=0)=4$. Für das Spektrum gilt  $X(f=0)=D(0)/f_{\rm A} = 16\cdot \text{ kHz}^{-1}$.
•  Die äquivalente Impulsdauer ist  $\Delta t= X(f= 0)/x(t= 0) = 4\text{ ms}$. Der Kehrwert ergibt die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/\Delta t= 250\text{ Hz}$.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Zeitbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)

    (B)     (A)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag

    (C)     Frequenzbereich (Eingabe- und Ergebnisfeld)

    (D)     (C)–Darstellung numerisch, grafisch, Betrag

    (E)     Auswahl: DFT  $(t \to f)$  oder IDFT  $(f \to t)$

    (F)     Vorgegebene  $d(\nu)$–Belegungen (falls DFT), oder

                    Vorgegebene  $D(\mu)$–Belegungen (falls IDFT)

    (G)     Eingabefeld auf Null setzen

    (H)     Eingabefeld zyklisch nach unten (bzw. oben) verschieben

    ( I )     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauwahl

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung einblenden

• Vorgegebene  $d(\nu)$–Belegungen (für DFT):

(a)  entsprechend Zahlenfeld,  (b)  Gleichsignal,  (c)  Komplexe Exponentialfunktion der Zeit,  (d)  Harmonische Schwingung  $($Phase  $\varphi = 45^\circ)$,

(e)  Cosinussignal (eine Periode),  (f)  Sinussignal (eine Periode),  (g)  Cosinussignal (zwei Perioden), (h)  Alternierende Zeitkoeffizienten,

  (i)  Diracimpuls,  (j)  Rechteckimpuls,  (k)  Dreieckimpuls,  (l)  Gaußimpuls.

• Vorgegebene  $D(\mu)$–Belegungen (für IDFT):

(A)  entsprechend Zahlenfeld,  (B)  Konstantes Spektrum,  (C)  Komplexe Exponentialfunktion der Frequenz,  (D)  äquivalent zur Einstellung (d) im Zeitbereich ,

(E)  Cosinussignal (eine Frequenzperiode),  (F)  Sinussignal (eine Frequenzperiode),  (G)  Cosinussignal (zwei Frequenzperioden),  (H)  Alternierende Spektralkoeffizienten,

(I)  Diracspektrum,  (J)  Rechteckspektrum,  (K)  Dreieckspektrum,  (L)  Gaußspektrum.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von  Thomas Großer  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2019 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).

Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch  Studienzuschüsse  der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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