Exercise 2.3Z: About the LZ77 Coding
(gültig für „LZ77”
In der Aufgabe 2.3 sollten Sie BARBARA–BAR (String der Länge $11$, vier verschiedene Zeichen) mit dem LZ78–Algorithmus komprimieren.
In dieser Aufgabe verwenden wir den gleichen Text zur Demonstration der LZ77–Komprimierung. Anzumerken ist:
- Während beim Nachfolger „LZ78” sukzessive ein globales Wörterbuch aufgebaut wird, verwendet „LZ77” ein lokales Wörterbuch.
- Das LZ77–Verfahren arbeitet mit einem Sliding Window, das schrittweise über den Eingabetext verschoben wird.
- Dieses „gleitende Fenster” ist unterteilt in den Vorschaupuffer (in der Grafik blau hinterlegt) und den Suchpuffer (rote Hinterlegung). Beide Puffer haben je eine Größe von $G$ Speicherplätzen.
- Jeder Codierschritt $i$ wird durch ein Zahlentriple $(P,\ L,\ Z)$ charakterisiert. Hierbei sind $P$ und $L$ Integergrößen und $Z$ ein Character. Übertragen werden die Binärdarstellungen von $P$, $L$ und $Z$.
- Nach der Übertragung wird das Sliding Window um eine oder mehrere Positionen nach rechts verschoben und es beginnt der nächste Codierschritt $i + 1$.
Die obere Grafik zeigt die Anfangsbelegung mit der Puffergröße $G = 4$ zu den Zeitpunkten $i = 1$ sowie $i = 4$.
- Zum Zeitpunkt $i = 1$ ist der Suchpuffer leer, so dass die Coderausgabe $(0, 0,$ B$)$ lautet.
- Nach der Verschiebung um eine Position beinhaltet der Suchpuffer ein B, aber keinen String, der mit A anfängt. Das zweite Zahlentriple ist somit $(0, 0,$ A$)$.
- Die Ausgabe für $i = 3$ lautet $(0, 0,$ R$)$, da im Suchpuffer auch jetzt keine mit R beginnende Zeichenfolge zu finden ist.
Die Momentaufnahme zum Zeitpunkt $i = 4$ ist ebenfalls in der Grafik angegeben. Gesucht ist nun die Zeichenfolge im Suchpuffer, die mit dem Vorschautext BARA am besten übereinstimmt. Übertragen wird wieder ein Zahlentriple $(P,\ L,\ Z)$, aber nun mit folgender Bedeutung:
- $P$ gibt die Position im (roten) Suchpuffer an, bei der die Übereinstimmung beginnt. Die $P$–Werte der einzelnen Speicherplätze kann man der Grafik entnehmen.
- $L$ bezeichnet die Anzahl der Zeichen im Suchpuffer, die beginnend bei $P$ mit dem aktuellen String im Vorschaupuffer übereinstimmen.
- $Z$ bezeichnet schließlich das erste Zeichen im Vorschaupuffer, das sich vom gefundenen Übereinstimmungs–String im Suchpuffer unterscheidet.
Je größer der LZ77–Parameter $G$ ist, um so leichter findet man eine möglichst lange Übereinstimmung. In der Teilaufgabe (4) werden Sie feststellen, dass die LZ77–Codierung mit $G = 5$ ein besseres Ergebnis liefert als diejenige mit $G = 4$.
- Aufgrund der späteren Binärdarstellung von $P$ wird man allerdings $G$ stets als Zweierpotenz wählen, so dass $G$ mit $\log_2 \ P$ Bit darstellbar ist $(G = 8$ ⇒ dreistellige Binärzahl $P)$.
- Das heißt, ein Sliding Window mit $G = 5$ hat eher einen geringen Praxisbezug.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch.
- Insbesondere wird auf die Seite LZ77 – die Grundform der Lempel-Ziv-Algorithmen Bezug genommen.
- Die Originalliteratur [LZ77] zu diesem Verfahren lautet:
Ziv, J.; Lempel, A.: A Universal Algorithm for Sequential Data Compression. In: IEEE Transactions on Information Theory, no. 3, vol. 23, 1977, p. 337–343.
- Die Aufgabe 2.3 sowie die Aufgabe 2.4 behandeln andere Lempel–Ziv-Verfahren in ähnlicher Weise.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.
- Im Vorschaupuffer steht zum betrachteten Zeitpunkt $i = 4$ die Zeichenfolge BARA.
- Im Suchpuffer steht in den letzten drei Stellen BAR:
- $$P = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}L = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z = \boldsymbol{\rm A}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:
- Der Bindestrich findet sich zum Zeitpunkt $i = 5$ nicht im Suchpuffer.
- Ausgegeben wird $(0, 0,$ –$)$.
(3) Die obere Grafik zeigt das Sliding–Window und die Coderausgabe zu den Zeiten $i>5$.
- Nach $i = 9$ Codierschritten ist der Codiervorgang unter Berücksichtigung von eof beendet ⇒ $\underline{i_{\rm Ende} = 9}$.
(4) Bei größerer Puffergröße $(G = 5$ anstelle von $G = 4)$ ist die Codierung schon nach dem 6. Codierschritt abgeschlossen ⇒ $\underline{i_{\rm Ende} = 6}$.
- Ein Vergleich der beiden Grafiken zeigt, dass sich für $G = 5$ gegenüber $G = 4$ bis einschließlich $i = 5$ nichts ändert.
- Aufgrund des größeren Puffers lässt sich aber nun BAR gemeinsam mit eof (end-of-file) in einem einzigen Schritt codieren, während mit $G = 4$ hierfür vier Schritte notwendig waren.
(5) Richtig ist nur die Aussage 1.
- Ein Nachteil von LZ77 ist das lokale Wörterbuch. Eigentlich schon bekannte Phrasen können nicht für die Datenkomprimierung verwendet werden, wenn sie mehr als $G$ Zeichen vorher im Text aufgetreten sind. Dagegen sind bei LZ78 alle Phrasen im globalen Wörterbuch abgelegt.
- Richtig ist zwar, dass bei LZ78 nur Pärchen $(I, \ Z)$ übertragen werden müssen, während bei LZ77 jeder Codierschritt durch ein Triple $(P, \ L, \ Z)$ gekennzeichnet ist. Das bedeutet aber noch nicht, dass pro Codierschritt auch weniger Bit übertragen werden müssen.
- Betrachten wir beispielhaft die Puffergröße $G = 8$. Bei LZ77 muss man dann $P$ mit drei Bit und $L$ mit vier Bit dargestellen. Beachten Sie bitte, dass die gefundene Übereinstimmung zwischen Vorschaupuffer und Suchpuffer auch im Vorschaupuffer enden darf.
- Das neue Zeichen $Z$ benötigt bei LZ78 genau die gleiche Bitanzahl wie bei LZ77 (nämlich zwei Bit), wenn man wie hier vom Symbolumfang $M = 4$ ausgeht.
- Die Aussage 2 wäre nur dann richtig, wenn $N_{\rm I}$ kleiner wäre als $N_{\rm P}+ N_{\rm L}$, beispielsweise $N_{\rm I} = 6$. Das würde aber bedeuten, dass man die Wörterbuchgröße auf $I = 2^6 = 64$ begrenzen müsste. Dies reicht für große Dateien nicht aus.
- Unsere Überschlagsrechnung basiert allerdings auf einer einheitlichen Bitanzahl für den Index $I$. Mit variabler Bitanzahl für den Index kann man etliche Bit einsparen, indem man $I$ nur mit so vielen Bit überträgt, wie es für den Codierschritt $i$ erforderlich ist.
- Prinzipiell ändert das aber nichts an der Beschränkung der Wörterbuchgröße, was bei großen Dateien stets zu Problemen führen wird.
