Exercise 2.1Z: 2D-Frequency and 2D-Time Representations

2D–Übertragungsfunktion, als Realteil und Imaginärteil

Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die zweidimensionale Impulsantwort

$h(\tau,\hspace{0.05cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$

Der erste Parameter $(\tau)$ kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite $(t)$ macht Aussagen über die Zeitvarianz.

Durch die Fouriertransformation von $h(\tau, t)$ kommt man schließlich zur zeitvarianten Übertragungsfunktion

$H(f,\hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.05cm}t) \hspace{0.05cm}.$

In der Grafik ist $H(f, t)$ in Abhängigkeit der Frequenz dargestellt, und zwar für verschiedene Werte der absoluten Zeit $t$ im Bereich von $0 \ \text{...} \ 10 \ \rm ms$ .

Im Allgemeinen ist $H(f, t)$ komplex. Der Realteil (oben) und der Imaginärteil (unten) sind separat gezeichnet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter $M = 1$ dargestellt.
Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebenen zeitvarianten Übertragungsfunktion:

$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm},$

$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8 \hspace{0.05cm},$

$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4 \hspace{0.05cm}.$

Wie schon aus obiger Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der 2D–Übertragungsfunktion $H(f, t)$ mittelwertfrei.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Wie aus der Grafik zu ersehen, ist die Übertragungsfunktion

$H(f, t)$ abhängig von

$t$ . Damit ist auch

$h(\tau, t)$ zeitabhängig. Richtig ist also JA.

(2) Betrachtet man einen festen Zeitpunkt, zum Beispiel $t = 2 \ \rm ms$ , so erhält man für die zeitvariante Übertragungsfunktion

$H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm} = {\rm const.}$

Damit lautet die dazugehörige 2D–Impulsantwort:

$h(\tau,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \cdot \delta (\tau) \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} M = 1 \hspace{0.05cm}.$

Mit einem Pfad kann es aber nicht zu Mehrwegausbreitung kommen. Das heißt, die richtige Lösung ist NEIN.

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

Es liegt hier zwar Zeitvarianz, aber keine Frequenzselektivität vor.
Die Vorschläge 1 und 2 beschreiben dagegen zeitinvariante Systeme.

(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

Für den AWGN–Kanal kann keine Übertragungsfunktion angegeben werden.
Bei einem Zweiwegekanal ist $H(f, t)$ zu keiner Zeit $t$ konstant.
Da in der $H(f, t)$ –Grafik in Real– und Imaginärteil jeweils ein Gleichanteil ungleich Null zu erkennen ist, kann auch der Rayleigh–Kanal ausgeschlossen werden.
Die Daten für die vorliegende Aufgabe stammen von einem Rice–Kanal mit folgenden Parametern:

$\sigma = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_0 = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y_0 = -{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm} max} = 100\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$

	AWGN–Kanal,
	Zweiwege–Kanal,
	Rayleigh–Kanal,
	Rice–Kanal.

	$h(\tau, t) = A \cdot \delta(\tau) + B \cdot \delta(\tau \, –5 \, \rm µ s)$ .
	$h(\tau, t) = A \cdot \delta(\tau)$ .
	$h(\tau, t) = z(t) \cdot \delta(\tau)$ .

	Ja.
	Nein.

	Ja.
	Nein.