Exercise 2.5Z: Multi-Path Scenario

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Mobilfunk–Szenario mit drei Pfaden

In  Aufgabe 2.5  war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion  $s(\tau_0, f_{\rm D})$  lautete:

$$s(\tau_0, f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$

$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ - \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis:   In unserem Lerntutorial wird  $s(\tau_0, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$  auch mit  $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$  bezeichnet.

Wir haben hier die Verzögerungsvariable  $\tau$  durch  $\tau_0$  ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable  $\tau_0$  die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit  $\tau_1$  des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch  $\tau_0 = 0$  gekennzeichnet.

Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:

• Gesendet wird eine einzige Frequenz  $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
• Der mobile Empfänger  $\rm (E)$  ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender  $\rm (S)$  zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
• Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um  $\pi$.
• ${\rm S}_2$  und  ${\rm S}_3$  sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel  $\alpha_2$  und  $\alpha_3$  der Nebenpfade ermittelt werden können.
• Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz  $f_{\rm S}$, dem Winkel  $\alpha$, der Geschwindigkeit  $v$  und der Lichtgeschwindigkeit  $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:

$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Dämpfungsfaktoren  $k_1$,  $k_2$  und  $k_3$  sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen  $d_1$,  $d_2$  und  $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$.
• Das bedeutet:   Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz  $d$  ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit  $d$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Das GWSSUS–Kanalmodell.
• Bezug genommen wird insbesondere auf das  Pfadverlustmodell  und den  Dopplereffekt.

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei  $\tau = 0$  und  $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Welche Aussagen gelten für den Empfänger?

	Der Empfänger steht.
	Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
	Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.

2

Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?

$v \ = \ $ $\ \rm km/h$

3

Welche Aussagen gelten für den Dirac bei  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  und  $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?

	Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
	Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
	Der Winkel  beträgt  $30^\circ$.
	Der Winkel  beträgt  $60^\circ$.

4

Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?

	Für diesen gilt  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  und  $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$.
	Der Winkel  $\alpha_3$  (siehe Grafik) beträgt  $60^\circ$.
	Der Winkel  $\alpha_3$  beträgt  $240^\circ$.

5

Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?

	Es gilt  $d_3 = d_2$.
	Es gilt  $k_3 = k_2$.
	Es gilt  $\tau_3 = \tau_2$.

6

Wie groß ist die Laufzeitdifferenz  $\Delta d = d_2 - d_1$?

$\Delta d \ = \ $ $\ \rm m$

7

Welches Verhältnis besteht zwischen  $d_2$  und  $d_1$?

$d_2/d_1 \ = \ $

8

Geben Sie die Distanzen  $d_1$  und  $d_2$  an.

$d_1 \ = \ $ $\ \rm m$

$d_2 \ = \ $ $\ \rm m$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Dopplerfrequenz ist für $\tau_0$ positiv. Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt   ⇒   Aussage 2.

(2)  Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winkel $\alpha = 0$.

$$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$

• Daraus erhält man für die Geschwindigkeit:

$$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s} \hspace{0.1cm} \underline {= 54 \,{\rm km/h}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.
• Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 – E}$ beträgt $60^\circ$:

$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} } \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3:

• Aus $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 ± \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.

(5)  Alle Aussagen stimmen:

• Die beiden Diracfunktionen bei $± 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
• Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch  $d_3 = d_2$  und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.

(6)  Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht.

• Damit ergibt sich die Längendifferenz:

$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{–6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$

(7)  Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt.

• Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$.

• Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die $180^\circ$–Phasendrehung auf den Nebenpfaden.
• Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = \sqrt{0.5}$ und $k_2 = -0.5$ ablesen. Daraus folgt:

$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414} \hspace{0.05cm}.$$

• Die Konstante $K$ ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.

(8)  Aus  $d_2/d_1 = 2^{-0.5}$  und  $\Delta d = d_2 \, - d_1 = 300 \ \rm m$  folgt schließlich:

$$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2} - 1} \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \hspace{0.15cm} \underline {= 1024\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}.$$