Zur Verdeutlichung des Matched-Filters
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Programmbeschreibung
Das Applet soll die Eigenschaften des so genannten „Matched-Filters” $({\rm MF})$ verdeutlichen. Dieses dient zur optimalen Bestimmung des Vorhandenseins (Detektion) der Amplitude und/oder der Lage einer bekannten Signalform in einer stark verrauschten Umgebung. Oder allgemeiner gesprochen: Das Matched-Filter – manchmal auch als „Optimalfilter” oder als „Korrelationsfilter” bezeichnet – dient dem Nachweis der Signalexistenz.
Die Grafik zeigt den so genannten Matched-Filter-Empfänger:
- Dieser kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt: mit maximalem Signal–zu–Rausch–Verhältnis $($englisch: signal–to–noise–ratio, $\rm SNR)$ – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen $n(t)$ gestörtes impulsförmiges Nutzsignal $g(t)$ vorhanden ist oder nicht.
- Eine Anwendung ist die Radartechnik, bei der man zwar die Impulsform $g(t)$ kennt, nicht aber, wann der Impuls gesendet wurde und mit welcher Stärke und Verzögerung dieser ankommt.
- Das Matched-Filter wird aber auch als Empfangsfilter in digitalen Übertragungssystemen (oder zumindest als Teil davon) eingesetzt, um die Fehlerwahrscheinlichkeit des Systems zu minimieren.
XXX Es fehlt noch: Impulse, Filter, alle ausgegebenen Größen YYY
Theoretischer Hintergrund
Detailbeschreibung des zugrunde liegenden Modells
Für die einzelnen Komponenten des obigen Blockschaltbild gelten folgende Voraussetzungen:
- Der Nutzanteil $g(t)$ des Empfangssignals $r(t)=g(t)+n(t)$ sei impulsförmig und somit energiebegrenzt. Das heißt: Das Integral über $ [g(t) ]^2$ von $–∞$ bis $+∞$ liefert den endlichen Wert $E_g$.
- Das Störsignal $n(t)$ sei Weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$.
- Das Filterausgangssignal $d(t)= d_{\rm S}(t) + d_{\rm N}(t)$ besteht additiv aus zwei Anteilen. Der Anteil $d_{\rm S}(t)$ geht auf das $\rm S\hspace{0.04cm}$ignal $g(t)$ zurück, $d_{\rm N}(t)$ auf das $\rm N\hspace{0.04cm}$oise $n(t)$.
- Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter ⇒ Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma_d^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$
- Hierbei bezeichnen ${σ_d}^2$ die Varianz (Leistung) von $d_{\rm N}(t)$ und $T_{\rm D}$ den (geeignet gewählten) Detektionszeitpunkt.
Matched-Filter-Optimierung
Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal $g(t)$ mit dem zugehörigen Spektrum $G(f)$. Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ für jedes beliebige Filter mit Impulsantwort $h(t)$ und Frequenzgang $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ geschrieben werden (ohne Berücksichtigung des Rauschens ⇒ Index $\rm S$ für „Signal”):
- $$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$
Der „Rauschanteil” $d_{\rm N}(t)$ des Filterausgangssignals (Index $\rm N$ für „Noise”) rührt allein vom Weißen Rauschen $n(t)$ am Eingang des Empfängers her. Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$:
- $$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$
Dieser Quotient wird für den folgenden Frequenzgang $H(f)$ am größten wird:
- $$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$
- Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante $K_{\rm MF})$:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho _{\rm MF}.$$
- $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem Satz von Parseval sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:
- $$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$
$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$
$(1)$ Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen $A(f)$ und $B(f)$:
- $$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$
$(2)$ Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$
$(3)$ Mit $A(f) = G(f)$ und $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$ ergibt sich somit die folgende Schranke:
- $$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$
$(4)$ Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:
- $$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$
$(5)$ Dann erhält man aus der obigen Gleichung $(2)$ folgendes Ergebnis:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$
$\text{Das heißt:}$
- Mit dem Ansatz $(4)$ für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
- Mit keinem anderen Filter $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$ kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
- Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.
$\text{Beispiel 1:}$ Ein rechteckförmiger Impuls $g(t)$ mit Amplitude $\rm 1\hspace{0.05cm}V$, Dauer $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$ und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.
- Somit ist die Impulsenergie $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
- Die Rauschleistungsdichte sei $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.
Das beste Ergebnis ⇒ das maximale S/N–Verhältnis erzielt man mit dem Matched-Filter:
- $$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$
Das oben angegebene Matched–Filter–Kriterium wird nun schrittweise hergeleitet. Wenn Sie daran nicht interessiert sind, so springen Sie bitte zur Fortsetzungsseite Interpretation des Matched–Filters.
Interpretation des Matched-Filters
Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:
- $$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$
Durch Fourierrücktransformation erhält man die dazugehörige Impulsantwort:
- $$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$
Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:
- Das Matched-Filter ist durch den Term $G^{\star}(f)$ an das Spektrum des aufzufindenden Impulses $g(t)$ angepasst – daher sein Name (englisch: to match ≡ anpassen).
- Die Konstante $K_{\rm MF}$ ist aus Dimensionsgründen notwendig.
- Ist $g(t)$ ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”. Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
- Die Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ ergibt sich aus dem Nutzsignal $g(t)$ durch Spiegelung ⇒ aus $g(t)$ wird $g(–t)$ sowie einer Verschiebung um $T_{\rm D}$ nach rechts.
- Der früheste Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$ $($„Kausalität”, siehe Buch Lineare zeitinvariante Systeme$)$.
- Der Nutzanteil $d_{\rm S} (t)$ des Filterausgangssignals ist formgleich mit der Energie-AKF $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$ und gegenüber dieser um $T_{\rm D}$ verschoben. Es gilt:
- $$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$
$\text{Bitte beachten Sie:}$ Bei einem energiebegrenzten Signal $g(t)$ kann man nur die Energie–AKF angeben:
- $$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$
Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals $x(t)$, nämlich
- $$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$
wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ sowie auf den Grenzübergang $T_{\rm M} → ∞$ verzichtet.
$\text{Beispiel 2:}$ Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ und $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$ liegt und der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ gewünscht wird.
Unter diesen Voraussetzungen gilt:
- Die Matched–Filter–Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ muss im Bereich von $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$ bis $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ konstant sein.
- Für $t < t_1$ sowie für $t > t_2$ darf sie keine Anteile besitzen.
- Der Betragsfrequenzgang $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$ ist hier $\rm si$–förmig.
- Die Höhe der Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von $K_{\rm MF}$ ist.
Versuchsdurchführung
Überarbeiten
- Wählen Sie zunächst die Nummer (1, ... , 10) der zu bearbeitenden Aufgabe.
- Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
- Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
- Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”: Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
- Alle Signalwerte sind normiert auf $\pm 1$ zu verstehen. Auch die ausgegebenen Leistungen sind normierte Größen.
Alles normiert
Für (1) soll voreingestellt sein, ohne dass es in der Aufgabenstellung erwähnt wird: Spalt-TP, $A_h=0.5,\ \Delta t_h=1.6,\ \tau_h=0.8, \ T_D = 2$
(1) Der Eingangsimpuls sei gaußförmig mit $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=1$. Welche Einstellung führt zum „Matched–Filter”? Wie groß ist $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$ mit $N_0=0.01$?
- Das Matched–Filter muss ebenfalls einen gaußförmigen Verlauf haben und es muss gelten: $\Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=1$ ⇒ $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=2$.
- Das (momentane) Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Filterausgang ist $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \approx 141.4$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 21.5$ dB.
- Mit keinem anderen Filter als dem Matched–Filter ist dieses $\rm SNR$ (oder ein noch besseres) zu erreichen.
(2) Das Matched–Filter bei rechteckförmigen Eingangsimpuls mit $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=0$ ist ein Spalt–Tiefpass ⇒ rechteckförmige Impulsantwort.
Wie groß ist hier $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$ mit $N_0=0.01$? Interpretieren Sie alle dargestellten Grafiken und die numerischen Ergebnisse auf verschiedene Art und Weise.
- Die eingestellten Filterparameter sind $A_h=A_g=1, \ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=0$ ⇒ $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=0$ ⇒ $\rho _{\rm MF} = 200$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 23$ dB.
- Die Impulsenergie ist als das Integral über $g(t)^2$ berechenbar ⇒ $E_g = A_g^2 \cdot \Delta t_g=1$ ⇒ $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g /N_0 =200$. $T_{\text{D, opt} }=0$ ist hier implizit berücksichtigt.
- Eine andere Gleichung lautet: $\rho_d (T_{\rm D}) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D})/\sigma_d^2$. Die Rauschvarianz kann z. B. als Integral über $h(t)^2$ berechnet werden: $\sigma_d^2= N_0 \cdot \Delta t_h/2 = 0.005$.
- Das Nutzsignal $d_{\rm S} (t)= g(t) * h(t)$ hat einen dreieckförmigen Verlauf mit dem Maximum $d_{\rm S} (T_{\rm D, \ opt} = 0 )= 1$ ⇒ $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 200= \rho _{\rm MF}$.
(3) Es gelten weiter die Einstellungen von (2) mit Ausnahme von $N_0=0.01 $ ⇒ $N_0=0.02$. Welche Veränderungen sind erkennbar?
- Der einzige Unterschied ist die doppelt so große Rauschvarianz $\sigma_d^2= 0.01$ ⇒ $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 100= \rho _{\rm MF}$ ⇒ $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =20$ dB.
(4) Es gelten weiter die Einstellungen von (3) mit Ausnahme von $T_{\rm D, \ opt} = 0 $ ⇒ $T_{\rm D} = 0.1$. Wie wirkt sich dieser nichtoptimale Detektionszeitpunkt aus?
- Nun ist der Nutzabtastwert $d_{\rm S} (T_{\rm D} = 0.1 )= 0.9$ kleiner ⇒ $\rho_d (T_{\rm D} = 0.1 ) =0.9^2/0.01= 81< \rho _{\rm MF}$. Es ergibt sich eine Verschlechterung um knapp ein dB.
- Für die weiteren Aufgaben wird vom optimalen Detektionszeitpunkt $T_{\rm D, \ opt}$ ausgegangen, wenn nicht explizit etwas anderes angegeben wird.
(5) Es gelten wieder die Einstellungen von (3) mit Ausnahme einer niedrigeren Impulsantwort $A_h = 1 $ ⇒ $A_h = 0.8$. Interpretieren Sie die Veränderungen.
- Es handelt sich auch mit $A_h \ne = A_g$ um ein Matched-Filter, solange $h(t)$ formgleich mit $g(t)$ ist ⇒ $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } =100$ ⇒ $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =20$ dB.
- Die Gleichung $\rho_d (T_{\rm D}=0) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D}=0)/\sigma_d^2$ führt zum gleichen Ergebnis, da ${d_{\rm S}}^2 (T_{\rm D})$ und $\sigma_d^2$ gegenüber (3) jeweils um den Faktor $0.8^2$ vermindert wird.
(6) Gegenüber (5) wird nun die Höhe des Eingangsimpulses $g(t)$ von $A_g = 1$ auf $A_g = 1.25$ erhöht. Beschreibt hier $h(t)$ ein Matched-Filter? Wie groß ist $\rho_{\rm MF}$?
- Auch hier liegt ein Matched-Filter vor, da $h(t)$ und $g(t)$ formgleich sind. Mit $E_g = 1.25^2$: $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot 1.25^2 } }/{ 0.02 } =156.25$ ⇒ $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =21.94$ dB.
- Der Gewinn von $21.94$ dB gegenüber (5) lässt sich dadurch erklären, dass bei gleicher Rauschvarianz $\sigma_d^2= 0.0064$ der Nutzabtastwert wieder ${d_{\rm S}} (T_{\rm D}) = 1$ ist.
(7) Wir gehen weiter von der Rechteck–Rechteck–Komination aus mit $A_h=A_g=1,\ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.2,\ T_{\rm D}=0$.
Interpretieren Sie die Ergebnisse nach Variation der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t_h$ von $h(t)$ im Bereich $0.6$ ... $1.4$. Nutzen Sie die Grafikdarstellung über $\Delta t_h$.
- Das Optimum ergibt sich erwartungsgemäß für die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_h=\Delta t_g=1$. Dann ist $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) =20$ dB $\big(= 10 \cdot \lg \rho_{\rm MF}\big)$.
- Ist $\Delta t_h<\Delta t_g=1$, so ist das Nutzsignal trapezförmig. Für $\Delta t_h=0.6$: $d_{\rm S}^2 (T_{\rm D}=0)= 0.36$ und $\sigma_d^2\approx0.006$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) =17.8$ dB.
- Auch für $\Delta t_h>1$ ist das Nutzsignal trapezförmig, aber trotzdem $d_{\rm S}^2 (T_{\rm D}=0)= 1$. Die Rauschvarianz $\sigma_d^2$ nimmt kontinuierlich mit $\Delta t_h$ zu.
- Für $\Delta t_h=1.4$ ist $\sigma_d^2=0.118$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) =18.5$ dB. Gegenüber dem Matched–Filter $(\Delta t_h=1)$ beträgt die Verschlechterung $1.5$ dB.
(8) Interpretieren Sie nun die Ergebnisse für verschiedene $\Delta t_g$ des Eingangsimpulses $g(t)$ im Bereich $0.6$ ... $1.4$. Nutzen Sie die Grafikdarstellung über $\Delta t_g$.
- Die Grafikdarstellung geschieht nach folgender Aufspaltung: $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$ (blau) $=20\cdot \lg \ \big [{K \cdot d_{\rm S}} (T_{\rm D,\ opt}) \big ]$ (violett) Minus $10\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d^2 \big ]$ (grün).
- Beim betrachteten Parametersatz und $K=10$ ist der grüne Term $10\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d^2 \big ] = 0$ dB für alle $\Delta t_g$ ⇒ die blaue und die violette Kurve sind identisch.
- Die blaue Kurve $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$ steigt von $15.6$ dB $($für $\Delta t_g = 0.6)$ bis $20$ dB $($für $\Delta t_g = 1)$ kontinuierlich an und bleibt für $\Delta t_g > 1$ dann konstant.
- Die Einstellung $\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1$ ergibt aber kein Matched-Filter. Vielmehr gilt mit $\Delta t_h = \Delta t_g = 1.4$: $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}=10 \cdot \lg \ (2 \cdot E_g/N_0) \approx 21.5$ dB.
Zur Handhabung des Applets
(A) Auswahl eines von vier Quellensignalen
(B) Parameterwahl für Quellensignal $1$ (Amplitude, Frequenz, Phase)
(C) Ausgabe der verwendeten Programmparameter
(D) Parameterwahl für Abtastung $(f_{\rm G})$ und
Signalrekonstruktion $(f_{\rm A},\ r)$
(E) Skizze des Empfänger–Frequenzgangs $H_{\rm E}(f)$
(F) Numerische Ausgabe $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$
(G) Darstellungsauswahl für Zeitbereich
(H) Grafikbereich für Zeitbereich
( I ) Darstellungsauswahl für Frequenzbereich
(J) Grafikbereich für Frequenzbereich
(K) Bereich für Übungen: Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2006 von Markus Elsberger im Rahmen seiner Diplomarbeit (LB) mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2020 wurde das Programm von Carolin Mirschina im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: Tasnád Kernetzky).
Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch die Exzellenzinitiative der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.