Optimization of Baseband Transmission Systems

1. Digital Signal Transmission
2. Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
3. Optimization of Baseband Transmission Systems

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Voraussetzungen und Optimierungskriterium

Für dieses Kapitel „Optimierung der Basisbandübertragungssysteme” gilt das folgende Blockschaltbild:

Blockschaltbild eines Basisbandübertragungssystems

Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei. Der Abstand zwischen den Symbolen ist  $T$  und die (äquivalente) Bitrate  $R = 1/T$. Mehrstufige und/oder redundante Systeme werden erst im  Hauptkapitel 2:   Codierte und mehrstufige Übertragung  dieses Buches behandelt.
• Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist rechteckförmig und weist die Amplitude  $s_0$  sowie die Impulsdauer  $T_{\rm S} \le T$  auf. Stimmt die Sendeimpulsdauer  $T_{\rm S}$  mit der Symboldauer $T$ überein, so spricht man von NRZ–Rechteckimpulsen. Im Fall  $T_{\rm S} < T$  liegt ein RZ–Format vor.
  
• Als Übertragungskanal wird das AWGN–Modell mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$  verwendet, so dass für das Empfangssignal  $r(t) = s(t) + n(t)$  gilt. Die für systemtheoretische Untersuchungen besser geeignete zweiseitige Rauschleistungsdichte beträgt somit  $N_0/2$.
• Die Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  des Empfangsfilters sei ebenfalls rechteckförmig, allerdings mit der Breite  $T_{\rm E}$  und der Höhe  $1/T_{\rm E}$. Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist demzufolge  $H_{\rm E}(f = 0) = 1$. Nur im Sonderfall  $T_{\rm E} = T_{\rm S} $  kann man  $H_{\rm E}(f)$  als Matched–Filter bezeichnen.
• Um Impulsinterferenzen auszuschließen, muss bei der Optimierung stets die Randbedingung  $T_{\rm S} + T_{\rm E} \le 2T$  eingehalten werden. Impulsinterferenzen werden erst im  Hauptkapitel 3:   Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren  dieses Buches betrachtet.
• Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle  $E = 0$  und optimalen Detektionszeitpunkten $($unter den gegebenen Voraussetzungen bei  $\nu \cdot T)$  verwendet.

$\text{Definition:}$  Unter Systemoptimierung verstehen wir hier, die Parameter  $T_{\rm S}$  und  $T_{\rm E}$  von Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  und Empfangsfilter–Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  so zu bestimmen, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  den kleinstmöglichen Wert annimmt.

Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung

Die Optimierung der Systemgrößen wird entscheidend dadurch beeinflusst, ob als Nebenbedingung der Optimierung  Leistungsbegrenzung  oder  Spitzenwertbegrenzung  des Sendesignals gefordert wird.

$\text{Definition:}$  Unter  Leistungsbegrenzung  versteht man, dass die (mittlere) Sendeleistung  $P_{\rm S}$  einen vorgegebenen Maximalwert  $P_\text{S, max}$  nicht überschreiten darf:

$$P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.$$

Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen, wird man natürlich die mittlere Sendeleistung  $P_{\rm S}$  im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. Deshalb wird im Folgenden stets  $P_{\rm S} = P_\text{S, max}$  gesetzt.

Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt, unter Anderem deshalb, weil die als „Elektrosmog” bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der (mittleren) Strahlungsleistung abhängt.

Anzumerken ist, dass ein Funkübertragungssystem natürlich nicht im Basisband arbeitet. Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im  Hauptkapitel 4:   Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren  dieses Buches dahingehend modifiziert, dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind.

$\text{Definition:}$  Von  Spitzenwertbegrenzung  spricht man immer dann, wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist. Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung:

$$\vert s(t) \vert \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm}{\rm alle}\hspace{0.15cm}t.$$

Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff Amplitudenbegrenzung, der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.

Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt, aber nicht die mittlere, sondern die Spitzenleistung.

Die Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig, wenn

• der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist, oder
  
• die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen Grenzwert überschreiten darf. Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten hier drei verschiedene Konstellationen. Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  und die Empfangsfilter–Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  seien jeweils rechteckförmig und die Amplitude  $g_0$  des Ausgangsimpulses stimmt stets mit der Eingangsimpulsamplitude  $s_0$  überein.

$\text{System A}$  $(T_{\rm S} = T, \ T_{\rm E} = T)$:

Impulse/Impulsantworten bei  $\text{System A}$

• NRZ–Sendegrundimpuls,
• Matched–Filter, da  $T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
• Detektionsgrundimpuls:   Dreieck,
• Energie pro Bit:   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
• Rauschleistung:   $\sigma_d^2 = N_0/(2T)$,
• Bestmögliche Konstellation
• Bitfehlerwahrscheinlichkeit:   $p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B}= {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0} }\right) = {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$

$\text{System B}$  $(T_{\rm S} = T, \ T_{\rm E} = T/2)$:

Impulse/Impulsantworten bei  $\text{System B}$

• NRZ–Sendegrundimpuls,
• Kein Matched–Filter, da  $T_{\rm E} \ne T_{\rm S}$,
• Detektionsgrundimpuls:   Dreieck,
• Energie pro Bit:   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
• Rauschleistung:   $\sigma_d^2 = N_0/T$,
• stets  $\text{3 dB}$  schlechter als das  $\text{System A}$
• Bitfehlerwahrscheinlichkeit:   $p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B}= {\rm Q} \left( \sqrt{ {s_0^2 \cdot T}/{N_0} }\right) = {\rm Q} \left( \sqrt{ E_{\rm B} /{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$

$\text{System C}$  $(T_{\rm S} = T/2, \ T_{\rm E} = T/2)$:

Impulse/Impulsantworten bei  $\text{System C}$

• RZ–Sendegrundimpuls,
• Matched–Filter, da  $T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
• Detektionsgrundimpuls:   kleineres Dreieck,
• Energie pro Bit:   $E_{\rm B} = 1/2 \cdot s_0^2 \cdot T$,
• Rauschleistung:   $\sigma_d^2 = N_0/T$,
• bei Leistungsbegrenzung gleichwertig mit  $\text{System A}$,
• bei Spitzenwertbegrenzung  $\text{3 dB}$  schlechter als  $\text{System A}$,
• Bitfehlerwahrscheinlichkeit:   $p_{\rm B}\hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm}{\rm Q} \left( g_0/\sigma_d\right)$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{ { s_0^2 \cdot T}/{N_0} }\right)= {\rm Q} \left( \sqrt{2 \cdot {E_{\rm B} }/{N_0} }\right)\hspace{0.05cm}.$$

Systemvergleich bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung

$\text{Beispiel 2:}$  Es gelten gleiche Voraussetzungen wie im $\text{Beispiel 1}$.

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$

• in Abhängigkeit vom Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$  (linkes Diagramm) und
• als Funktion von  $s_0^2 \cdot T /N_0$  (rechtes Diagramm).

Grafisch dargestellt sind die im $\text{Beispiel 1}$ hergeleiteten Ergebnisse.
Diese beiden Diagramme in doppelt–logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren:

• Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung  $(P_{\rm S})$  bzw. bei konstanter Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$. Da der Abszissenwert zusätzlich auf  $N_0$  bezogen ist, gibt  $p_{\rm B}(E_{\rm B}/N_0)$  den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten  $N_0$  richtig wieder.
  
• Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen  $\rm A$  und  $\rm C$  gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar. Wie auf den nächsten Seiten hergeleitet wird, liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn  $g_s(t)$  und  $h_{\rm E}(t)$  formgleich sind (Matched–Filter). Die kleinere Leistung von System  $\rm C$  wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen.
  
• Dagegen wird bei System  $\rm B$  die Matched–Filter–Bedingung nicht eingehalten  $(T_{\rm E} \ne T_{\rm S})$  und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um  $\text{3 dB}$  rechts von der durch die Systeme  $\rm A$  und  $\rm C$  vorgegebenen Grenzkurve.
  

• Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug  $\rm A$  (NRZ–Impuls, Matched–Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann.
  
• Die Kurve  $\rm B$  in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung, da wiederum NRZ–Sendeimpulse verwendet werden. Der Abstand von  $\text{3 dB}$  zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched–Filter–Bedingung zurückzuführen.
  
• Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched–Filter–System  $\rm C$  um $\text{3 dB}$ rechts vom Optimum. Der Grund für diese Degradation ist, dass bei gleichem Spitzenwert (gleicher Spitzenleistung) das System  $\rm C$  nur die halbe mittlere Leistung wie das System  $\rm A$  bereitstellt.
  

Systemoptimierung bei Leistungsbegrenzung

Die Minimierung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)$  kann aufgrund des monotonen Funktionsverlaufs der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  $ {\rm Q}(x)$  auf die Maximierung des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses  $\rho_d$  vor dem Schwellenwertentscheider (kurz:   Detektions–SNR) zurückgeführt werden:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum}\hspace{0.8cm}\Rightarrow \hspace{0.8cm}\rho_d ={g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Maximum}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei gibt  $g_0 = g_d(t=0)$  die Amplitude des betrachteten Nyquistimpulses an und  $\sigma_d^2$  bezeichnet die Detektionsstörleistung für das gegebene Empfangsfilter. Gleichzeitig muss sichergestellt werden, dass

• der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  das erste Nyquistkriterium erfüllt, und
  
• die Energie des Sendegrundimpulses  $g_s(t)$  einen vorgegebenen Wert  $E_{\rm B}$  nicht überschreitet.

In den vorangegangenen Abschnitten wurde bereits mehrfach erwähnt, dass beim AWGN–Kanal mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$  für das optimale System unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung gilt:

$$p_{\rm B, \hspace{0.08cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis benutzen wir für die folgende Definition:

$\text{Definition:}$  Der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung einer vorliegenden Konfiguration ist der Quotient aus dem tatsächlichen und dem größtmöglichen Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis am Entscheider (Detektions–SNR ):

$$\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} L} } }= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$

Nachfolgend wird bewiesen, dass

• die so definierte Größe tatsächlich die Bedingung  $0 \le \eta_{\rm L} \le 1$  erfüllt und somit als „Wirkungsgrad” interpretiert werden kann,
• der Wert  $\eta_{\rm L} = 1$  dann erreicht wird, wenn die Empfangsfilter–Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  ist.

$\text{Beweis:}$  Der Beweis erfolgt im Frequenzbereich. Aus Darstellungsgründen normieren wir den Sendegrundimpuls:

$$h_{\rm S}(t) = \frac{g_s(t)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} H_{\rm S}(f) = \frac{G_s(f)}{g_0 \cdot T} \hspace{0.05cm}.$$

Damit hat  $h_{\rm S}(t)$  die Einheit „$\rm 1/s$” und  $H_{\rm S}(f)$  ist dimensionslos. Für die einzelnen Systemgrößen folgt daraus:

(1)   Aufgrund des ersten Nyquistkriteriums muss gelten:

$$ G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = G_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)= H_{\rm Nyq}(f)= \frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$

(2)   Die Amplitude des Detektionsgrundimpulses ist gleich

$$g_d(t=0) = g_0 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = g_0\hspace{0.05cm}.$$

(3)   Die Energie des Sendegrundimpulses ist wie folgt gegeben:

$$E_{\rm B} = g_0^2 \cdot T^2 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f)\vert ^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

(4)   Die Detektionsstörleistung lautet:

$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac {\vert H_{\rm Nyq}(f) \vert^2}{\vert H_{\rm S}(f) \vert^2} \,{\rm d} f\hspace{0.05cm}. $$

(5)   Setzt man diese Teilergebnisse in die Gleichung für den Systemwirkungsgrad ein, so erhält man:

$$\eta_{\rm L} = \left [ {T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm}T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac { \vert H_{\rm Nyq}(f) \vert ^2}{ \vert H_{\rm S}(f) \vert^2} \,{\rm d} f } \right ]^{-1}\hspace{0.05cm}.$$

(6)   Wir wenden nun auf den Ausdruck in der Klammer die Schwartzsche Ungleichung [BS01] an:

$$\frac{1}{\eta_{\rm L} } = T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 1}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 2}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}\ge\hspace{0.3cm} \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm 1}(f) \cdot H_{\rm 2}(f) \vert \,{\rm d} f \right ]^2$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{1}{\eta_{\rm L} } = T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \vert H_{\rm S}(f) \vert^2 \,{\rm d} f \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\frac { \vert H_{\rm Nyq}(f) \vert ^2}{ \vert H_{\rm S}(f) \vert ^2} \,{\rm d} f \hspace{0.2cm}\ge\hspace{0.2cm} \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.5cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1. $$

(7)   Damit ist gezeigt, dass der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung tatsächlich die Bedingung  $\eta_{\rm L} \le 1$  erfüllt.

(8)   Die Auswertung zeigt, dass für  $H_{\rm S, \hspace{0.08cm}opt}(f) = \gamma \cdot \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$  in obiger Ungleichung das Gleichheitszeichen gilt:

$$\gamma^2 \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.2cm} \cdot \hspace{0.2cm} \frac {1}{\gamma^2} \cdot T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \left [ T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.3cm}H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f \right ]^2 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta_{\rm L} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

(9)   Dieses Ergebnis ist unabhängig vom Parameter  $\gamma$, den wir deshalb vereinfachend zu  $\gamma = 1$  setzen:   $H_{\rm S, \hspace{0.08cm}opt}(f) = \sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$.

Wurzel–Nyquist–Systeme

Das wesentliche Ergebnis der Berechnungen auf den letzten Seiten war, dass beim optimalen Binärsystem unter der Nebenbedingung  Leistungsbegrenzung

• der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t)$  die erste Nyquistbedingung erfüllen muss, und
• die Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  des Empfangsfilters formgleich mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  zu wählen ist;   gleiches gilt für die Spektralfunktionen  $H_{\rm E}(f)$  und  $G_s(f)$.

Sind sowohl  $g_s(t)$  als auch  $h_{\rm E}(t)$  rechteckförmig mit  $T_{\rm S} = T_{\rm E} \le T$, so werden beide Bedingungen erfüllt.

• Nachteil dieser Konfiguration ist allerdings der große Bandbreitenbedarf aufgrund der nur langsam abfallenden,  $\rm si$–förmigen Spektralfunktionen  $G_s(f)$  und  $H_{\rm E}(f)$.
• In der unteren Grafik ist die Spektralfunktion des rechteckförmigen NRZ–Sendegrundimpulses als gestrichelte violette Kurve eingezeichnet.

Geht man von einem Nyquistspektrum mit Cosinus–Rolloff–Flanke   ⇒   $H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f)$  aus,

$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)}\hspace{0.05cm},$$

so ergeben sich für jeden Rolloff–Faktor  $r$  günstigere Spektraleigenschaften und ein geringerer Bandbreitenbedarf.

Die folgende Grafik zeigt die normierten Sendespektren  $G_s(f)/(g_0 \cdot T)$  in logarithmierter Darstellung für die drei Rolloff–Faktoren

Verschiedene Sendespektren bei Basisbandübertragung

• $r = 0$  (grüne Kurve),
• $r = 0.5$  (blaue Kurve), und
• $r = 1$  (rote Kurve).

Anmerkungen:

• Bei der Basisbandübertragung spielt der Bandbreitenbedarf nur eine untergeordnete Rolle.
• Die Grafik gilt aber auch für  Trägerfrequenzsysteme  bei Darstellung im äquivalenten Tiefpassbereich.
• Bei diesen Systemen spielt die Bandbreite eine sehr wichtige Rolle. Denn:   Jedes zusätzliches Hertz an Bandbreite kann sehr teuer sein.
  

Systemoptimierung bei Spitzenwertbegrenzung

Die Systemoptimierung hängt beim AWGN–Kanal mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$  in starkem Maße davon ab, welche Nebenbedingung festgelegt wird:

• Bei  Leistungsbegrenzung  (gekennzeichnet durch den Index „L”) darf die Energie des Sendegrundimpulses  $g_s(t)$  einen vorgegebenen Wert  $E_{\rm B}$  nicht überschreiten. Hier gilt für die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit und das maximale SNR:

$$p_{\rm B, \hspace{0.08cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}={2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$

• Bei  Spitzenwertbegrenzung  (oder Amplitudenbegrenzung, gekennzeichnet durch den Index „A”) ist dagegen der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt   ⇒   $\vert s(t) \vert \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm}{\rm alle}\hspace{0.15cm}t$. Hier gilt für die entsprechenden Größen:

$$p_{\rm B, \hspace{0.08cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}}\right)\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} \rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A}}={2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.05cm}.$$

Für diesen zweiten Fall legen wir fest:

$\text{Definition:}$  Der  Systemwirkungsgrad bei Amplitudenbegrenzung  (Spitzenwertbegrenzung) lautet:

$$\eta_{\rm A} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} A} } }= \frac{g_0^2 /\sigma_d^2}{ 2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}\hspace{0.05cm}.$$

• Auch dieser Systemwirkungsgrad erfüllt die Bedingung  $0 \le \eta_{\rm A} \le 1$.
• Es gibt nur ein einziges System mit dem Ergebnis  $\eta_{\rm A} = 1$:   Der NRZ–Rechteck–Sendegrundimpuls und das daran angepasste Empfangsfilter.

Ein Vergleich mit dem  Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung   ⇒   $\eta_{\rm L}$  zeigt:

• $\eta_{\rm A}$  unterscheidet sich von  $\eta_{\rm L}$  dadurch, dass nun im Nenner  $s_0^2 \cdot T$  anstelle von  $E_{\rm B}$  steht. Es gilt folgender Zusammenhang:

$$\eta_{\rm A} = \frac{E_{\rm B}}{s_0^2 \cdot T} \cdot \eta_{\rm L}= \frac{\eta_{\rm L}}{C_{\rm S}^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei bezeichnet der  Scheitelfaktor  $C_{\rm S}$  (englisch:   Crestfaktor ) das Verhältnis von Maximalwert  $s_0$  und Effektivwert  $s_{\rm eff}$  des Sendesignals:

$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= \frac{s_0}{s_{\rm eff}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm eff} = \sqrt {E_{\rm B}/T}.$$

$\text{Beispiel 3:}$  Wir betrachten wie im   $\text{Beispiel 1}$  drei unterschiedliche Konfigurationen mit jeweils rechteckförmigen Zeitfunktionen  $g_s(t)$  und  $h_{\rm E}(t)$  und geben hierfür die Systemwirkungsgrade an:

• $\text{System A:}$    $\rho_d = {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} = { 2 \cdot s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1.0,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} = 1.0\hspace{0.05cm}.$
• $\text{System B:}$    $\rho_d = {E_{\rm B} }/{N_0} ={ s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{1.35cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 0.5,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} = 0.5\hspace{0.05cm}.$
• $\text{System C:}$    $\rho_d = {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} = { s_0^2 \cdot T}/{N_0}\hspace{0.8cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1.0,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} = 0.5\hspace{0.05cm}.$

Man erkennt:

• Beim  $\text{System B}$  sind beide Systemwirkungsgrade aufgrund der fehlenden Anpassung  $(T_{\rm E} \ne T_{\rm S})$  nur jeweils  $0.5$.
• Beim  $\text{System C}$  hat zwar der Systemwirkungsgrad  $\eta_{\rm L}$  wegen  $T_{\rm E} = T_{\rm S}$  den Maximalwert  $\eta_{\rm L} = 1$.
• Dagegen ist  $\eta_{\rm A} = 0.5$, da der RZ–Impuls nicht die maximale Energie besitzt, die aufgrund der Spitzenwertbegrenzung erlaubt wäre.
• Der Crestfaktor hat hier den Wert  $C_{\rm S} = \sqrt{2}$.

$\text{Beispiel 4:}$  Nun betrachten wir eine  Wurzel–Nyquist–Konfiguration  mit Cosinus–Rolloff–Gesamtfrequenzgang:

$$G_s(f) = g_0 \cdot T \cdot \sqrt{H_{\rm CRO}(f)},\hspace{0.5cm}H_{\rm E}(f)= \sqrt{H_{\rm CRO}(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} G_d(f) = g_0 \cdot T \cdot {H_{\rm CRO}(f)} = G_{\rm Nyq}(f)\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme am Sender (oben) und am Empfänger (unten), jeweils für die Rolloff–Faktoren  $r = 0.25$,  $r = 0.5$  und  $r = 0.1$. Es sei daran erinnert, dass eine solche Konfiguration unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung unabhängig vom Rolloff–Faktor  $r$  optimal ist:   $\eta_{\rm L} = 1$.

Augendiagramme bei Wurzel-Nyquist-Konfigurationen

Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Der Sendeimpuls  $g_s(t)$  erfüllt nicht die Nyquistbedingung:   Das Auge am Sender (obere Bildreihe) ist nicht vollständig geöffnet und der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert.
• Der Crestfaktor  $C_{\rm S} = s_0/s_{\rm eff}$  wird mit kleinerem  $r$  größer und damit der Wirkungsgrad  $\eta_{\rm A} $  kleiner. Für  $r = 0.5$  ergibt sich  $C_{\rm S} \approx 1.45$  und damit  $\eta_{\rm A} \approx 0.47$. Das Detektions–SNR ist dann um den Betrag  $10 \cdot \lg \ \eta_{\rm A} \approx 3.2 \ \rm dB$  geringer als bei der Rechteck–Rechteck–Konfiguration.
  
• Im Grenzfall  $r = 0$  gilt sogar  $C_{\rm S} \to \infty$  und  $\eta_{\rm A} \to 0$. Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  fällt hier noch langsamer als mit  $1/t$  ab, und es gilt:

$$\max_t\{ s(t) \} = \max_t \hspace{0.15cm}\left [ \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\ \right ]\rightarrow \infty\hspace{0.05cm}.$$

• Begrenzt man das Sendesignal  $s(t)$  durch einen gegen Null gehenden Gewichtungsfaktor auf einen endlichen Maximalwert  $s_0$, so führt dies zu einem geschlossenem Auge vor dem Entscheider.

Optimierung des Rolloff–Faktors bei Spitzenwertbegrenzung

Für dieses Kapitel wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:

• Der Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  sei NRZ–rechteckförmig;  bei Spitzenwertbegrenzung ist dies optimal.
  
• Der Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$  erfülle die Nyquistbedingung.
• Der Nyquistfrequenzgang werde durch einen Cosinus–Rolloff–Tiefpass realisiert:   $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm CRO}(f)$.
• Da die Impulsamplitude  $g_0$  unabhängig vom Rolloff–Faktor  $r$  ist, lässt sich die SNR–Maximierung auf die Minimierung der Rauschleistung am Entscheider zurückführen:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum,} \hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f) =\frac {H_{\rm CRO}(f)}{{\rm si}(\pi f T)}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion  $|H_{\rm E}(f)|^2$  für drei verschiedene Rolloff–Faktoren. Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  vor dem Entscheider. Man erkennt aus dieser Darstellung:

Zur Optimierung des Rolloff-Faktors bei Spitzenwertbegrenzung

• Der Rolloff–Faktor  $r = 0$  (Rechteck–Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalbandigen Empfangsfilters nur zum Wirkungsgrad  $\eta_{\rm A} \approx 0.65$, da  $H_{\rm E}(f)$  wegen der  $\rm si$-Funktion im Nenner mit wachsendem  $f$  ansteigt.
  
• $r = 1$  bewirkt zwar ein doppelt so breites Spektrum, führt aber zu keiner Anhebung. Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die unter der grünen, ergibt sich ein besserer Wert:   $\eta_{\rm A} \approx 0.88$.
• Der größte Systemwirkungsgrad ergibt sich für  $r \approx 0.8$  (flaches Maximum) mit   $\eta_{\rm A} \approx 0.89$. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.
  
• Durch Vergleich mit dem optimalen Frequenzgang  $H_{\rm E}(f) = {\rm si}(\pi f T)$  bei Spitzenwertbegrenzung, der zum Ergebnis  $\sigma_d^2 = N_0/(2T)$   ⇒   $\eta_{\rm A}= 1$ führt, erhält man für den Systemwirkungsgrad:

$$\eta_{\rm A} = \left [T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \right ]^{-1} \hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$ 

• Das absolute Optimum bei Spitzenwertbegrenzzung   ⇒   $\eta_{\rm A}= 1$  ergibt sich nur mit einem rechteckförmigen Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  und einer ebenfalls rechteckförmigen Empfangsfilter–Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  gleicher Breite  $T$.
• Das beste Cosinus-Rolloff-Nyquistspektrum mit  $r = 0.8$ (blaue Kurve) ist gegenüber dem Matched-Filter (violett-gestrichelte Kurve) um ca.  $0.5 \ \rm dB$  schlechter, da die Fläche unter der blauen Kurve um ca.  $12\%$  größer ist als die Fläche unter der violetten Kurve.
• Die so genannte  Wurzel–Wurzel–Konfiguration   ⇒   $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm CRO}(f)}$  macht also nur Sinn, wenn man von Leistungsbegrenzung ausgeht.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.6: Wurzel–Nyquist–System

Aufgabe 1.6Z: Zwei Optimalsysteme

Aufgabe 1.7: Systemwirkungsgrade