Exercise 1.2Z: Measurement of the Frequency Response

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Gemessene Signalamplituden
und Phasen bei Filter  $\rm B$

Zur messtechnischen Bestimmung des Filterfrequenzgangs wird ein sinusförmiges Eingangssignal mit der Amplitude  $2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  und vorgegebener Frequenz  $f_0$  angelegt. Das Ausgangssignal  $y(t)$  bzw. dessen Spektrum  $Y(f)$  werden dann nach Betrag und Phase ermittelt.

• Das Betragsspektrum am Ausgang von Filter  $\rm A$  lautet mit der Frequenz  $f_0 = 1 \ \text{kHz}$:

$$|Y_{\rm A} (f)| = 1.6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm f_0) + 0.4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm \delta } (f \pm 3 f_0) .$$

• Bei einem anderen Filter  $\rm B$  ist das Ausgangssignal dagegen stets eine harmonische Schwingung mit der (einzigen) Frequenz  $f_0$. Bei den in der Tabelle angegebenen Frequenzen  $f_0$  werden die Amplituden  $A_y(f_0)$  und die Phasen  $φ_y(f_0)$  gemessen. Hierbei gilt:

$$Y_{\rm B} (f) = {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f + f_0) + {A_y}/{2} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} \varphi_y} \cdot {\rm \delta } (f - f_0).$$

Das Filter  $\rm B$  soll in der Aufgabe in der Form

$$H_{\rm B}(f) = {\rm e}^{-a_{\rm B}(f)}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_{\rm B}(f)}$$

dargestellt werden. Hierbei bezeichnet

• $a_{\rm B}(f)$  den Dämpfungsverlauf, und
• $b_{\rm B}(f)$  den Phasenverlauf.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Systembeschreibung im Frequenzbereich.

Fragebogen

1

Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters  $\rm A$  zutreffend?

	Es gilt  $|H(f)| = 0.8$.
	Das Filter  $\rm A$  stellt kein LZI–System dar.
	Die Angabe eines Frequenzgangs ist nicht möglich.

2

Welche der Aussagen sind hinsichtlich des Filters  $\rm B$  zutreffend?

	Filter  $\rm B$  ist ein Tiefpass.
	Filter  $\rm B$  ist ein Hochpass.
	Filter  $\rm B$  ist ein Bandpass.
	Filter  $\rm B$  ist eine Bandsperre.

3

Ermitteln Sie den Dämpfungswert und die Phase für Filter  $\rm B$  und  $f_0 = 3 \ \text{kHz}$.

$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) \ = \ $  $\text{Np}$

$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 3 \: kHz) \ =\ $  $\text{Grad}$

4

Welcher Dämpfungs– und Phasenwert ergibt sich für  $f_0 = 2 \ \text{kHz}$?

$a_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ = \ $  $\text{Np}$

$b_{\rm B}(f_0 = \: \rm 2 \: kHz) \ =\ $  $\text{Grad}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Bei einem LZI–System gilt  $Y(f) = X(f) · H(f)$.
• Daher ist es nicht möglich, dass im Ausgangssignal ein Anteil mit  $3 f_0$  vorhanden ist, wenn ein solcher im Eingangssignal fehlt.
• Das heißt:   Es liegt hier kein LZI–System vor und dementsprechend ist auch kein Frequenzgang angebbar.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Aufgrund der angegeben Zahlenwerte für  $A_y(f_0)$  kann von einem Bandpass ausgegangen werden.

(3)  Mit  $A_x = 2 \text{ V}$  und  $\varphi_x = 90^\circ$  (Sinusfunktion) erhält man für  $f_0 = f_3 =3 \text{ kHz}$:

$$H_{\rm B} (f_3) = \frac{A_y}{A_x} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (\varphi_x - \varphi_y)} = \frac{1\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 90^{\circ})} = 0.5.$$

Somit ergeben sich für  $f_0 = f_3 = 3 \text{ kHz}$  die Werte

• $a_{\rm B} (f_3)\rm \underline{\: ≈ \: 0.693 \: Np}$,
• $b_{\rm B}(f_3) \rm \underline{\: = \: 0 \: (Grad)}$.

(4)  In analoger Weise kann der Frequenzgang bei  $f_0 = f_2 =2 \text{ kHz}$  ermittelt werden:

$$H_{\rm B} ( f_2) = \frac{0.8\hspace{0.05cm}{\rm V}}{2\hspace{0.05cm}{\rm V}} \cdot {\rm e}^{ -{\rm j} (90^{\circ} - 70^{\circ})} = 0.4\cdot {\rm e}^{ -{\rm j} 20^{\circ}}.$$

Damit erhält man für  $f_0 = f_2 = 2 \ \text{ kHz}$:

• $a_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: ≈ \: 0.916 \: Np}$,
• $b_{\rm B}(f_2) \rm \underline{\: = \: 20°}$.

Bei  $f_0 = -f_2 =-\hspace{-0.01cm}2 \text{ kHz}$  gilt der gleiche Dämpfungswert. Die Phase hat jedoch das umgekehrte Vorzeichen. Also ist  $b_{\rm B}(–f_2) = \ –\hspace{-0.01cm}20^{\circ}.$