Exercise 5.1Z: Cosine Square Noise Limitation
unten: Filterfrequenzgang $H(f)$
Wir betrachten bandbegrenztes weißes Rauschen $x(t)$ mit dem oben skizzierten Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$. Dieses ist im Bereich $|f| \le B_x$ konstant gleich $N_0/2$ und außerhalb gleich Null.
Gehen Sie von folgenden Zahlenwerten aus:
- Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{-16} \ \rm V^2/Hz$,
- (einseitige) Rauschbandbreite $B_x = 10 \ \rm kHz$.
Dieses Signal wird an den Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang
$$H(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\cos ^2 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)} & {\rm{f\ddot{u}r}\quad \left| \it f \right| \le \it f_{\rm 0} ,} \\ 0 & {{\rm{sonst}}} \\\end{array}} \right.$$
angelegt. Hierbei bezeichnet $f_0$ die absolute Filterbandbreite, die zwischen $B_x/2$ und $2B_x$ variieren kann.
Das Filterausgangssignal wird mit $y(t)$ bezeichnet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Stochastische Systemtheorie.
- Bezug genommen wird auch auf die Kapitel Gaußverteilte Zufallsgrößen sowie Leistungsdichtespektrum.
- Benutzen Sie, falls nötig, die nachfolgenden Gleichungen:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot x}} \cdot {\rm{e}}^{ - x^2 /2} \hspace{0.15cm}( \text{für große }x),$$
- $$\int {\rm{cos}}^{\rm{2}}( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ),$$
- $$\int {\cos ^4 } ( {ax} )\hspace{0.1cm}{\rm{d}}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin ( {2ax} ) + \frac{1}{32a} \cdot \sin ( {4ax} ).$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$\sigma _x ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot 2B_x = N_0 \cdot B_x = 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \sigma _x \hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,\,{\rm µ}{\rm V}}.$$
(2) Entsprechend dem Kapitel „Gaußverteilte Zufallsgrößen” und der hier angegebenen Näherung $($für große $x)$ erhält man:
- $$\Pr \left( {\left| {x(t)} \right| > 5\;{\rm{µ V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}(5) = \frac{2}{{\sqrt {2{\rm{\pi }}} \cdot 5}} \cdot {\rm{e}}^{ - 12.5}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.6 \cdot 10^{ - 6}} .$$
(3) Das Eingangssignal $x(t)$ ist mittelwertfrei $(m_x = 0)$.
- Sonst müsste ${\it Φ}_x(f)$ noch eine Diracfunktion bei $f= 0$ beinhalten.
- Der Mittelwert wird durch das lineare Filter nicht verändert ⇒ $m_y\hspace{0.05cm}\underline{ = 0}$.
(4) Für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals gilt allgemein:
- $${\it \Phi}_y (f) = {N_0 }/{2} \cdot \left| {H( f )} \right|^2 .$$
- Damit kann die Varianz $\sigma _y^2$ berechnet werden. Unter Ausnützung der Symmetrie erhält man:
- $$\sigma _y ^2 = {N_0 }/{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = N_0 \cdot \int_0^{f_0 } {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f .$$
- Das bestimmte Integral ist vorgegeben. Bei jedem der drei Lösungsterme ergibt sich für die untere Grenze der Wert Null. Daraus folgt:
- $$\sigma _y ^2 = {N_0}/{2} \cdot \left( {\frac{3}{8} \cdot f_0 + \frac{f_0 }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} ) + \frac{f_0 }{{16{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {{\rm{2\pi }}} )} \right) = \frac{3}{8} \cdot N_0 \cdot f_0 $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_0 = B_x/2\text{:}\hspace{0.2cm}\sigma _y ^2 = \frac{3}{16} \cdot N_0 \cdot B_x = \frac{3}{16} \cdot \sigma _x ^2 = 0.1875 \cdot 10^{ - 12} \;{\rm{V}}^2 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.433\;{\rm{µ V}}}{\rm{.}}$$
(5) Nun besitzt das Eingangs-LDS für $|f| > B_x$ keine Anteile.
- Deshalb gilt:
- $$\sigma _y ^2 = N_0\cdot \int_0^{B_x } {\cos ^4 \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = N_0 \cdot \int_0^{f_0 /2} {\cos ^4 } \left( {\frac{{{\rm{\pi }}f}}{2f_0 }} \right)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f.}$$
- Die numerische Auswertung liefert hierfür:
- $$\sigma _y ^2 = N_0 \left( {\frac{3}{8} \cdot B_x + \frac{B_x }{{2{\rm{\pi }}}} \cdot \sin ( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} ) + \frac{B_x }{{{\rm{16\pi }}}} \cdot \sin ( {\rm{\pi }} )} \right) = N_0 \cdot B_x \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}} \right) = 0.534\cdot \sigma _x ^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma _y \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.731\;{\rm{µ V}}}{\rm{.}}$$
(6) Analog zur Musterlösung der Teilaufgabe (2) gilt:
- $$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{µ V}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}\left( {\frac{{5\;{\rm{µ V}}}}{{0.731\;{\rm{µ V}}}}} \right) = 2 \cdot {\rm Q}( {6.84} ).$$
- Mit der angegebenen Näherung hat diese Wahrscheinlichkeit den folgenden Wert:
- $$\Pr \left( {\left| {y\left( t \right)} \right| > 5\;{\rm{µ V}}} \right) \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 8 \cdot 10^{ - 12}}.$$
