Exercise 3.6Z: Transition Diagram at 3 States
Im Zustandsübergangsdiagramm eines Codierers mit Gedächtnis $m$ gibt es $2^m$ Zustände. Das dargestellte Diagramm mit acht Zuständen beschreibt deshalb einen Faltungscoder mit dem Gedächtnis $m = 3$.
Normalerweise bezeichnet man die Zustände mit $S_0, \ \text{...} \ , \ S_{\mu}, \ \text{...} \ , \ S_7$, wobei der Index $\mu$ aus der Belegung des Schieberegisters (Inhalt von links nach rechts: $u_{i-1}, u_{i-2}, u_{i-3})$ festgelegt ist:
- $$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2\hspace{0.03cm}^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$
Der Zustand $S_0$ ergibt sich deshalb für den Schieberegisterinhalt „$000$”, der Zustand $S_1$ für „$100$” und der Zustand $S_7$ für „$111$”.
In obiger Grafik sind allerdings für die Zustände $S_0, \, \text{...} \, , \, S_7$ Platzhalter names $\mathbf{A}, \, \text{...} \, , \, \mathbf{H}$ verwendet. In den Teilaufgaben (1) und (2) sollen Sie klären, welcher Platzhalter für welchen Zustand steht.
Bei Faltungscodierer der Rate $1/n$, die hier ausschließlich betrachtet werden sollen, gehen von jedem Zustand $S_{\mu}$ zwei Pfeile ab,
- ein roter für das aktuelle Informationsbit $u_i = 0$ und
- ein blauer für $u_i = 1$.
Auch deshalb ist das gezeigte Zustandsübergangsdiagramm nicht vollständig. Zu erwähnen ist weiterhin:
- Bei jedem Zustand kommen auch zwei Pfeile an, wobei diese durchaus gleichfarbig sein können.
- Neben den Pfeilen stehen üblicherweise noch die $n$ Codebits. Auch hierauf wurde hier verzichtet.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.
- In Aufgabe 3.7Z werden zwei Faltungscodes mit Gedächtnis $m = 3$ untersucht, die beide durch das hier analysierte Übergangsdiagramm beschrieben werden können.
- Bitte bei allen Fragen den ensprechenden Index $\mu$ eingeben.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Abschnitte
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Platzhalter $\mathbf{A}$ steht für den Zustand $S_0$ ⇒ $u_{i-1} = 0, \ u_{i-2} = 0, \ u_{i-3} = 0$.
- Dies ist der einzige Zustand $S_{\mu}$, bei dem man durch das Infobit $u_i = 0$ (roter Pfeil) im gleichen Zustand $S_{\mu}$ bleibt.
- Vom Zustand $S_7$ ⇒ $u_{i-1} = 1, \ u_{i-2} = 1, \ u_{i-3} = 1$ kommt man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) auch wieder zum Zustand $S_7$.
- Einzugeben waren also für $\mathbf{A}$ der Index $\underline{\mu = 0}$ und für $\mathbf{F}$ der Index $\underline{\mu = 7}$.
(2) Ausgehend vom Zustand $\mathbf{A} = S_0$ kommt man entsprechend der Ausgangsgrafik im Uhrzeigersinn mit den roten Pfeilen $(u_i = 0)$ bzw. den blauen Pfeilen $(u_i = 1)$ zu folgenden Zuständen:
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{B} = S_1,$$
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{C} = S_2,$$
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{D} = S_5,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{E} = S_3,$$
- $$u_{i–3} = 0, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 1 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{F} = S_7,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 1, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{G} = S_6,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{H} = S_4,$$
- $$u_{i–3} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–1} = 0, \ u_i = 0 ⇒ s_{i+1} = \mathbf{A} = S_0.$$
- Einzugeben sind also die Indizes $\mu$ in der Reihenfolge 1, 2, 5, 3, 6, 4.
- Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen den Platzhaltern und den Zuständen $S_{\mu}$.
(3) Vom Zustand $S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 0, \ u_{i–3} = 0$ kommt man mit $u_i = 0$ (roter Pfeil) zum Zustand $S_2$. Dagegen landet man mit $u_i = 1$ (blauer Pfeil) beim Zustand $S_3$ ⇒ $u_{i–1} = 1, \ u_{i–2} = 1, \ u_{i–3} = 0$.
Nebenstehende Grafik zeigt das Zustandsübergangsdiagramm mit allen Übergängen. Aus diesem kann abgelesen werden:
- Vom Zustand $S_3$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
- Vom Zustand $S_5$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_2$.
- Vom Zustand $S_7$ kommt man mit $u_i = 0$ zum Zustand $S_6$.
Einzugeben sind also die Indizes in der Reihenfolge 3, 6, 2, 6.
