Exercise 3.7: Comparison of Two Convolutional Encoders

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Zwei Faltungscodierer mit den Parametern  $n = 2, \ k = 1, \ m = 2$

Die Grafik zeigt zwei Rate–$1/2$–Faltungscodierer, jeweils mit dem Gedächtnis  $m = 2$:

• Der Coder  $\rm A$  weist die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1 + D^2, \ 1 + D + D^2)$ auf.
• Beim Coder  $\rm B$  sind die beiden Filter (oben und unten) vertauscht, und es gilt : $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$.

Der untere Coder  $\rm B$  wurde im Theorieteil schon ausführlich behandelt.

In der vorliegenden Aufgabe sollen Sie zunächst das Zustandsübergangsdiagramm für Coder  $\rm A$  ermitteln und anschließend die Unterschiede und die Gemeinsamkeiten zwischen den beiden Zustandsdiagrammen herausarbeiten.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Abschnitte
  •   Zustandsdefinition für ein Speicherregister  sowie
  •   Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm.

Fragebogen

1

Es gelte  $\underline{u} = (0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$. Welche Sequenzen erzeugt Coder  $\rm A$?

	$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(1)} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$,
	$\underline{x}^{(2)} = (0, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, \text{...}\hspace{0.05cm})$.

2

Welche der genannten Zustandsübergänge gibt es bei Coder  $\rm A$?

	$s_i = S_0, \ u_i = 0 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_0; \hspace{1cm} s_i = S_0, \ u_i = 1 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_1$.
	$s_i = S_1, \ u_i = 0 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_2; \hspace{1cm} s_i = S_1, \ u_i = 1 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_3$.
	$s_i = S_2, \ u_i = 0 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_0; \hspace{1cm} s_i = S_2, \ u_i = 1 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_1$.
	$s_i = S_3, \ u_i = 0 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_2; \hspace{1cm} s_i = S_3, \ u_i = 1 \ ⇒ \ s_{i+1} = S_3$.

3

Wie unterscheiden sich die beiden Zustandsübergangsdiagramme?

	Es sind andere Zustandsübergänge möglich.
	Bei allen acht Übergängen stehen andere Codesequenzen.
	Unterschiede gibt es nur für die Codesequenzen  $(01)$  und  $(10)$.

Musterlösung

Solution

Berechnung der Codesequenz

(1)  Die Berechnung basiert auf den Gleichungen

$$x_i^{(1)} = u_i + u_{i–2},$$

$$x_i^{(2)} = u_i + u_{i–1} + u_{i–2}.$$

• Zu Beginn sind die beiden Speicher ($u_{i–1}$ und $u_{i–2}$) mit Nullen vorbelegt  ⇒  $s_1 = S_0$.
• Mit $u_1 = 0$ ergibt sich $\underline{x}_1 = (00)$ und $s_2 = S_0$.
• Mit $u_2 = 1$ erhält man die Ausgabe $\underline{x}_2 = (11)$ und den neuen Zustand $s_3 = S_3$.

Aus nebenstehendem Berechnungsschema erkennt man die Richtigkeit der Lösungsvorschläge 1 und 4.

Zustandsübergangsdiagramm von Coder  $\rm A$

(2)  Alle Lösungsvorschläge sind richtig:

• Dies erkennt man durch Auswertung der Tabelle bei (1).
• Die Ergebnisse sind in nebenstehender Grafik dargestellt.

Zustandsübergangsdiagramm von Coder  $\rm B$

(3)  Richtig ist nur die Aussage 3:

• Rechts ist das Zustandsübergangsdiagramm von Coder  $\rm B$  skizziert. Herleitung und Tnterpretation siehe Abschnitt Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm.
• Vertauscht man die beiden Ausgabebits $x_i^{(1)}$ und $x_i^{(2)}$, so kommt man vom Faltungscodierer  $\rm A$  zum Faltungscodierer  $\rm B$  (und umgekehrt).