Exercise 3.9Z: Convolution of Gaussian Pulses

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Gaußförmige $x(t)$ und $h(t)$

Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls  ${x(t)}$  mit Amplitude $x_0 = 1\,\text{V}$ und äquivalenter Dauer  $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$  sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort  ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer  $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$  aufweist:

$$x( t ) = x_0 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$

$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$

Gesucht ist das Ausgangssignal  ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Faltungssatz und Faltungsoperation.

Fragebogen

1

Geben Sie die Spektralfunktionen  ${X(f)}$  und  ${H(f)}$  an. Welche Werte ergeben sich für  $f = 0$?

$X(f = 0)\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

$H(f = 0)\ = \ $

2

Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${Y(f)}$  des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei  $f = 0$?

$Y(f = 0)\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

3

Berechnen Sie den Ausgangsimpuls  ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude  $y_0 = y(t = 0)$  und die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_y$?

$y_0\ = \ $  $\text{V}$

$\Delta t_y\ = \ $  $\text{ms}$

Musterlösung

Solution

(1)  Durch Fouriertransformation erhält man:

$$X( f ) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$

• Die gesuchten Werte sind

$$X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}},$$

$$H(f = 0)\; \underline{= 1}.$$

Faltungsergebnis für „$\rm Gauß \ast Gauß$”

(2)  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$

• Mit der Abkürzung  $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$  kann man hierfür schreiben:

$$Y(f) = x_0 \cdot \Delta t_x \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$

• Bei der Frequenz  $f = 0$  sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:

$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$

• Der Funktionsverlauf von  ${Y(f)}$  ist schmaler als  ${X(f)}$  und schmaler als  ${H(f)}$.

(3)  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:

$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$

• Damit erhält man:

$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0 \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$

• Der Maximalwert des Signals  ${y(t)}$  liegt ebenfalls bei  $t = 0$  und beträgt  $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
• Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu  $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$  (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
• Das bedeutet:  Das Gaußfilter  ${H(f)}$  bewirkt, dass der Ausgangsimpuls  ${y(t)}$  kleiner und breiter als der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  ist.
• Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig, weil:   Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß!