Matched Filter Properties

Applet Description

Das Applet soll die Eigenschaften des so genannten „Matched-Filters” $({\rm MF})$ verdeutlichen. Dieses dient zur optimalen Bestimmung des Vorhandenseins (Detektion) der Amplitude und/oder der Lage einer bekannten Signalform in einer stark verrauschten Umgebung. Oder allgemeiner gesprochen: Das Matched-Filter – manchmal auch als „Optimalfilter” oder als „Korrelationsfilter” bezeichnet – dient dem Nachweis der Signalexistenz.

Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers

Die Grafik zeigt den so genannten Matched-Filter-Empfänger:

Dieser kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt: mit maximalem Signal–zu–Rausch–Verhältnis $($englisch: signal–to–noise–ratio, $\rm SNR)$ – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen $n(t)$ gestörtes impulsförmiges Nutzsignal $g(t)$ vorhanden ist oder nicht.
Eine Anwendung ist die Radartechnik, bei der man zwar die Impulsform $g(t)$ kennt, nicht aber, wann der Impuls gesendet wurde und mit welcher Stärke und Verzögerung dieser ankommt.
Das Matched-Filter wird aber auch als Empfangsfilter in digitalen Übertragungssystemen (oder zumindest als Teil davon) eingesetzt, um die Fehlerwahrscheinlichkeit des Systems zu minimieren.

Alle Parameter, Zeiten und Frequenzen sind als normierte Größen zu verstehen und damit dimensionslos.

Für den Eingangsimpuls $g(t)$ sind „Rechteck”, „Gauß” und „Exponential” einstellbar, die jeweils durch die Impulsamplitude $A_g$, die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_g$ sowie die Verschiebung $\tau_g$ gegenüber dem (hinsichtlich Zeit) symmetrischen Fall beschrieben werden. Weitere Informationen im Abschnitt Weitere Angaben zu den betrachteten Eingangsimpulsen.
Für das Empfangsfilter kann zwischen den Alternativen „Spalt–Tiefpass”, „Gauß–Tiefpass”, „Tiefpass erster Ordnung”und „Tiefpass 4” gewählt werden. Dargestellt werden die jeweiligen Impulsantworten $h(t)$, gekennzeichnet durch deren Höhe $A_h$, die äquivalente Dauer $\Delta t_h$ und die Verschiebung $\tau_h$. Weitere Informationen im Abschnitt Weitere Angaben zu den betrachteten Impulsantworten.
Weitere Eingabeparameter sind der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ sowie die ebenfalls normierte Rauschleistungsdichte $N_0$ am Empfängereingang.

Als Numerikwerte ausgegeben werden

die Energie $E_g$ des Eingangsimpulses $g(t)$, der Nutzabtastwert $d_{\rm S} (T_{\rm D})$ am Filterausgang sowie die Rauschvarianz $\sigma_d^2$ am Filterausgang,
das Signal–zu–Rausch–Verhältnis $\rm (SNR)$ $\rho_{d} (T_{\rm D})$ am Filterausgang und die zugehörige dB–Angabe $10 \cdot \lg \ \rho_{d} (T_{\rm D})$,
der hierfür maximale Wert $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.

Erfüllt die eingegebene Konfiguration die Matched-Filter-Bedingungen, dann gilt: $10 \cdot \lg \ \rho_{d} (T_{\rm D,\ opt}) = 10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.

Theoretical Background

Detailbeschreibung des zugrunde liegenden Modells

Für die einzelnen Komponenten des obigen Blockschaltbild gelten folgende Voraussetzungen:

Der Nutzanteil $g(t)$ des Empfangssignals $r(t)=g(t)+n(t)$ sei impulsförmig und somit energiebegrenzt. Das heißt: Das Integral über $ [g(t) ]^2$ von $–∞$ bis $+∞$ liefert den endlichen Wert $E_g$.
Das Störsignal $n(t)$ sei Weißes Gaußsches Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$.
Das Filterausgangssignal $d(t)= d_{\rm S}(t) + d_{\rm N}(t)$ besteht additiv aus zwei Anteilen. Der Anteil $d_{\rm S}(t)$ geht auf das $\rm S\hspace{0.04cm}$ignal $g(t)$ zurück, $d_{\rm N}(t)$ auf das $\rm N\hspace{0.04cm}$oise $n(t)$.
Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter ⇒ Frequenzgang $H_{\rm MF}(f)$ und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma_d^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$

Hierbei bezeichnen ${σ_d}^2$ die Varianz (Leistung) von $d_{\rm N}(t)$ und $T_{\rm D}$ den (geeignet gewählten) Detektionszeitpunkt.

Matched-Filter-Optimierung

Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal $g(t)$ mit dem zugehörigen Spektrum $G(f)$. Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ für jedes beliebige Filter mit Impulsantwort $h(t)$ und Frequenzgang $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ geschrieben werden (ohne Berücksichtigung des Rauschens ⇒ Index $\rm S$ für „Signal”):

$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$

Der „Rauschanteil” $d_{\rm N}(t)$ des Filterausgangssignals (Index $\rm N$ für „Noise”) rührt allein vom Weißen Rauschen $n(t)$ am Eingang des Empfängers her. Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$:

$$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$

Dieser Quotient wird für den folgenden Frequenzgang $H(f)$ am größten wird:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$

Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante $K_{\rm MF})$:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \rho _{\rm MF}.$$

$E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem Satz von Parseval sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$

$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$

$(1)$ Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen $A(f)$ und $B(f)$:

$$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$

$(2)$ Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$

$(3)$ Mit $A(f) = G(f)$ und $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$ ergibt sich somit die folgende Schranke:

$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$

$(4)$ Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$

$(5)$ Dann erhält man aus der obigen Gleichung $(2)$ folgendes Ergebnis:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

$\text{Das heißt:}$

Mit dem Ansatz $(4)$ für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
Mit keinem anderen Filter $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$ kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.

q.e.d.

$\text{Beispiel 1:}$ Ein rechteckförmiger Impuls $g(t)$ mit Amplitude $\rm 1\hspace{0.05cm}V$, Dauer $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$ und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.

Somit ist die Impulsenergie $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
Die Rauschleistungsdichte sei $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.

Das beste Ergebnis ⇒ das maximale S/N–Verhältnis erzielt man mit dem Matched-Filter:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}= 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho_{\rm MF}.$$

Interpretation des Matched-Filters

Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:

$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$

Durch Fourierrücktransformation erhält man die dazugehörige Impulsantwort:

$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$

Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:

Das Matched-Filter ist durch den Term $G^{\star}(f)$ an das Spektrum des aufzufindenden Impulses $g(t)$ angepasst – daher sein Name (englisch: to match ≡ anpassen).
Die Konstante $K_{\rm MF}$ ist aus Dimensionsgründen notwendig.
Ist $g(t)$ ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”. Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
Die Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ ergibt sich aus dem Nutzsignal $g(t)$ durch Spiegelung ⇒ aus $g(t)$ wird $g(–t)$ sowie einer Verschiebung um $T_{\rm D}$ nach rechts.
Der früheste Detektionszeitpunkt $T_{\rm D}$ folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$ $($„Kausalität”, siehe Buch Lineare zeitinvariante Systeme$)$.
Der Nutzanteil $d_{\rm S} (t)$ des Filterausgangssignals ist formgleich mit der Energie-AKF $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$ und gegenüber dieser um $T_{\rm D}$ verschoben. Es gilt:

$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$

$\text{Bitte beachten Sie:}$ Bei einem energiebegrenzten Signal $g(t)$ kann man nur die Energie–AKF angeben:

$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$

Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals $x(t)$, nämlich

$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$

wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ sowie auf den Grenzübergang $T_{\rm M} → ∞$ verzichtet.

$\text{Beispiel 2:}$ Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ und $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$ liegt und der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ gewünscht wird.

Unter diesen Voraussetzungen gilt:

Die Matched–Filter–Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ muss im Bereich von $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$ bis $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$ konstant sein.
Für $t < t_1$ sowie für $t > t_2$ darf sie keine Anteile besitzen.
Der Betragsfrequenzgang $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$ ist hier $\rm si$–förmig.
Die Höhe der Impulsantwort $h_{\rm MF}(t)$ spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von $K_{\rm MF}$ ist.

Weitere Angaben zu den betrachteten Eingangsimpulsen

Alle Angaben sind ohne Berücksichtigung der Verzögerung $\tau_g$

(1) Rechteckimpuls ⇒ Rectangular Impulse

Der Impuls $g(t)$ hat im Bereich $\pm \Delta t_g/2$ die konstante Höhe $A_g$ und ist außerhalb Null.
Die Spektralfunktion $G(f)=A_g\cdot \Delta t_g \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t_g \cdot f)$ besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t_g$.
Die Impulsenergie ist $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g$.

(2) Gaußimpuls ⇒ Gaussian Imulse

Der Impuls $g(t)=A_g\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t_g)^2}$ ist unendlich weit ausgedehnt. Das Maximum ist $g(t= 0)=A_g$.
Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t_g$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum $G(f)=A_g \cdot \Delta t_g \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta t_g)^2}$.
Die Impulsenergie ist $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g/\sqrt{2}$.

(3) Exponentialimpuls ⇒ Exponential Impulse

Der Impuls ist für $t<0$ identisch Null und für positive Zeiten unendlich weit ausgedehnt ⇒ $g(t)=A_g\cdot {\rm e}^{-t/\Delta t_g}$.
$g(t)$ ist (stark) unsymmetrisch ⇒ das Spektrum $G(f)=A_g \cdot \Delta t_g/( 1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot f \cdot \Delta t_g)$ ist komplexwertig;
Die Impulsenergie ist $E_g=A_g^2\cdot \Delta t_g/2$.

Weitere Angaben zu den betrachteten Impulsantworten

Die verschiedenen Empfangsfilter $H(f)$ werden durch ihre Impulsantworten $h(t)$ beschrieben.

Diese werden ähnlich wie die Eingangsimpulse $g(t)$ durch die Impulshöhe $A_h$, die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_h$ sowie die Verzögerung $\tau_h$ gegenüber dem symmetrischen Fall gekennzeichnet. Die folgenden Kurzbeschreibungen gelten stets für $\tau_h= 0$.

(1) Spalt–Tiefpass ⇒ Rechteckförmige Impulsantwort

Die Impulsantwort $h(t)$ hat im Bereich $\pm \Delta t_h/2$ die konstante Höhe $A_h$ und ist außerhalb Null.
Der Frequenzgang $H(f)=K \cdot {\rm si}(\pi\cdot \Delta t_g \cdot f)$ besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t_h$.
Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang: $\sigma_d^2= N_0/2 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.

(2) Gauß–Tiefpass ⇒ Gaußsche Impulsantwort

Die Impulsantwort $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{-\pi\cdot(t/\Delta t_h)^2}$ ist unendlich weit ausgedehnt. Das Maximum ist $h(t= 0)=A_h$.
Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t_h$ ist, um so breiter und niedriger ist der Frequenzgang $H(f)=K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \Delta t_h)^2}$.
Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang: $\sigma_d^2= N_0/2 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h/\sqrt{2}$.

(3) Tiefpass 1. Ordnung ⇒ Exponentiell abfallende Impulsantwort

Die Impulsantwort ist für $t<0$ identisch Null und für positive Zeiten unendlich weit ausgedehnt ⇒ $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{-t/\Delta t_h}$.
$h(t)$ ist kausal und (stark) unsymmetrisch. Der Frequenzgang $H(f)=A_g \cdot \Delta t_g/( 1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot f \cdot \Delta t_g)$ ist komplexwertig.
Bei Weißem Rauschen ist die Rauschvarianz am Filterausgang: $\sigma_d^2= N_0/4 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.

(4) Extrem akausales Filter ⇒ Impulsantwort spiegelbildlich zu (3)

Die Impulsantwort ist für $t>0$ identisch Null und für negative Zeiten unendlich weit ausgedehnt ⇒ $h(t)=A_h\cdot {\rm e}^{t/\Delta t_h}$ für $t<0$.
Der Frequenzgang $H(f)$ ist konjugiert komplex zum Frequenzgang des Tiefpasses 1. Ordnung.
Die Rauschvarianz am Filterausgang ist bei Weißem Rauschen genau so groß wie beim Tiefpass 1. Ordnung: $\sigma_d^2= N_0/4 \cdot A_h^2 \cdot \Delta t_h$.

Exercises

First, select the number $(1,\ 2, \text{...} \ )$ of the task to be processed. The number $0$ corresponds to a "Reset": Same setting as at program start.
A task description is displayed. The parameter values are adjusted. Solution after pressing "Show Solution".
Both the input signal $x(t)$ and the filter impulse response $h(t)$ are normalized, dimensionless and energy-limited ("time-limited pulses").
All times, frequencies, and power values are to be understood normalized, too.

(1) Let the input pulse be Gaussian with $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=1$. Which setting leads to the "Matched Filter"? What value has $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$ with $N_0=0.01$?

The Matched Filter must also have a Gaussian shape and it must hold: $\Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=1$ ⇒ $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=2$.
The (instantaneous) signal-to-noise power ratio at the Matched Filter output is $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } \approx 141.4$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 21.5$ dB.
With no other filter than the Matched Filter this $\rm SNR$ (or an even better one) can be achieved ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho _{d} \le 10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF}$.

(2) The "Matched Filter" on rectangular input pulse with $A_g=1,\ \Delta t_g=1,\ \tau_g=0$ is a rectangular-in-time low–pass ⇒ rectangular impulse response.
What value has $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$ with $N_0=0.01$? Interpret all the graphs shown and the numerical results in different ways

The MF parameters are $A_h=A_g=1, \ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h =\tau_g=0$ ⇒ $T_{\rm D} = \tau_h +\tau_g=0$ ⇒ $\rho _{\rm MF} = 200$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} \approx 23$ dB.
The pulse energy is the integral over $g^2(t)$ ⇒ $E_g = A_g^2 \cdot \Delta t_g=1$ ⇒ $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g /N_0 =200$. $T_{\text{D, opt} }=0$ is implicitly considered here.
Another equation is $\rho_d (T_{\rm D}) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D})/\sigma_d^2$. The noise variance can, for example, be calculated as the integral over $h^2(t)$ ⇒ $\sigma_d^2= N_0 \cdot \Delta t_h/2 = 0.005$.
The useful detection signal $d_{\rm S} (t)= g(t) * h(t)$ has a triangular shape with the maximum $d_{\rm S} (T_{\rm D, \ opt} = 0 )= 1$ ⇒ $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 200= \rho _{\rm MF}$.

(3) The settings of $(2)$ continue to apply, with the exception of $N_0=0.02 $ instead of $N_0=0.01$. What changes can be seen?

The only difference is twice the noise variance $\sigma_d^2= 0.01$ ⇒ $\rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) = 100= \rho _{\rm MF}$ ⇒ $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} =20$ dB.

(4) The settings of $(3)$ continue to apply, except $T_{\rm D} = 0.1 $ instead of $T_{\rm D, \ opt} = 0$. What is the effect of this non-optimal detection time?

Now the useful signal value $d_{\rm S} (T_{\rm D} = 0.1 )= 0.9$ is smaller ⇒ $\rho_d (T_{\rm D} = 0.1 ) =0.9^2/0.01= 81< \rho _{\rm MF}$. There is a degradation of nearly $1$ dB.
For the further tasks the optimal detection time $T_{\rm D, \ opt}$ is assumed, if not explicitly stated otherwise.

(5) The settings of $(3)$ apply again except for a lower impulse response $A_h = 0.8 $ instead of $A_h = 1$. Interpret the changes.

With $A_h \ne A_g$ it is also a Matched Filter as long as $h(t)$ is equal in shape to $g(t)$ ⇒ $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } } =100$ ⇒ $10 \cdot \lg \rho _{\rm MF} =20$ dB.
The equation $\rho_d (T_{\rm D}=0) =d_{\rm S}^2 (T_{\rm D}=0)/\sigma_d^2$ leads to the same result, since ${d_{\rm S}}^2 (T_{\rm D})$ and $\sigma_d^2$ are compared to $(3)$ each reduced by a factor $0. 8^2$.

(6) Compared to $(5)$ now the height of the input pulse $g(t)$ is increased from $A_g = 1$ to $A_g = 1. 25$. Does $h(t)$ describe a Matched Filter? What is the SNR $\rho_{\rm MF}$?

Again, this is a Matched Filter, since $h(t)$ and $g(t)$ are equal in shape. With $E_g = 1.25^2$: $\rho _{\rm MF} = { {2 \cdot 1.25^2 } }/{ 0.02 } =156.25$ ⇒ $10 \cdot \lg \rho_{\rm MF} \approx 21.9$ dB.
The higher value $21.9$ dB compared to $(5)$ is related to the fact that for the same noise variance $\sigma_d^2= 0.0064$ the useful detection sample is again ${d_{\rm S}} (T_{\rm D}) = 1$.

(7) We continue from the rectangle–rectangle combination with $A_h=A_g=1,\ \ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.02,\ T_{\rm D}=0$.
Interpret the results after varying the equivalent pulse duration $\Delta t_h$ of $h(t)$ in the range $0.6$ ... $1.4$. Use the graph representation over $\Delta t_h$.

As expected the optimum is obtained for the equivalent pulse duration $\Delta t_h=\Delta t_g=1$. Then $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) =20$ dB $\big(= 10 \cdot \lg \rho_{\rm MF}\big)$.
If $\Delta t_h<\Delta t_g=1$, the useful detection signal is trapezoidal. For $\Delta t_h=0.6$: $d_{\rm S} (T_{\rm D}=0)= 0.6$, $\sigma_d^2\approx0.006$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) \approx 17.8$ dB.
Also for $\Delta t_h>1$ the useful detection signal is trapezoidal, but now still $d_{\rm S} (T_{\rm D}=0)= 1$. The noise variance $\sigma_d^2$ increases continuously with $\Delta t_h$.
For $\Delta t_h=1.4$: $\sigma_d^2=0.014$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D, \ opt} = 0 ) \approx 18. 5$ dB. Compared to the Matched Filter $(\Delta t_h=1)$ the degradation is approx. $1.5$ dB.

(8) Now interpret the results for different $\Delta t_g$ of the input pulse $g(t)$ in the range $0.6$ ... $1.4$. Use the graph representation over $\Delta t_g$.

Note: The blue curve $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$ is the difference between $20\cdot \lg \ \big [{K \cdot d_{\rm S}} (T_{\rm D,\ opt}) \big ]$ (purple curve) and $20\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d \big ]$ (green curve).
For the considered parameter set and $K=10$ the "green term" $20\cdot \lg \ \big [K \cdot \sigma_d \big ] = 0$ dB for all $\Delta t_g$ ⇒ the blue and the purple curves are identical.
The blue curve $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$ increases from $15.6$ dB $($for $\Delta t_g = 0. 6)$ to $20$ dB $($for $\Delta t_g = 1)$ continuously and then remains constant for $\Delta t_g > 1$.
But, the setting $(\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1)$ does not yield a "Matched Filter". Rather, with $\Delta t_h = \Delta t_g = 1.4$: $10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}=10 \cdot \lg \ (2 \cdot E_g/N_0) \approx 21.5$ dB.
On the other hand the plot over $\Delta t_h$ with the default setting $(\Delta t_g = 1.4,\ \Delta t_h = 1)$ shows a monotonic increase of the blue curve $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )$.
For $\Delta t_h = 0.6$ this gives $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )\approx 17.8$ dB, and for $\Delta t_h = 1. 4$ against $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt} )\approx 21.5$ dB $=10 \cdot \lg \ \rho_{\rm MF}$.

(9) We consider the exponential pulse $g(t)$ and the first order low–pass, where $A_h=A_g=1,\ \Delta t_h=\Delta t_g=1,\ \tau_h=\tau_g=0,\ N_0 =0.02,\ T_{\rm D}=1$.
Does this setting meet the Matched Filter criteria? Justify your answers with as many arguments as possible.

No! Here $h(t)=g(t)$. In a Matched Filter configuration, the impulse response should be $h(t)={\rm const.}\cdot g(T_{\rm D}-t) $.
The useful detection signal $d_{\rm S}(t)$ does not have a symmetric shape around the maximum. For the Matched Filter, $d_{\rm S}(T_{\rm D}-t) = d_{\rm S}(T_{\rm D}+t) $ would have to hold.
Despite $\Delta t_h=\Delta t_g$ the SNR $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt}) \approx 14. 3$ dB is now less than $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 10 \cdot \lg \ 2 \cdot E_g/N_0 \approx 17$ dB.

(10) With all other settings being the same, what changes with the "extremely acausal filter"? Does the setting meet the Matched Filter criteria? Reason.

Now here $h(t)=g(-t)$ and the useful detection signal $d_{\rm S}(t)$ is symmetric around $t=0$. It makes sense to choose $T_{\rm D} = 0 $ here.
This gives $10 \cdot \lg \ \rho_d (T_{\rm D,\ opt}) =10 \cdot \lg \ d_{\rm S}^2 (T_{\rm D,\ opt})/\sigma_d^2 = 17$ dB – the same value as for $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 10 \cdot \lg \ 2 \cdot E_g/N_0 = 17$ dB.
The useful detection signal $d_{\rm S}(t)$ is of the same shape as the energy ACF of the input pulse $g(t)$. The Matched Filter focuses the energy around the time $T_{\rm D,\ opt}$.

(11) With which rectangular pulse $g(t)$ can one achieve the same $\rho _{\rm MF}=50$ as in task $(10)$?
With $(A_h=A_g=1,\ \ \Delta t_h=\Delta t_g=0.5)$ or with $(A_h=A_g=0.5,\ \ \Delta t_h=\Delta t_g=1)$ ?

From the equation $\rho _{\rm MF} = 2 \cdot E_g/N_0$ it is already clear that the SNR depends only on the energy $E_g$ of the input pulse and not on its shape.
The exponential pulse with $(A_g=1,\ \Delta t_g=1)$ has the energy $E_g=0.5$ ⇒ $\rho _{\rm MF}=50$. As well as the rectangular pulse with $(A_g=1,\ \Delta t_g=0.5)$.
In contrast, the rectangular pulse with $(A_g=0.5,\ \Delta t_g=1)$ has a smaller energy ⇒ $E_g=0. 25$ ⇒ $\rho _{\rm MF}=25$ ⇒ $10 \cdot \lg \ \rho _{\rm MF} = 14$ dB.

Applet Manual

(A) Auswahl eines von vier Quellensignalen

(B) Parameterwahl für Quellensignal $1$ (Amplitude, Frequenz, Phase)

(C) Ausgabe der verwendeten Programmparameter

(D) Parameterwahl für Abtastung $(f_{\rm G})$ und
Signalrekonstruktion $(f_{\rm A},\ r)$

(E) Skizze des Empfänger–Frequenzgangs $H_{\rm E}(f)$

(F) Numerische Ausgabe $(P_x, \ P_{\rm \varepsilon}, \ 10 \cdot \lg(P_x/ P_{\rm \varepsilon})$

(G) Darstellungsauswahl für Zeitbereich

(H) Grafikbereich für Zeitbereich

( I ) Darstellungsauswahl für Frequenzbereich

(J) Grafikbereich für Frequenzbereich

(K) Bereich für Übungen: Aufgabenauswahl, Fragen, Musterlösung

About the Authors

This interactive calculation tool was designed and implemented at the Institute for Communications Engineering at the Technical University of Munich.

The first version was created in 2006 by Markus Elsberger as part of his bachelor thesis with “FlashMX – Actionscript” (Supervisor: Günter Söder).

Last revision and English version 2020/2021 by Carolin Mirschina in the context of a working student activity. Translation using DEEPL.com.

The conversion of this applet to HTML 5 was financially supported by Studienzuschüsse ("study grants") of the TUM Faculty EI. We thank.

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