Exercise 1.5Z: Sinc-shaped Impulse Response

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$\rm sinc$–shaped impulse response

Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (und akausalen) Systems wurde wie folgt ermittelt (siehe Grafik):

$$h(t) = 500\hspace{0.1cm}{ {\rm s}}^{-1}\cdot{\rm sinc}\big[{t}/({ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}})\big] .$$

Berechnet werden sollen die Ausgangssignale  $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz  $f_0$  angelegt werden:

$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) .$$

Please note:

• The exercise belongs to the chapter  Some Low-Pass Functions in Systems Theory.
• Die Lösung kann im Zeitbereich oder im Frequenzbereich gefunden werden. In der Musterlösung finden Sie beide Lösungswege.
• Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:

$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm d}u = \left\{ \begin{array}{c} \pi/2 \\ \pi/4 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ |a| < 1,} \\{ |a| = 1,} \\ { |a| > 1.} \\ \end{array}$$

Questions

1

Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$  des LZI-Systems. Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?

$\Delta f \ =\ $ $\ \rm kHz$

$H(f = 0) \ =\ $

2

Welchen Signalwert besitzt das Ausgangssignal  $y(t)$  zur Zeit  $t = 0$  bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz  $\underline{f_0 = 1\ \rm kHz}$?

$y(t = 0) \ = \ $ $\ \rm V$

3

Welchen Signalwert besitzt das Ausgangssignal  $y(t)$  zur Zeit  $t = 0$  bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz  $\underline{f_0 = 0.1\ \rm kHz}$?

$y(t = 0) \ =\ $ $\ \rm V$

4

Welchen Signalwert besitzt das Ausgangssignal  $y(t)$  zur Zeit  $t = 0$  bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz  $\underline{f_0 = 0.5\ \rm kHz}$?

$y(t = 0) \ = \ $ $\ \rm V$

Solution

Solution

(1)  Ein Vergleich mit den Gleichungen auf der Seite  Idealer Tiefpass, oder die Anwendung der  Fourierrücktransformation  zeigt, dass  $H(f)$  ein idealer Tiefpass ist:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}K \\ K/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\ \end{array}$$

• Die äquidistanten Nulldurchgänge der Impulsantwort treten im Abstand  $Δt = 1 \ \rm ms$  auf.
• Daraus folgt die äquivalente Bandbreite  $Δf \rm \underline{ = 1 \ \rm kHz}$. 
• Wäre  $K = 1$, so müsste  $h(0) = Δf = 1000 \cdot \rm 1/s$  gelten.
• Wegen der Angabe  $h(0) = 500 \cdot{\rm 1/s} = Δf/2$  ist somit der Gleichsignalübertragungsfaktor  $K = H(f = 0) \; \rm \underline{= 0.5}$.

(2)  Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen.

• Für das Ausgangsspektrum gilt:   $Y(f) = X(f)\cdot H(f) .$
• $X(f)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $± f_0$, jeweils mit Gewicht  $A_x/2 =2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
• Bei  $f = f_0 = 1 \ {\rm kHz} > Δf/2$  ist aber  $H(f) = 0$, so dass  $Y(f) = 0$  und damit auch  $y(t) = 0$  ist   ⇒   $\underline{y(t = 0) = 0}$.

Die Lösung im Zeitbereich basiert auf der Faltung:

$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h ( \tau )} \cdot x ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

• Zum Zeitpunkt  $t = 0$  erhält man unter Berücksichtigung der Symmetrie der Cosinusfunktion:

$$y(t = 0 ) = \frac{A_x \cdot \Delta f}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\rm si} ( \pi \cdot \Delta f \cdot \tau ) \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot \tau ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

• Mit der Substitution  $u = π · Δf · τ$  kann hierfür auch geschrieben werden:

$$y(t = 0 ) = \frac{A_x }{\pi} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u} \hspace{0.15cm}{\rm d}u .$$

• Hierbei ist die Konstante  $a = 2f_0/Δf = 2$. Mit diesem Wert liefert das angegebene Integral den Wert Null:   $y(t = 0 ) = {A_y } = 0.$

(3)  Der Frequenzgang hat bei  $f = f_0 = 100 \ \rm Hz$  nach den Berechnungen zur Teilaufgabe  (1)  den Wert  $K = 0.5$. Deshalb ergibt sich

$$A_y = A_x/2 = 2\ \rm V.$$

• Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Faltung nach obiger Gleichung.
• Für  $a = 2f_0/Δf = 0.2$  ist das Integral gleich  $π/2$  und man erhält

$$y(t = 0 ) = {A_y } = \frac{A_x}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{A_x}{2} \hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm V}}.$$

(4)  Genau bei  $f = 0.5 \ \rm kHz$  liegt der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle:

$$H(f = f_0) = K/2.$$

• Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie in der Teilaufgabe  (3)  berechnet, nämlich  $A_y \; \underline{= 1 \, \rm V}$.
• Zum gleichen Ergebnis kommt man mit  $a = 2f_0/Δf = 1$  über die Faltung.