Exercise 2.2: Distortion Power

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Input signal and output signals

A rectangular pulse $x(t)$  with amplitude $1 \hspace{0.08cm} \rm V$  and duration $4 \hspace{0.08cm} \rm ms$  is applied to the input of a communication system. Then, the pulse $y_1(t)$ , whose signal parameters can be taken from the middle sketch, is measured at the system output.

At the output of another system  $S_2$ , the signal $y_2(t)$  shown in the lower sketch is obtained with the same input signal $x(t)$ .

Let the following definition apply to the error signal used in this task:

$$\varepsilon(t) = y(t) - \alpha \cdot x(t - \tau) .$$

The parameters $\alpha$  and  $\tau$  are to be determined such that the distortion power (the mean squared error) is minimal. For this, the following holds:

$$P_{\rm V} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{ ( T_{\rm M})} {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t$$

These definitions already take into account that a frequency-independent damping just as a runtime which is constant for all frequencies does not contribute to the distortion.

The integration interval has to be chosen appropriately in each case:

• Use the interval  $0$ ... $4 \hspace{0.08cm} \rm ms$  for $y_1(t)$  and the interval  $1 \hspace{0.08cm} {\rm ms}$ ... $5 \hspace{0.08cm} \rm ms$ for   $y_2(t)$ .
• Thus, the measurement time is $T_{\rm M} = 4 \hspace{0.08cm} \rm ms$ in both cases.
• It is obvious that with respect to $y_1(t)$  die Parameter  $\alpha = 1$  and  $\tau = 0$  respectively result in the minimum distortion power.

The so-called signal–to–distortion–power ratio berechnet sich im allgemeinen Fall zu

$$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet

• $P_x$  die Leistung des Signals  $x(t)$, und
• $\alpha^2 \cdot P_x$  die Leistung von  $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$, die sich bei Abwesenheit von Verzerrungen ergeben würde.

Meist – so auch in dieser Aufgabe – wird dieses S/N-Verhältnis  $\rho_{\rm V}$  logarithmisch in  $\rm dB$  angegeben.

Please note:

• The exercise belongs to the chapter  Classification of the Distortions.
• In particular, consider the pages 

Quantitative measure for the signal distortions  and also  

Berücksichtigung von Dämpfung und Laufzeit.

Questions

1

Determine the distortion power of the system  $S_1$.

$P_{\rm V1} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-3} \ {\rm V}^2$

2

Berechnen Sie das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis für System  $S_1$.

$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V1} \ = \ $ $\ \rm dB$

3

Welche Parameter  $\alpha$  und  $\tau$  sollten zur Berechnung der Verzerrungsleistung des Systems  $S_2$  herangezogen werden?
Begründen Sie Ihr Ergebnis.

$\alpha \ = \ $

$\tau \ = \ $ $\ \rm ms$

4

Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems  $S_2$.

$P_{\rm V2} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-3} \ {\rm V}^2$

5

Berechnen Sie das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis für das System  $S_2$.
Interpretieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse.

$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V2} \ = \ $ $\ \rm dB$

Solution

Solution

Resultierende Fehlersignale

(1)  Mit den gegebenen Parametern  $\alpha = 1$  und  $\tau= 0$  erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal  $\varepsilon_1(t)$. Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:

$$P_{\rm V1} = \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \big[ ({0.1 \, \rm V})^2 + ({-0.1 \, \rm V})^2\big]\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \cdot 10^{-3} \, \rm V^2}.$$

(2)  Die Leistung des Eingangssignals beträgt:

$$P_{x} = \frac{1}{4 \, \rm ms} \cdot ({1 \, \rm V})^2 \cdot {4 \, \rm ms}\hspace{0.15cm}{ = {1 \, \rm V^2}}.$$

• Mit dem Ergebnis aus  (1)  erhält man somit für das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis:

$$\rho_{\rm V1} = \frac{ P_{x}}{P_{\rm V1}}= \frac{ {1 \, \rm V^2}}{0.005 \, \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 200\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}\hspace{0.15cm}\underline{ = {23.01 \, \rm dB}}.$$

(3)  Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen – sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit das Signal  $y(t)$  von  $x(t)$  – deutlich unterscheiden würde.

• Es würde sich  $y(t) = 0.5 \cdot x(t-1\ {\rm ms})$  ergeben.

• Wenn jemand diese Werte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele  $\alpha$–  und  $\tau$–Werte zunächst das Fehlersignal

$$\varepsilon_2(t) = y_2(t) - \alpha \cdot x(t - \tau)$$

und anschließend den mittleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an  $\tau$  anzupassen ist.

• Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für  $\alpha \; \underline{= 0.5}$  und  $\tau \; \underline{= 1 \ \rm ms}$  erhalten. Für diese Optimierung von  $\alpha$  und  $\tau$  sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.

(4)  Die obige Skizze zeigt, dass  $\varepsilon_2(t)$  bis auf eine Verschiebung um  $1 \ \rm ms$  gleich dem Fehlersignal  $\varepsilon_1(t)$  ist. Mit dem Integrationsintervall  $1 \ {\rm ms}$ ... $5 \ {\rm ms}$  ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:

$$P_{\rm V2} = P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \cdot 10^{-3} \, \rm V^2}.$$

(5)  Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$$\rho_{\rm V2} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V2}}= \frac{ 0.5^2 \cdot {1 \, \rm V^2}}{0.005 \, \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 50\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2} \hspace{0.15cm}\underline{= {16.99 \, \rm dB}}.$$

• Trotz gleicher Verzerrungsleistung ist  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2}$  gegenüber  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}$  um etwa  $6 \ \rm dB$  geringer.
• Das Signal  $y_2(t)$  ist also hinsichtlich des SNR deutlich ungünstiger als  $y_1(t)$.
• Es ist berücksichtigt, dass nun wegen  $\alpha = 0.5$  die Leistung des Ausgangssignals nur noch ein Viertel der Eingangsleistung beträgt.
• Würde man diese Dämpfung am Ausgang durch eine Verstärkung um $1/\alpha$ kompensieren, so würde zwar die Verzerrungsleistung um $\alpha^2$ größer.

• Das Signal-zu-Verzerrungs-Leistungsverhältnis $\rho_{\rm V2}$ bliebe jedoch erhalten, weil auch das "Nutzsignal" um den gleichen Betrag angehoben wird.