Exercise 2.5Z: Nyquist Equalization
A digital baseband transmission system is modelled by the depicted block diagram.
- The "transmitter", "channel" and "receiver" components are described in the frequency domain by $H_{\rm S}(f)$, $H_{\rm K}(f)$ and $H_{\rm E}(f)$ .
- The overall frequency response $H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$ has a $\cos^2$–shaped curve:
- $$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left({\pi}/{2} \cdot f \cdot T \right) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < 1/T,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge 1/T.} \\ \end{array}$$
- The signal $y(t)$ vor dem Entscheider weist somit äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $T$ auf.
- Vorausgesetzt ist dabei, dass die Quelle einen Dirac-delta $x(t)$ mit Gewicht $T$ abgibt (siehe Grafik).
Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes "Nyquistsystem" handelt.
Wie im Buch Digital Signal Transmission noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei ihnen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.
Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt.
Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass
- der Sendeimpuls $s(t)$ rechteckförmig sei mit Impulsdauer $T$:
- $$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$
- der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe (2) als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe (3) gelten soll:
- $$H_{\rm K}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$
Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger– und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$, damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.
Please note:
- The task belongs to the chapter Linear Distortions.
- Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:
- $$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = {1}/{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$
Questions
Solution
(1) Mit dem konstanten Spektrum $X(f) = T$ erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals $y(t)$:
- $$Y(f)= T \cdot {H(f)}.$$
- Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Fläche unter $Y(f)$.
- Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich $1$. Daraus folgt:
- $$y(t = 0)\; \underline{= 1}.$$
(2) Aus der Bedingung $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = H(f)$ folgt im betrachteten Bereich:
- $$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)} = \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{\sin(\pi f T)/(\pi f T)}.$$
- Wegen $\cos(0) = 1$ und ${\rm si}(0) = 1$ gilt auch $H_{\rm E}(f = 0)\;\underline{=1}$.
- Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:
- $$H_{\rm E}(f) = {\pi f T}/{2} \cdot {\rm cot}\left( {\pi f T}/{2}\right),$$
- $$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = {\pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right) = {\pi }/{8} \cdot 2.414 = \hspace{0.15cm}\underline{0.948},$$
- $$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.50) = {\pi }/{4} \cdot {\rm cot}\left( 45^{\circ}\right) = {\pi }/{4} \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.785},$$
- $$ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.75) = {3 \pi }/{8} \cdot {\rm cot}\left( 67.5^{\circ}\right) = {3 \pi }/{8} \cdot 0.414 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.488},$$
- $$ H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00)= { \pi }/{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) ={ \pi }/{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
(3) Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:
$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rm
E}^{(2)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T)^2}.$$
Hierbei bezeichnet $H_{\rm E}^{(2)}(f)$ den bei der Teilaufgabe (2) berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:
- $$H_{\rm E}(f\cdot T = 0) = 1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
- $$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = 0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.154},$$
- $$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.50) = 0.785 \cdot 2.193 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.722},$$
- $$H_{\rm E}(f \cdot T = 0.75) = 0.488 \cdot 5.854 \hspace{0.15cm}\underline{= 2.857},$$
- $$H_{\rm E}(f \cdot T = 1.00) = 0 \cdot 23.141 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
Die grüne Kurve in obiger Grafik fasst die Ergebnisse dieser Teilaufgabe zusammen.
