Exercise 3.5Z: Application of the Residue Theorem

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Six different
pole–zero configurations

Let the spectral function  $Y_{\rm L}(p)$  be given in pole–zero notation characterized by

• $Z$  zeros  $p_{{\rm o}i}$,
• $N$  poles  $p_{{\rm x}i}$, and
• the constant  $K$.

Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets  $K= 2$.

Für den Fall, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen kleiner als die Anzahl  $N$  der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des  Residuensatzes  direkt ermittelt werden.

In diesem Fall gilt

$$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{ Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right \} \hspace{0.05cm}.$$

$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;  bei allen vorgegebenen Konstellationen ist  $I = N$.

Please note:

• The exercise belongs to the chapter  Inverse Laplace Transform.

• Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden.  Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
• Die komplexe Frequenz  $p$, die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
• Damit ist auch die Zeit  $t$  dimensionslos.

Questions

1

Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz nicht direkt anwenden?

	Konfiguration  $\rm A$,
	Konfiguration  $\rm B$,
	Konfiguration  $\rm C$,
	Konfiguration  $\rm D$,
	Konfiguration  $\rm E$,
	Konfiguration  $\rm F$.

2

Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

3

Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

4

Welcher Signalwert  $y(t = 1)$  ergibt sich bei der Konstellation  $\rm E$ mit  $K= 2$  und zwei Polstellen bei  $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?

$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $

$\ {\rm Im}\{y(t = 1)\} \ = \ $

Solution

Solution

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 4 und 6:

• Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss  $Z < N$  gelten.
• Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
• Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:

$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1} \hspace{0.05cm} .$$

(2)  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1) =\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}} \hspace{0.05cm} .$$

(3)  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  (2)  erhält man nun:

$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t} = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm} .$$

• Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.
• Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:

$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [ \cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi) \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638} \hspace{0.05cm} .$$

• Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.  Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.

Komplexe Signale bei einem Pol

(4)  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:

$$y_1(t) = \frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}= \frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm} ,$$

$$y_2(t) = \frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}= -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t)= y_1(t)+y_2(t) = \frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.) - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]= \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$

Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.15cm}\underline{= -0.347} \hspace{0.05cm} .$$

Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.