Exercise 1.3: System Comparison at AWGN Channel

System Comparison at the AWGN Channel

For the comparison of different modulation and demodulation methods with regard to noise sensitivity, we usually start from the so-called AWGN Channel and present the following double logarithmic diagram:

The y-axis indicates the sinkt-to-noise ratio (logarithmic SNR) $10 · \lg ρ_v$ in dB.
$10 · \lg ξ$ is plotted on the x-axis; the normalized power parameter ("performance parameter") is characterized by:

$$ \xi = \frac{P_{\rm S} \cdot \alpha_{\rm K}^2 }{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}\hspace{0.05cm}.$$

Thus, the transmission $P_{\rm S}$, the channel attenuation factor $α_{\rm K}$, the noise power density $N_0$ and the bandwidth $B_{\rm NF}$ of the message signal are suitably summarised together in $ξ$ .
Unless explicitly stated otherwise, the following values shall be assumed in the exercise:

$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm K} = 0.001\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {N_0} = 10^{-10}\;{\rm W}/{\rm Hz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Two systems are plotted in the graph and their $(x, y)$-curve can be described as follows:

$\text{System A}$ is characterized by the following equation:

$$y = x+1.$$

Accordingly, $\text{System B}$ is characterized by:

$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right)\hspace{0.05cm}.$$

The additional axis labels drawn in green have the following meaning:

$$ x = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}y = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Thus $x = 4$ represents $10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$ or $ξ = 10^4$ and $y = 5$ represents $10 · \lg ρ_v= 50\text{ dB}$ , i.e., $ρ_v = 10^5$.

Hints:

This exercise belongs to the chapter Quality Criteria.
Particular reference is made to the page Investigating at the AWGN Channel.
Durch die Angabe der Leistungen in $\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand $R$.

Quiz

$10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $

$\ \text{dB}$

	Erhöhung der Sendeleistung von $P_{\rm S}= 5\text{ kW}$ auf $10\text{ kW}$ .
	Erhöhung des Kanalübertragungsfaktors von $α_{\rm K} = 0.001$ auf $0.004$.
	Reduzierung der Rauschleistungsdichte auf $N_0=10^{–11 }\text{ W/Hz}$.
	Erhöhung der NF–Bandbreite von $B_{\rm NF}= 5\text{ kHz}$ auf $\text{ kHz}$.

$10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $

$\ \text{dB}$

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \text{ kW }$

$10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ \ = \ $

$\ \text{dB}$

Musterlösung

Solution

(1) Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu

$$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$

Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$ führt.

(2) Richtig sind die Alternativen 2 und 3:

Diese Forderung entspricht gegenüber dem bisherigen System einer Erhöhung des Störabstandes um $10$ dB, so dass auch $10 · \lg \hspace{0.05cm}ξ$ um $10$ dB erhöht werden muss:

$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 50\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \xi=10^5 \hspace{0.05cm}.$$

Ein $10$–fach größerer $ξ$–Wert wird erreicht – vorausgesetzt die anderen Parameter bleiben jeweils gleich:

durch die Sendeleistung $P_{\rm S} = 50$ kW statt $5$ kW,
durch den Kanalübertragungsfaktor $α_{\rm K} = 0.00316$ anstelle von $0.001$,
durch die Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{ –11 }$ W/Hz statt $10^{ –10 }$ W/Hz,
durch die Bandbreite $B_{\rm NF} = 0.5$ kHz statt $5$ kHz.

(3) Für $10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ = 40$ dB ist die Hilfsgröße $x = 4$. Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:

$$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$

Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem $\text{System A}$ um $7$ dB.

(4) Diese Problemstellung wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) = 5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-x+1} ={1}/{6}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \approx 2.79 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 27.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Bei $\text{System A}$ war hierfür $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_{\rm S} = 5$ kW erreicht wurde.
Nun kann die Sendeleistung um etwa $12.1$ dB verringert werden:

$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}}= -12.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}} = 10^{-1.21}\approx 0.06\hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet: Bei $\text{System B}$ wird mit nur $6\%$ der Sendeleistung von $\text{System A}$ – also mit nur $P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.3 \ \rm kW}$ – die gleiche Systemqualität erzielt.

(5) Wir bezeichnen mit $V$ (steht für "Verbesserung") den größeren Sinken–Störabstand von $\text{System B}$ gegenüber $\text{System A}$ :

$$V = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;B)} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;A)} = \left[6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) -x -1 \right] \cdot 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige $x$–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt:

$$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} = 6 \cdot {\rm e}^{-x+1} -1\Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = \hspace{0.15cm}\underline {27.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Es ergibt sich also genau der in der Teilaufgabe (4) behandelte Fall mit $10 · \lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei $\text{System A}$ nur $37.9$ dB beträgt.
Die Verbesserung ist demnach $12.1$ dB.