Properties of Balanced Copper Pairs

1. Linear and Time Invariant Systems
2. Properties of Electrical Cables
3. Properties of Balanced Copper Pairs

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Access network of a telecommunications system

Local loop area for ISDN

In a telecommunications system, a distinction is made between

• the long-distance and regional network and
• the local loop area,

which are separated from each other by the local exchange. The graphic shows the network infrastructure for  $\rm ISDN$  (Integrated Services Digital Network).

Originally, the entire telephone network was based on copper lines. In the mid-1980s, however, the (mainly coaxial) copper cables were replaced by optical fiber for long-distance traffic, as the steadily growing demand for bandwidth could only be met with optical transmission technology.

• Due to the immensely high installation costs, optical fibers in the local loop area are still not economically viable today (2009), although plans for  Fiber–to–the–Building  (FttB) and  Fiber–to–the–Home  (FttH) have long been in the pipeline.

• Instead, over the past twenty years, the path has been taken to provide sufficient capacity via the conventional access network based on copper lines by developing and improving high-rate transmission systems such as  $\rm DSL$  (Digital Subscriber Line) .

$\text{Example 1:}$  In Germany, this so-called "Last Mile"   (⇒   the local loop area)  is shorter than four kilometers on average in the country, and in urban areas  $90\%$  of the time even shorter than  $\text{2.8 km}$.  The local loop area is usually structured as follows:

Bundling and twisting of copper wires

• the main cable  with up to  $2000$  pairs as a connection between the local exchange and the cable branch,
• the branch cable  between the cable branch and the final branch, with up to  $300$  pairs and significantly shorter than a main cable  $($maximum  $\text{500 m)}$,
• the house connection cable  between the terminal box and the network termination box at the subscriber with two pairs of wires.

To reduce crosstalk on neighboring line pairs due to inductive and capacitive couplings and to increase the packing density, two pairs of twisted pairs are twisted into a so-called  "star quad" .  The diagram below shows such a star quad and a bundled cable.

• Here, five such quads each are combined to form a basic bundle, and five basic bundles each are combined to form a main bundle.
• This thus contains  $50$  twin pairs with PE insulation  (PE:   polyethylene).

Attenuation function of two-wire lines

The attenuation function per unit length  $α(f)$  and the wave impedance  $Z_{\rm W}(f)$  of twisted pairs in real laid cables deviate to a greater or lesser extent from the theory presented in the chapter  Some Results from Line Transmission Theory . Reasons for this are:

Attenuation function of two-wire lines of different diameters

• Non-consideration of complex processes of eddy current formation and current displacement,  and
• Inhomogeneities in cable structure in spliced cable sections.

Various network operators have measured  $α(f)$  and  $Z_{\rm W}(f)$  and derived empirical equations from them.   We refer here to the work of M. Pollakowski and H.W. Wellhausen of the Fernmeldetechnisches Zentralamt der Deutschen Bundespost in Darmstadt documented in  [PW95] .

They determined for different line diameters  $d$  among other things the empirical attenuation function per unit length from forty measurements each in the frequency range up to  $\text{30 MHz}$  according to the equation

$$\alpha (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/{\rm MHz})^{k_3} \hspace{0.05cm}.$$

The graph shows the measurement results:

• $d = 0.35 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
• $d = 0.40 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
• $d = 0.50 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
• $d = 0.60 \ {\rm mm}$:   $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

One can see from this representation:

• Attenuation function per unit lenth  $α(f)$  and attenuation function  $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$  depend significantly on the cable diameter. The cables laid since 1994 with  $d = 0.35 \ \rm (mm)$  and  $d = 0.5$  have about  $10\%$  larger attenuation function per unit length than the older cables with  $d = 0.4$  and  $d= 0.6$.
• However, this smaller diameter, justified by the manufacturing and laying costs, significantly reduces the range  $l_{\rm max}$  of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case expensive intermediate generators have to be used.
• The transmission methods commonly used today for copper lines, however, occupy only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$  for $\rm ISDN$ (Integrated Services Digital Network)  and about $1100 \ \rm kHz$ for $\rm DSL$ (Digital Subscriber Line).  For  $f = 1 \ \rm MHz$ , the attenuation function per unit length for a  $0.4 \ \rm mm$  cable is about  $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of  $l = 4 \ \rm km$  the attenuation value does not exceed  $80 \ \rm dB$ .
• One exception is  $\rm VDSL$  (Very High Data Rate Digital Subscriber Line), which is offered by Deutsche Telekom in larger cities, for example.  Here, the frequency range goes up to  $30 \ \rm MHz$. For this reason, fiber optic connections were laid right up to the cable branch in order to keep the length that still has to be bridged with copper short.  This is known as Fibre–to–the–Cabinet (FttC).

Conversion between $k$ and $\alpha$ parameters

To calculate the frequency response  $H_{\rm K}(f)$,  one should always start from the measured attenuation function per unit length

$$\alpha (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}= \alpha_{\rm I} (f) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm with} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz}.$$

If, on the other hand, one wishes to determine the associated time function in terms of the impulse response  $h_{\rm K}(t)$ , it is more convenient, as shown in the  section after the next,  if the attenuation function per unit length can be represented in the form that is also common for coaxial cables:

$$\alpha(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}= \alpha_{\rm II} (f).$$

As a criterion of this conversion we use that the squared deviation between both functions is minimal in the range from  $f = 0$  to  $f = B$ :

$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

Es ist offensichtlich, dass  $α_0 = k_1$  gelten wird. Die Parameter  $α_1$  und  $α_2$  sind von der gewünschten Bandbreite $B$ abhängig. Sie lauten entsprechend der Exercise 4.6:

$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

• Für  $k_3 = 1$  (frequenzproportionales Dämpfungsmaß) ergeben sich folgerichtig die $\alpha$–Parameter zu

$$\alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} ,$$

• während man für  $k_3 = 0.5$  die folgenden Koeffizienten erhält:

$$\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0}}\hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall steigt das Dämpfungsmaß  $α(f)$  mit der Wurzel aus der Frequenz an. Es ergibt sich also der gleiche Verlauf wie bei einem Koaxialkabel, bei dem ja bekanntlich der Skineffekt dominiert.

Nachfolgend wird an drei Beispielen verdeutlicht, wie die zugrundeliegende Bandbreite  $B$  die Ergebnisse dieser Umrechnung beeinflussen.

$\text{Beispiel 2:}$  Bei den folgenden Grafiken gehen wir von der Leitungslänge  $l = 1 \ \rm km$  und vom Durchmesser  $d = 0.4 \ \rm mm$  aus, so dass gilt:

Approximation der  $k$–  durch  $\alpha$–Parameter

$$k_1 = 5.1 \ \rm dB/km, \ k_2 = 14.3 \ \rm dB/km, \ k_3 = \ 0.59.$$

Für diesen Fall zeigt die folgende Grafik

• die mit  $α_0, α_1$  und  $α_2$  approximierte Dämpfung (blaue Kurve)
• im Vergleich zum tatsächlichen Verlauf gemäß  $k_1, k_2, k_3$  (rote Kurve).

Die drei Diagramme gelten für die Bandbreiten  $B = 10 \ \rm MHz$,  $B = 20 \ \rm MHz$  und  $B = \ \rm 30 \ MHz$.

• Die ermittelten Koeffizienten  $α_1$  und  $α_2$  sind angegeben.
• Stets gilt  $α_0 = k_1 = 5.1 \ \rm dB/km$.

Man erkennt aus diesen Darstellungen:

• Selbst beim größten Approximationsbereich  $(B = 30 \ \rm MHz)$  nähert die blaue Kurve  $($mit  $α_0,  α_1,  α_2)$  den gemessenen Verlauf  $($rote Kurve, beschrieben durch  $k_1, \ k_2, \ k_3)$  sehr gut an.
• Bei kleinerer Bandbreite  $(B = 20 \ \rm MHz$  bzw.  $B = 10 \ \rm MHz)$  ist die Approximation im Bereich  $0≤ f ≤ B$  noch besser, doch kommt es dann für  $f > B$  zu Verfälschungen.
• Der Dämpfungswert  $a_{\rm K}(f = 30 \ \rm MHz) ≈ 112.2 \ \rm dB$  setzt sich bei der betrachteten Zweidrahtleitung folgendermaßen zusammen:  $4.5\%$  geht auf den Koeffizienten  $α_0$  (Ohmsche Verluste)  zurück,  $23.5\%$  auf den  $f$–proportioanlen Anteil  $α_1$  und  $72\%$  auf den Koeffizienten  $α_2$.
• Das Normalkoaxialkabel  $\text{2.6/9.5 mm}$  weist im Vergleich dazu erst bei einer Länge von  $l = 8.7 \ \rm km$  eine vergleichbare Dämpfung  $(≈ 112 \ \rm dB)$  auf, wobei der Großteil der Dämpfung  $(98.9\%)$ vom Skineffekt  $(α_2)$  herrührt.

In der Gegenrichtung  $(α_1, \ α_2 ⇒ k_2, \ k_3)$  lautet die Umrechnungsvorschrift für den Exponenten:

$$k_3 = \frac{H + 0.5} {H +1}, \hspace{0.8cm}\text{Hilfsgröße: }H = \frac{2} {3} \cdot \frac{\alpha_1 \cdot \sqrt{f_0}}{\alpha_2} \cdot \sqrt{B/f_0}.$$

Mit diesem Ergebnis lässt sich  $k_2$  mit jeder der beiden oben angegebenen Gleichungen berechnen.

Impulsantwort einer Zweidrahtleitung

Mit dieser Koeffizientenumrechnung  $(k_1, \ k_2, \ k_3) \ \ ⇒ \ \ (α_0, \ α_1, \ α_2)$  kann nun für den gesamten Frequenzgang einer Zweidrahtleitung geschrieben werden:

$$H_{\rm K}(f) = H_{\alpha 0}(f) \cdot H_{\alpha 1}(f) \cdot H_{\beta 1}(f)\cdot H_{\alpha 2}(f) \cdot H_{\beta 2}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

$$\begin{align*} H_{\alpha 0}(f) & = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}= {\rm e}^{-{\rm a}_0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm a}_0= \alpha_0\hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm}Np) }\cdot l,\\ H_{\alpha 1}(f) & = {\rm e}^{-\alpha_1 \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}= {\rm e}^{-{\rm a}_1 \cdot 2f/R}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm a}_1 = \alpha_1\hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm}Np) }\cdot l \cdot {R}/{2} \hspace{0.05cm}, \\ H_{\beta 1}(f) & = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l} = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\tau_{\rm P}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tau_{\rm P} = {\beta_1\hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm}rad) }\cdot l }/({2 \pi}) \hspace{0.05cm}, \\ H_{\alpha 2}(f) & = {\rm e}^{-\alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}= {\rm e}^{-{\rm a}_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm a}_2 = \alpha_2\hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm}Np) }\cdot l \cdot \sqrt{R/2} \hspace{0.05cm}, \\ H_{\beta 2}(f) & = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}l}= {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} b_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2f/R}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} b_2 = \beta_2\hspace{0.15cm}{\rm (in \hspace{0.15cm}rad) }\cdot l \cdot \sqrt{R/2} \hspace{0.05cm} \end{align*}$$

Auf die Bedeutung der hier implizit definierten Größen wird etwas später eingegangen.

Wir gehen hier zunächst ganz formal vor. Nach dem  Faltungssatz  gilt für die resultierende Impulsantwort als die  Fourierrücktransformierte  von  $H_{\rm K}(f)$:

$$h_{\rm K}(t) = h_{\alpha 0}(t) \star h_{\alpha 1}(t) \star h_{\beta 1}(t)\star h_{\alpha 2}(t) \star h_{\beta 2}(t) \hspace{0.05cm},$$

$$h_{\alpha 0}(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad H_{\alpha 0}(f) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} h_{\alpha 1}(t) \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\quad H_{\alpha 1}(f) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm usw.}$$

Diese fünf Anteile sollen nun separat betrachtet werden, wobei sich die numerischen Ergebnisse auf

• ein digitales Übertragungssystem mit der Bitrate  $R = 30 \ \rm Mbit/s$  und
• eine Zweidrahtleitung mit den Abmessungen  $d = 0.4 \ \rm mm$  und  $l = 1 \ \rm km$ 

beziehen. Damit lauten die  $α$–Koeffizienten in Neper  (Np):

$$\alpha_0 = 0.59\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km} } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.10\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 1.69\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } } \hspace{0.05cm}.$$

Das Phasenmaß dieser Leitung ist ebenfalls in  [PW95]  angegeben:

$$b_{\rm K}(f) = \beta_1 \cdot f + \beta_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_1 = 32.9\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_2 = 2.26\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

Als Normierungsgröße der Zeit eignet sich die Symboldauer  $T = 1/R ≈ 33 \ \rm ns$.

Interpretation und Manipulation der einzelnen Impulsantworten

Nun sollen die fünf Impulsantwort–Anteile  $h_{α0}(t), \ h_{α1}(t), \ h_{α2}(t), \ h_{β1}(t)$  und  $h_{β2}(t)$  interpretiert werden:

(1)   Der von den Ohmschen Verlusten herrührende erste Term (frequenzunabhängige Dämpfung) führt zu einer Diracfunktion mit dem Gewicht  $K$,  sodass die Faltung mit  $h_{α0}(t)$  durch die Multiplikation mit  $K = {\rm e}^{–0.59} ≈ 0.55$  ersetzt werden kann:

$$h_{\alpha 0}(t) = K \cdot \delta(t) \hspace{0.25cm}{\rm mit}\hspace{0.25cm} K = {\rm e}^{-{\rm a}_0}\hspace{0.45cm}\Rightarrow\hspace{0.45cm} h_{\rm K}(t) = h_{\alpha 0}(t) \star h_{\rm Rest}(t) = K \cdot h_{\rm Rest}(t)\hspace{0.05cm}.$$

(2)   $H_{α1}(f)$  ist eine reelle und gerade Funktion der Frequenz, so dass auch die Fourierrücktransformierte reell und symmetrisch um  $t =0$  ist:

$$H_{\alpha 1}(f) = {\rm e}^{-2\cdot{\rm a}_1 \cdot |f/R|} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h_{\alpha 1}(t)= \frac{1}{T} \cdot \frac{{\rm a}_1}{{\rm a}_1^2 + \pi \cdot (t/T)^2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm a}_1 \hspace{0.15cm}{\rm in \hspace{0.15cm}Np } \hspace{0.05cm}.$$

Mit den beispielhaften Zahlenwerten  $α_1 = 0.1 \ \rm Np/(km · MHz)$,   $l = 1 \ \rm km$,   $R = 30 \ \rm MHz$   ⇒   ${\rm a}_1 = 1.5 \ \rm (Np)$  ergibt sich für das Maximum dieses Anteils:

$$h_{α1}(t = 0) = 1/{\rm a}_1 = 2/3 · 1/T.$$

(3)   Wie bei den Koaxialkabelsystemen führt  $H_{β1}(f)$  zu keiner Signalverzerrung, sondern nur zu einer Zeitverzögerung um die  Phasenlaufzeit:

$$τ_{\rm P} ≈ 5.24 \ \rm µs \hspace{0.2cm} ⇒ \hspace{0.2cm} τ_{\rm P}/T ≈ 157.$$

(4)   Wenden wir uns noch der gemeinsamen Betrachtung der Anteile  $H_{α2}(f)$  und  $H_{β2}(f)$  zu, die im Zeitbereich durch die Teilimpulsantwort  $h_2(t)$  beschrieben wird:

$$H_{\alpha 2}(f) \cdot H_{\beta 2}(f) \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\quad h_{2}(t) \hspace{0.05cm}.$$

(5)   Um die Ergebnisse des Kapitels  Eigenschaften von Koaxialkabeln  anwenden zu können, ersetzen wir  $β_2$  durch  $α_2 · \rm rad/Np$  und  $b_2$  durch  ${\rm a}_2 · \text{rad/Np}$,  so dass  ${\rm a}_2$  und  $b_2$  den gleichen Zahlenwert besitzen. Beispielhaft ersetzt man hier:

$$ b_2 = 8.75\, {\rm rad}\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} b_2 = 6.55 \,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$

Man reduziert somit die Konstante  $β_2 = 2.26 \ \rm rad/(km · \sqrt{MHz})$  auf  $β_2 = 1.69 \ \rm rad/(km · \sqrt{MHz})$ .

(6)   Bevor wir den Leser unnötig zu Überlegungen verleiten, ob diese Näherung tatsächlich zulässig ist oder nicht, geben wir gleich freiwillig zu, dass diese Annahme die Schwachstelle unserer Überlegungen ist. Eine Diskussion dieser Fehlannahme folgt im  nächsten Abschnitt.

(7)   Nachdem nun  ${\rm a}_2$  und  $b_2$  die gleichen Zahlenwerte aufweisen, kann weiter die im Abschnitt  Eigenschaften von Koaxialkabeln  angegebene Gleichung verwendet werden, wobei  $\rm a_∗$  durch  $\rm a_2$  zu ersetzen ist:

$$h_{\rm 2}(t ) = \frac {1/T \cdot {\rm a_2}}{\pi \cdot \sqrt{2 \cdot(t/T)^3}}\cdot {\rm e}^{ - {{\rm a_2}^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t/T})} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm a}_2\hspace{0.15cm}{\rm in \hspace{0.15cm}Np} \hspace{0.05cm}.$$

(8)   Die gesamte Impulsantwort ohne Berücksichtigung der Phasenlaufzeit ergibt sich damit zu

$$h_{\rm K}(t + \tau_{\rm P}) = K \cdot h_{\alpha 1}(t) \star h_{2}(t)\hspace{0.05cm}.$$

Durch Verschiebung um  $τ_{\rm P}$  nach rechts ergibt sich die gesuchte Funktion  $h_{\rm K}(t)$. Im folgenden Beispiel wird diese Vorgehensweise durch Grafiken verdeutlicht.

$\text{Beispiel 3:}$  Für die folgenden Grafiken wird weiterhin eine Zweidrahtleitung mit den Abmessungen  $d = 0.4 \ \rm mm$  und  $l = 1 \ \rm km$  vorausgesetzt. Beachten Sie bitte die unterschiedlichen Ordinatenskalierungen der drei Diagramme in der Grafik.

• Die Bitrate beträgt  $R = 30 \ \rm Mbit/s$   ⇒   Symboldauer  $T ≈ 33\ \rm ns$.
• Wir gehen von den im gelben Kasten angegebenen Größen aus, die auf der letzten Seite berechnet wurden.
• Der  $b_2$–Wert wird dazu von  $8.75 \ \rm rad$  auf  $6.55 \ \rm rad$  verändert und damit an den  ${\rm a}_2$–Wert angepasst.
• Die Auswirkungen dieser Maßnahme werden auf der nächsten Seite interpretiert.

Zur Berechnung der Impulsantwort einer Zweidrahtleitung

Oben rechts ist  $h_1(t) = h_{\rm α1}(t + τ_{\rm P})$  dargestellt. Dieser Anteil geht auf die Anteile  $α_1$  und  $β_1$  zurück. $h_1(t)$  ist eine bezüglich der Phasenlaufzeit  $τ_{\rm P}$  symmetrische Funktion mit dem Maximalwert  $(1.5T)^{–1}$, wobei der  $1/(1 + t^2$)–Abfall bei  $ \pm 5T$  $($rechts und links von  $τ_{\rm P})$ schnell abgeklungen ist.

Das linke untere Diagramm zeigt den Signalanteil  $h_2(t)$, der auf die beiden Koeffizienten  $α_2$  und  $β_2$  zurückgeht. $h_2(t)$  ist identisch mit der  Koaxialkabel–Impulsantwort  (ohne Berücksichtigung der Laufzeit), wenn die charakteristische Kabeldämpfung  $6.55 \ \rm Np$  bzw.  $56.9 \ \rm dB$  beträgt.

Die rote Kurve stellt das Faltungsprodukt  $h_1(t) ∗ h_2(t)$  dar. Man erkennt, dass die Kurvenform im wesentlichen durch  $h_2(t)$  festliegt. Die Faltung mit  $h_1(t)$  führt aber neben einem Amplitudenverlust um ca.  $10\%$  auch zu einer (leichten) Verfälschung der Signalform.

Die resultierende Impulsantwort der  $\text{0.4mm}$–Zweidrahtleitung ist im unteren rechten Diagramm als blaue Kurve dargestellt. Der Unterschied zum rot gezeichneten Faltungsprodukt  $h_1(t) ∗ h_2(t)$  ergibt sich durch den Einfluss der Gleichsignaldämpfung $($Koeffizient  $α_0)$.

Die vorgestellte Methode können Sie sich für beliebige Kenngrößen (Durchmesser, Länge, Bitrate) mit dem Applet  Zeitverhalten von Kupferkabeln  verdeutlichen.

Diskussion der gefundenen Näherungslösung

$\text{Beispiel 4:}$  Die folgende Grafik zeigt die (normierten) Impulsantworten  $T · h_{\rm K}(t)$  für zwei beispielhafte Kupferkabel, nämlich

Impulsantwortnäherungen von Normalkoaxialkabeln (oben) und  $\text{0.4 mm}$  Zweidrahtleitung (unten)

• für das  $\text{Normalkoaxialkabel 2.6/9.5 mm}$  bei  $\text{10.1 km}$  Länge (oben), wobei gilt:

$$a_0 = 0.016\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} a_1 = 0.020\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} a_2 = 6.177\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, $$

$$\tau_{ {\rm P} }/T = 350\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} b_2 = 6.177\,{\rm rad}\hspace{0.05cm};$$

• für die $\text{0.4 mm Zweidrahtleitung}$ mit der Länge $\text{1.8 km}$ (unten) mit den Kenngrößen

$$a_0 = 1.057\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} a_1 = 0.147\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} a_2 = 6.177\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, $$

$$\tau_{ {\rm P} }/T = 94\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} b_2 = 8.260\,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$

Diese Werte gelten für die Bitrate  $R = 10 \ \rm Mbit/s$   ⇒   Zeitnormierung  $T = 0.1 \ \rm µ s$.

• Die beiden Kabellängen wurden so gewählt, dass sich genau gleiche  $a_2$–Parameter ergeben.
• Für die Zweidrahtleitung wurde der Phasenwert  $b_2 ⇒ b_2\hspace{0.01cm}'$  so angepasst, dass sich wie beim Koaxialkabel für  $b_2\hspace{0.05cm}' = 6.177 \ \rm rad$  und  $a_2 = 6.177 \ \rm Np \ (≈ 53 \ dB)$  gleiche Zahlenwerte ergeben.

Die blauen Kurven zeigen die Näherungen bei Vernachlässigung der  $a_0–,  a_1–$ und  $b_1–$Terme.  Aufgrund der Phasenanpassung  $b_2 ⇒ b_2\hspace{0.01cm}'$  bei der Zweidrahtleitung ergeben sich gleiche Kurvenverläufe.  Das Maximum von ca.  $3.8\%$  liegt bei etwa  $t/T = 4$  (unterschiedlichen Zeitmaßstäbe in beiden Diagrammen!).

Die roten Kurven berücksichtigen auch die  $a_0–,  a_1–$ und  $b_1–$Terme.  Die rote Kurve des Koaxialkabels ist die tatsächliche (normierte) Impulsantwort  $T · h_{\rm K}(t)$.

Aus diesen Darstellungen erkennt man weiter:

• Beim Koaxialkabel können der  $a_0–$Term und der  $a_1–$Term vernachlässigt werden.  Der dadurch entstehende relative Fehler beträgt nur  $3.5\%$.
• Nicht zu vernachlässigen ist dagegen die Phasenlaufzeit  $τ_{\rm P}$, also der  $b_1–$Term.  Beim Koaxialkabel ergibt sich  $τ_{\rm P}/T ≈ 350$, während bei der Zweidrahtleitung  $τ_{\rm P}/T ≈ 94$  gilt  (beachten Sie die unterschiedlichen Zeitmaßstäbe).
• Bei der Zweidrahtleitung (unten) darf man Gleichsignaldämpfung  $(a_0)$  und Querverlust  $(a_1)$  nicht vernachlässigen:  
  Die rote Näherung  $T · h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$  ist um  $70\%$  niedriger als die blaue und zudem etwas breiter.

$\text{Beispiel 5:}$  Dieses Beispiel zeigt Näherungen der Impulsantwort einer Zweidrahtleitung  $($Länge $\text{1.8 km}$, Durchmesser $\text{0.4 mm)}$, so dass entsprechend  [PW95]  von folgenden Kenngrößen auszugehen ist:

Zur Impulsantwort einer  $\text{0.4 mm}$  Zweidrahtleitung

$$a_0 = 1.057\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} a_1 = 0.147\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} a_2 = 6.177\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}, $$

$$\tau_{ {\rm P} }/T = 94\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} b_2 = 8.260\,{\rm rad}\hspace{0.05cm}.$$

Das obere Diagramm – gleich dem unteren Diagramm im  $\text{Beispiel 4}$ – zeigt zwei Näherungen

• bei Vernachlässigung der  $a_0–, \ a_1–$  und  $b_1–$Terme (blaue Kurve),
• bei Berücksichtigung der  $a_0–, \ a_1–$  und  $b_1–$Terme (rote Kurve).

Für dieses obere Diagramm haben wir weiterhin den in [PW95] angegebenen  $a_2–$Koeffizienten übernommen und den genannten Koeffizienten  $b_2 = 8.260 \ \rm rad$  auf  $b_2\hspace{0.01cm}' = 6.177 \ \rm rad$  herabgesetzt.

Anmerkung:   Im Gegensatz zum Koaxialkabel im  $\text{Beispiel 3}$  ist hier wegen  $b_2\hspace{0.01cm}' ≠ b_2$  die rote Kurve  $T · h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$  ebenfalls nur eine Näherung, was in der Grafik durch das Hochkomma vermerkt ist.
Ohne die Korrektur  $b_2\hspace{0.01cm}' = a_2 · \text{rad/Np}$  wäre die  Hilbert–Transformation, die den Zusammenhang zwischen Betrag und Phase bei realen und damit  minimalphasigen Systemen  herstellt, nicht erfüllt. Deshalb ergäbe sich eine akausale Impulsantwort.

Wir glauben deshalb, dass auch bei einer Zweidrahtleitung die beiden Parameter  $a_2$  und  $b_2$  gleiche Zahlenwerte haben müssten.

Wir betrachten nun einen zweiten Ansatz, der im unteren Diagramm dargestellt ist:

• Hier wurde für der in  [PW95]  angegebene Phasenkoeffizient  $b_2 = 8.260 \ \rm rad$  beibehalten.
• Stattdessen wurde der Dämpfungskoeffizient  $a_2 = 6.177 \ \rm Np$  an den Phasenkoeffizienten angepasst (also vergrößert):   $a_2\hspace{0.01cm}' = 8.260 \ \rm Np$.
• Die untere (rote) Impulsantwort   ⇒   (Worst Case)  ist weniger als halb so hoch und deutlich breiter als die obere Impulsantwort   ⇒   (Best Case).
• Die tatsächliche (normierte) Impulsantwort  $T \cdot h_{\rm K}\hspace{0.01cm}'(t)$  wird wohl dazwischen liegen. Genauere Aussagen erlauben wir uns nicht.

Störungen auf Zweidrahtleitungen

Bei Übertragungssystemen über Zweidrahtleitungen kann vom gleichen  Blockschaltbild  wie bei den Koaxialkabelsystemen ausgegangen werden, wobei nun

• für den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  und die Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  die in diesem Abschnitt angegebenen Gleichungen zu verwenden sind,
• das weiße Rauschen  $N_0$  nicht mehr die dominante Störungsursache ist, sondern nun das  Nebensprechen  (Crosstalk)  aufgrund von kapazitiver bzw. induktiver Kopplung benachbarter Doppeladern als stochastische Störung überwiegt.

Durch Verdrillen der Doppeladern eines Sternvierers sowie der Grund– und Hauptbündel entsprechend der Grafik am Ende des Kapitels  Zugangsnetz eines Telekommunikationssystems  wird versucht, im Mittel eine möglichst symmetrische gegenseitige Kopplung zwischen allen Aderpaaren zu erreichen. Aufgrund unvermeidbarer Fertigungstoleranzen bleibt aber immer eine leichte Unsymmetrie bestehen. Diese bewirkt, dass

• an jeden Empfängereingang neben dem "eigenen" Nutzsignal auch (meist allerdings nur geringe) Signalanteile von benachbarten Doppeladern gelangen,
• die induzierten Signalanteile für das Nutzsignal eine zusätzliche stochastische Störung darstellen, die zusammen mit dem thermischen Rauschen das resultierende Störsignal  $n(t)$  ergeben,
• man die Übertragungsqualität nicht oder nur sehr begrenzt durch Erhöhung der Sendeleistung verbessern kann, da durch diese Maßnahme auch die Nebensprechstörungen größer werden.

Zur Verdeutlichung von Nahnebensprechen (NEXT) und Fernnebensprechen (FEXT)

Wie die Grafik verdeutlicht, unterscheidet man zwischen

• Nahnebensprechen  (Near–End–Crosstalk   ⇒   NEXT):
  Der störende Sender speist sein Signal am selben Ende des Kabels ein, an dem der betrachtete Empfänger platziert ist.

• Fernnebensprechen  (Far–End–Crosstalk   ⇒   FEXT):
  Der störende Sender und der gestörte Empfänger befinden sich an entgegengesetzten Kabelenden.

Bei FEXT akkumuliert sich zwar die Störung über die gesamte Kabellänge, wird aber auch durch die Kabeldämpfung stark abgeschwächt. Für gebündelte Kabel im Teilnehmeranschlussbereich ergeben sich somit durch das "Im–Vierer–Nahnebensprechen" um Größenordnungen größerere Störungen als durch das Fernnebensprechen, und auch die Nahnebensprechstörungen von benachbarten Adern können meist vernachlässigt werden.

$\text{Ohne Herleitung:}$  Wir betrachten deshalb im Folgenden ausschließlich das  $\text{Nahnebensprechen (NEXT)}$.  Bei diesem lässt sich das  Leistungsdichtespektrum  (LDS) des Störsignals  $n(t)$  unter Berücksichtigung des unvermeidbaren thermischen Rauschens  $(N_0/2)$  wie folgt darstellen:

$${\it \Phi}_n(f) = {N_0}/{2}+{\it \Phi}_{\rm NEXT}(f) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm}{\it \Phi}_{\rm NEXT}(f) = {\it \Phi}_{s}(f) \cdot\vert H_{\rm NEXT}(f)\vert ^2 \approx {\it \Phi}_{s}(f) \cdot [K_{\rm NEXT} \cdot f]^{3/2}\hspace{0.05cm}.$$

Zu dieser Gleichung ist anzumerken:

• Die Gleichung ergibt sich durch Integration der lokalen Kopplungen über die gesamte Länge eines kurzen Abschnitts, wobei die Kopplungen zwischen allen Kupferleitungen durch Querkapazitäten und –Induktivitäten modelliert werden.
• ${\it \Phi}_s(f)$  ist das LDS des störenden Senders, woraus sich durch Integration die Sendeleistung  $P_{\rm S}$  ergibt.  Nimmt man an, dass die gestörte Übertragung das gleiche Sendesignal und damit auch das gleiche LDS  ${\it \Phi}_s(f)$  wie der Störer verwendet, so wird deutlich, dass durch eine Erhöhung von  $P_{\rm S}$  lediglich der (relative) Einfluss des thermischen Rauschens  $(N_0/2)$  vermindert wird.
• Der das Nahnebensprechen quantifizierende Faktor  $K_{\rm NEXT}$  hängt stark vom Adernabstand ab, ebenso vom Unsymmetriegrad entlang des Kabels.  Dagegen ist dieser Faktor  $K_{\rm NEXT}$  nahezu unabhängig vom Leiterdurchmesser  $d$  und von der Leitungslänge  $l$.
• Das Produkt  $K_{\rm NEXT} · f$  (dimensionslos) ist im gesamten Betriebsbereich der Leitung, zum Beispiel für alle Frequenzen  $0 ≤ f ≤ 30 \ \rm MHz$, stets sehr viel kleiner als $1$.  Die Nebensprechstörung steigt mit der Frequenz stark $($das heißt mit dem Exponenten $1.5)$ an.
• In  [PW95]  werden nach einer Messreihe über vierzig Doppeladern für die Frequenz  $f = 10 \ \rm MHz$  folgende Werte genannt  $($für  $f = 30 \ \rm MHz$  sind diese Werte noch mit  $3^{3/2} ≈ 5.2$  zu multiplizieren$)$:

• ungünstigster Fall:   $|H_{\rm NEXT}(f = 10 \ \rm MHz)|^2 ≈ 0.001$,
• Mittelung über 40 Adern:   $|H_{\rm NEXT}(f = \ \rm 10 MHz)|^2 ≈ 0.0004$.

• Die Werte gelten für das Im–Vierer–Nahnebensprechen  (störender Sender und gestörter Empfänger im gleichen Sternvierer).
• Nahnebensprechstörungen zwischen weiter entfernten Adern weisen zwar die gleiche Frequenzabhängigkeit auf, sind aber kleiner als das Im–Vierer–Nahnebensprechen:

• Nahnebensprechen zwischen benachbarten Sternvierern um ca.  $5 \ \rm dB$,
• Nahnebensprechen zwischen benachbarten Grundbündeln um ca.  $10 \ \rm dB$,
• Nahnebensprechen zwischen nicht benachbarten Grundbündeln um ca.  $25 \ \rm dB$.

$\text{Fazit:}$ 

• Um solche Nahnebensprechstörungen zu vermeiden oder zumindest zu vermindern, werden benachbarte Doppeladern häufig mit ganz unterschiedlichen Signalen  (analoge Telefonie, ISDN, DSL oder andere breitbandige Dienste)  belegt, die möglichst auch noch unterschiedliche Frequenzbänder benutzen.
• Durch geschickte Auswahl der Doppeladern können nun benachbarte Adern mit Signalen belegt werden, deren Spektren möglichst wenig überlappen, wodurch die Nebensprechstörungen vermindert werden.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.6: $k$-Parameter und $\alpha$-Parameter

Aufgabe 4.6Z: ISDN-Versorgungsleitungen

Aufgabe 4.7: Kupfer-Doppelader 0.5 mm

Aufgabe 4.8: Nebensprechstörungen