Exercise 3.1Z: Influence of the Message Phase in Phase Modulation

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Zwei PM–Signalverläufe

Wir betrachten die Phasenmodulation verschiedener Schwingungen

$$q(t) = \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$

Das Quellensignal ist hierbei normiert  $($Amplitude  $1)$  dargestellt, so dass das phasenmodulierte Signal mit dem Modulationsindex (bzw. Phasenhub)  $η$  wie folgt beschrieben werden kann:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

• Das in der oberen Grafik dargestellte Signal  $s_1(t)$  ist durch die Parameterwerte  $ϕ_{\rm N} = -90^\circ$  und  $η_1 = 2$  charakterisiert.
• Die Frequenz  $f_{\rm N}$  dieses sinusförmigen Quellensignals soll ebenso wie die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  aus dem dargestellten Signalausschnitt der Dauer  $200 \ \rm µ s$  ermittelt werden.

• Das Signal  $s_2(t)$  unterscheidet sich von  $s_1(t)$  möglicherweise durch eine andere Nachrichtenphase  $ϕ_{\rm N}$  und einen anderen Modulationsindex  $η$.  Alle anderen Systemparameter sind gegenüber  $s_1(t)$  unverändert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Phasenmodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Signalverläufe bei Phasenmodulation.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Frequenz  $f_{\rm N}$  des Nachrichtensignals.

$f_{\rm N} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

Wie groß ist die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$?

$f_{\rm T} \ = \ $ $\ \rm kHz$

3

Wie groß ist die maximale Phasenabweichung  $ϕ_{\rm max}$  zwischen  $z(t)$  und  $s(t)$?

$ϕ_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm rad$

4

Zu welcher maximalen Zeitverschiebung der Nulldurchgänge führt diese Phase?

$Δt_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm µ s$

5

Bestimmen Sie den Modulationsindex  $η_2$  für das Signal  $s_2(t)$.

$η_2 \ = \ $

6

Welche Phasenlage  $ϕ_{\rm N2}$  hat das für  $s_2(t)$  zugrunde liegende Quellensignal  $q(t)$?

$ϕ_{\rm N2} \ = \ $ $\ \rm Grad$

Musterlösung

Solution

(1)  Man erkennt aus der Skizze, dass der dargestellte Signalausschnitt der Dauer  $200 \ \rm µ s$  genau der Periodendauer des sinusförmigen Quellensignals entsprechen muss.  Daraus folgt  $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \ \rm kHz}$.

• Zu den Zeitpunkten  $t = 0$,  $t = 100 \ \rm µ s$  und  $t = 200 \ \rm µ s$  sind die Signale  $z(t)$  und  $s(t)$  phasensynchron.
• In der ersten Halbwelle von  $q(t)$  kommen die Nulldurchgänge von  $s(t)$  etwas früher als die des Trägersignals  $z(t)$   ⇒   positive Phase.
• Dagegen ist im Bereich von  $t = 100 \ \rm µ s$  bis  $t = 200 \ \rm µ s$  die Phase  $ϕ(t) < 0$.

(2)  Es gilt  $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm kHz}$,

• da im dargestellten  $z(t)$–Signalausschnitt der Dauer  $200 \ \rm µ s$  genau  $10$  Perioden abgezählt werden können.

(3)  Die maximale relative Phasenabweichung beträgt  $ϕ_{\rm max} = η_1/(2π)\hspace{0.15cm}\underline{ ≈ 0.318}$.

(4)  Da die Periodendauer des Trägers  $T_0 = 20 \ \rm µ s$  ist, erhält man  $Δt_{\rm max} = ϕ_{\rm max} ·T_0\hspace{0.15cm}\underline{ ≈ 6.37 \ \rm µ s}$.

(5)  Die maximale Phasenabweichung (Verschiebung der Nulldurchgänge) ist bei  $s_2(t)$  genau so groß wie bei  $s_1(t)$. 

• Daraus kann auf  $η_2 = η_1\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$  geschlossen werden.

(6)  Das Signal  $s_2(t)$  ist gegenüber  $s_1(t)$  um  $25 \ \rm µ s$  nach rechts verschoben.  Deshalb muss auch für die Quellensignale gelten:

$$q_2(t) = q_1(t - 25\,{\rm \mu s}) = \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi f_{\rm N} (t - 25\,{\rm \mu s}) \big ] = \cos (\omega_{\rm N} \cdot t - 0.75 \cdot \pi)\hspace{0.05cm}.$$

• Dies entspricht der Phasenlage  $ϕ_{\rm N2}\hspace{0.15cm}\underline{ = -135^\circ}$.