Exercise 4.7Z: Generation of a Joint PDF

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Vorgaben zur Erzeugung einer
2D-Zufallsgröße

Ausgehend von statistisch unabhängigen Größen  $u$  und  $v$, die beide zwischen  $-1$  und  $+1$  gleichverteilt sind und somit jeweils die Varianz  $\sigma^2 = 2/3$  besitzen, soll eine 2D-Zufallsgröße  $(x, y)$  generiert werden, wobei für die Komponenten gilt:

$$x = A \cdot u + B \cdot v + C,$$

$$y= D \cdot u + E \cdot v + F.$$

Die zu erzeugende 2D–Zufallsgröße  $(x, y)$  soll die folgenden statistischen Eigenschaften aufweisen:

• Die Varianzen seien  $\sigma_x^2 = 4$  und  $\sigma_y^2 = 10$.
• Die Zufallsgröße  $x$  sei mittelwertfrei  $(m_x =0)$.
• Für den Mittelwert von  $y$  gelte  $m_y = 1$.
• Der Korrelationskoeffizient zwischen  $x$  und  $y$  betrage  $\rho_{xy} = \sqrt{0.9} = 0.949.$
• Die Zufallsgröße  $x$  besitze eine dreieckförmige WDF $f_x(x)$  entsprechend der oberen Grafik.
• Die Zufallsgröße  $y$  besitze eine trapezförmige WDF $f_y(y)$  entsprechend der unteren Grafik.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
• Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen.
• Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden wird festgelegt, dass alle Koeffizienten  $A$, ... , $F$  nicht negativ sein sollen.

Fragebogen

1

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $C$  und  $F$.

$C \ = \ $

$F\ = \ $

2

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $A$  und  $B$.

$A \ = \ $

$B \ = \ $

3

Bestimmen Sie die Koeffizienten  $D$  und  $E$, wobei  $D > E$  gelten soll.

$D \ = \ $

$E \ = \ $

4

Geben Sie die Maximalwerte für  $x$  und  $y$  an.

$x_\text{max}\ = \ $

$y_\text{max}\ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Aufgrund der angegebenen Mittelwerte muss gelten:

$$ C = m_x\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$

$$ F = m_y\hspace{0.15cm}\underline{ = 1}.$$

(2)  Unter Berücksichtigung von  $\sigma^2 = 2/3$  gilt:

$$\sigma_x^2 = \sigma^2 \cdot ( A^2 + B^2)= {2}/{3} \cdot ( A^2 + B^2) .$$

• Wegen  $\sigma_x^2 = 4$  folgt  $A^2 + B^2= 6$.
• Eine dreieckförmige WDF bedeutet, dass  $A = \pm B$  gelten muss.
• Somit erhält man, da negative Koeffizienten ausgeschlossen wurden:

$$ A = B = \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1.732}.$$

Rautenförmige 2D-WDF

(3)  Mit  $ A = B = \sqrt{3}$  entsprechend der letzten Teilaufgabe verbleiben zwei Bestimmungsgleichungen für  $D$  und  $E$:

$$\sigma_y^2 = \sigma^2 \cdot ( D^2 + E^2)= 10 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} D^2 + E^2 = \frac {\sigma_y^2}{\sigma^2} = \frac {10}{2/3} \stackrel{!}{=}15,$$

$$\rho_{xy} = \frac{A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^2 + B^2)(D^2 + E^2)}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (D + E)}{\sqrt{6 \cdot (D^2 + E^2)}} \stackrel{!}{=} \sqrt{0.9}.$$

• Daraus folgt weiter:  $D + E = \sqrt{1.8 \cdot ( D^2 + E^2)} = \sqrt{27} = 3 \cdot \sqrt{3}.$
• Die Gleichung führt in Verbindung mit  $D^2 + E^2 = 15$  und der Nebenbedingung  $(D>E)$  zum Ergebnis:

$$ D= 2 \cdot \sqrt{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 3.464}, \hspace{0.5cm}E= \sqrt{3} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.732}.$$

(4)  Die Zufallsgröße  $x$  bzw.  $y$  nehmen ihre maximalen Werte an, wenn jeweils  $u= +1$ und  $v= +1$  gilt:

$$ x_\text{max}= A+B \hspace{0.15cm}\underline{ = +3.464}, \hspace{0.5cm} x_\text{min} = - A - B= -3.464.$$

$$ y_\text{max}= D+E+F \hspace{0.15cm}\underline{ = +6.196}, \hspace{0.5cm} y_\text{min} = -D-E+F= -4.196.$$