Exercise 3.11: Pre-Emphase and De-Emphase
Bei der Sprach– und Tonsignalübertragung wird das Signalfrequenzband vor dem FM–Modulator über ein RC–Hochpassglied gemäß der Skizze vorverzerrt. Man bezeichnet diese Maßnahme als "Preemphase" $\rm (PE)$.
Der Amplitudengang des Preemphase–Netzwerks lautet
- mit den beiden Grenzfrequenzen $f_{\rm G1} = (2π · R_1 · C)^{–1}$ und $f_{\rm G2} = f_{\rm G1}/α_0$, sowie
- dem Gleichsignalübertragungsfaktor $α_0 = R_2/(R_1 + R_2)$:
- $$ |H_{\rm PE} (f)| = \alpha_0 \cdot \sqrt{\frac{1 + (f/f_{\rm G1})^2}{1 + (f/f_{\rm G2})^2}} \hspace{0.05cm}.$$
Für die Praxis kann man davon ausgehen, dass die maximale Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ sehr viel kleiner als $f_{\rm G2}$ ist.
Berücksichtigt man weiter, dass der Gleichsignalübertragungsfaktor $α_0$ durch eine Verstärkung um $α$ verändert werden kann, so ist im Weiteren von folgendem Preemphase–Frequenzgang auszugehen $(f_{\rm G} = f_{\rm G1} = 3 \ \rm kHz)$:
- $$|H_{\rm PE} (f)| \approx \alpha \cdot \sqrt{{1 + \left({f}/{f_{\rm G}}\right)^2}} \hspace{0.05cm}.$$
Mit diesem Netzwerk lautet der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ in Abhängigkeit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$:
- $$ \Delta f_{\rm A} (f_{\rm N}) = \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min} \cdot \sqrt{{1 + \left({f_{\rm N}}/{f_{\rm G}}\right)^2}} \hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei ist $Δf_\text{A, min}$ der Frequenzhub für sehr kleine Frequenzen $(f_{\rm N} → 0)$.
- Dieser Parameter ist so zu wählen, dass der maximale Frequenzhub $Δf_\text{A, max}$ nicht größer wird als $45 \ \rm kHz$.
Um das Nutzsignal nicht zu verfälschen, muss diese Vorverzerrung durch ein "Deemphase"–Netzwerk beim Empfänger wieder ausgeglichen werden. Ziel und Zweck von Preemphase/Deemphase ist es allein, die Abhängigkeit des Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnisses von der Signalfrequenz zu vermindern.
In dieser Aufgabe werden folgende Größen verwendet:
- Sinken–SNR bei Zweiseitenband-Amplitudenmodulation $\rm (ZSB–AM)$:
- $$\rho_{{\rm AM} } = \frac{P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N} } = \xi\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{{\rm AM} } = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\xi \hspace{0.05cm},$$
- Sinken–SNR und Störabstandsgewinn bei Frequenzmodulation $\rm (FM)$ ohne Preemphase/Deemphase:
- $$ \rho_{\rm FM} = {3}/{2 } \cdot \eta^2 \cdot \rho_{\rm AM } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm FM} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm FM} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm AM}= 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}{3}/{2 } \cdot \eta^2 \hspace{0.05cm},$$
- Sinken–SNR und Störabstandsgewinn bei Frequenzmodulation $\rm (FM)$ durch Preemphase/Deemphase:
- $$ \rho_{\rm DE} = \frac{(f_{\rm N}/f_{\rm G})^3}{3 \cdot (f_{\rm N}/f_{\rm G} - \arctan (f_{\rm N}/f_{\rm G}) } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm DE} = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm DE} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\rm FM}\hspace{0.05cm}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Rauscheinfluss bei Winkelmodulation.
- Bezug genommen wirdinsbesondere auf den Abschnitt Preemphase und Deemphase.
- Gehen Sie in der gesamten Aufgabe von einem Nachrichtensignal aus, das Frequenzen bis einschließlich $B_{\rm NF}= 9 \ \rm kHz$ beinhaltet.
Fragebogen
Musterlösung
- Der Betragsfrequenzgang des Deemphase–Netzwerks ist wie folgt festgelegt:
- $$ |H_{\rm DE} (f)| = \frac{1}{|H_{\rm PE} (f)|}= \frac{1}{\alpha}\cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_{\rm G})^2}} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Frequenzgang eines einfachen RC–Tiefpasses – auch bekannt als Tiefpass erster Ordnung – lautet:
- $$ H_{\rm RC-TP} (f) = \frac{1}{{1 + {\rm j}\cdot f/f_{\rm G}}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_{\rm RC-TP} (f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (f/f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Frequenzmodulation ist auf die maximale Frequenz $B_{\rm NF} = f_\text{N, max}= 9 \ \rm kHz$ ausgelegt. Dann soll der (maximale) Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 45\ \rm kHz$ betragen.
- Daraus folgt für den Modulationsindex:
- $$ \eta = \frac{\Delta f_{\rm A}}{f_{\rm N} } = 5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm FM} (f_{\rm N} = 9\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}(1.5 \cdot 5^2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.74\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Nachrichtenfrequenz $ f_{\rm N} = 3 \ \rm kHz$ ergibt sich ein um den Faktor $3$ größerer Modulationsindex und damit ein um den Faktor $10 · \lg \ 9 = 9.54 \ \rm dB$ größerer Störabstand:
- $$G_{\rm FM} (f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}(1.5 \cdot 15^2) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 25.28\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
- Ein weiterer Zugewinn ergibt sich durch den Übergang von $3\ \rm kHz$ auf $1\ \rm kHz$:
- $$G_{\rm FM} (f_{\rm N} = 1\,{\rm kHz}) = 25.28\,{\rm dB} + 9.54\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline {= 34.82\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Der maximale Frequenzhub ergibt sich für $f_{\rm N} = B_{\rm NF}$.
- Daraus folgt mit $f_{\rm G} = 3 \ \rm kHz$ und $B_{\rm NF} = 9 \ \rm kHz$:
- $$\Delta f_{\rm A} (B_{\rm NF}) = \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min} \cdot \sqrt{{1 + \left(\frac{B_{\rm NF}}{f_{\rm G}}\right)^2}} = \sqrt {10} \cdot \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min}= \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}max} = 45\,{\rm kHz}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta f_{\rm A, \hspace{0.08cm}min} = \frac{45\,{\rm kHz}}{\sqrt {10}}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.23\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Mit der angegebenen Formel erhält man folgende "Gewinne durch Premphase/Deemphase":
- $$G_{\rm DE} (f_{\rm N} = 9\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{(f_{\rm N}/f_{\rm G})^3}{3 \cdot (f_{\rm N}/f_{\rm G} - \arctan (f_{\rm N}/f_{\rm G}) }= 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{3^3}{3 \cdot (3 - 1.249) }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
- $$ G_{\rm DE} (f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{1^3}{3 \cdot (1 - \pi/4) }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm},$$
- $$G_{\rm DE} (f_{\rm N} = 1\,{\rm kHz}) = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} \frac{(1/3)^3}{3 \cdot (1/3 - 0.322) }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.28\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
