Exercise 4.16: Comparison between Binary PSK and Binary FSK

Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven
von binärer PSK und binärer FSK

KORREKTUR: Titel "Erercise" Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die binäre FSK modulation $\rm (BFSK)$ bei

im Vergleich zur binary phase modulation $\rm (BPSK)$.

Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying $\rm (MSK)$ gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation der BFSK der Modulationsindex ein Vielfaches von $h = 1$ sein.

Diesem Systemvergleich liegt wieder der AWGN channel zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei

Binary Phase Shift Keying $\rm (BPSK)$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$

Binary Frequency Shift Keying $\rm (BFSK)$ mit kohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 )} \hspace{0.1cm}\right ),$$

Binary Frequency Shift Keying $\rm (BFSK)$ mit inkohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

In Exercise 4.8 wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$ mindestens $9.6 \ \rm dB$ betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{–5}$ nicht übersteigt.

Hinweise:

This exercise belongs to the chapter Nonlinear_Digital_Modulation.
However, reference is also made to the page Linear_Digital_Modulation.

Use the approximation $\lg(2) ≈ 0.3$.

Questions

$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

	einer FSK mit Modulationsindex $h = 0.7$,
	einer FSK mit Modulationsindex $h = 1$?

$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-4}$

Solution

(1) Ein Vergleich der beiden ersten Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei der MSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird.

In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve.
Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK $($diese ist eine FSK mit $h = 0.5)$, sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
Mit $h = 0.7$ liegt keine orthogonale FSK vor.

(3) Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:

$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.