Exercise 3.4Z: Continuous Phase Frequency Shift Keying

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Signals for  $\text{CP-FSK$}

The graph shows three frequency shift keying  $\rm (FSK)$  transmitted signals which differ with respect to the frequency deviation  $\Delta f_{\rm A}$  distinguish and thus also by their modulation index

$$h = 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T.$$

The digital source signal  $q(t)$ underlying the signals  $s_{\rm A}(t),  s_{\rm B}(t)$  and  $s_{\rm C}(t)$  is shown above.  All considered signals are normalized to amplitude  $1$  and time duration  $T$  and based on a cosine carrier with frequency  $f_{\rm T}$.

With binary FSK  $($"Binary Frequency Shift Keying"$)$  only two different frequencies occur,  each of which remains constant over a bit duration:

• $f_{1}$  $($if  $a_{\nu} = +1)$,

• $f_{2}$  $($if  $a_{\nu} = -1)$.

If the modulation index is not a multiple of  $2$,  continuous phase adjustment is required to avoid phase jumps.  This is called  "Continuous Phase Frequency Shift Keying"   $(\text{CP-FSK)}$.

An important special case is represented by binary FSK with modulation index  $h = 0.5$  which is also called  "Minimum Shift Keying"  $(\rm MSK)$.  This will be discussed in this exercise.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  "Radio Interface".

• Reference is made in particular to the section  "Continuous phase adjustment with FSK.

Questions

1

Welche Aussagen treffen für die FSK und speziell für die MSK zu?

	Die FSK ist im allgemeinen ein nichtlineares Modulationsverfahren.
	Die MSK ist als Offset–QPSK realisierbar und damit linear.
	Es ergibt sich die gleiche Bitfehlerrate wie für die QPSK.
	Eine Bandbegrenzung ist weniger störend als bei QPSK
	Die MSK–Hüllkurve ist auch bei Spektralformumg konstant.

2

Welche Frequenzen  $f_{1}$  $($für Amplitudenkoeffizient  $a_{\nu} = +1)$  und $f_{2}$  $($für  $a_{\nu} = -1)$  beinhaltet das Signal  $s_{\rm A}(t)$?

$f_{1} \cdot T \ = \ $

$f_{2} \cdot T \ = \ $

3

Wie groß sind beim Signal  $s_{\rm A}(t)$  die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$, der Frequenzhub  $\Delta f_{\rm A}$  und der Modulationsindex  $h$?

$f_{\rm T} \cdot T \ = \ $

$\Delta f_{\rm A} \cdot T \ = \ $

$h \ = \ $

4

Wie groß ist der Modulationsindex beim Signal  $s_{\rm B}(t)$?

$h \ = \ $

5

Wie groß ist der Modulationsindex beim Signal  $s_{\rm C}(t)$?

$h \ = \ $

6

Bei welchen Signalen war eine kontinuierliche Phasenanpassung erforderlich?

	$s_{\rm A}(t)$,
	$s_{\rm B}(t)$,
	$s_{\rm C}(t)$.

7

Welche Signale beschreiben  Minimum Shift Keying  (MSK)?

	$s_{\rm A}(t)$,
	$s_{\rm B}(t)$,
	$s_{\rm C}(t)$.

Musterlösung

Solution

(1)  Alle Aussagen mit Ausnahme der dritten treffen zu:

• Die im allgemeinen nichtlineare FSK kann nur kohärent demoduliert werden, während bei MSK auch ein nichtkohärentes Demodulationsverfahren angewendet werden kann.
• Gegenüber der QPSK mit kohärenter Demodulation muss bei der MSK für die gleiche Bitfehlerrate ein um $3 \ \rm dB$ größeres $E_{\rm B}/N_{0}$ (Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte) aufgewendet werden.
• Die erste Nullstelle im Leistungsdichtespektrum tritt zwar bei MSK später auf als bei der QSPK, aber es zeigt sich ein schnellerer asymptotischer Abfall als bei QSPK.
• Die konstante Hüllkurve der MSK führt dazu, dass Nichtlinearitäten in der Übertragungsstrecke keine Rolle spielen. Dies ermöglicht den Einsatz einfacher und kostengünstiger Leistungsverstärker mit geringerem Leistungsverbrauch und damit auch längere Betriebsdauern akkubetriebener Geräte.

(2)  Man erkennt aus der Grafik fünf bzw. drei Schwingungen pro Symboldauer:

$$f_{\rm 1} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline {= 5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm 2} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline { = 3}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Bei FSK mit rechteckförmiger Impulsform treten nur die zwei Augenblicksfrequenzen $f_{1} = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A}$ und $f_{2} = f_{\rm T} – \Delta f_{\rm A}$ auf.

• Mit dem Ergebnis aus (2) erhält man somit:

$$f_{\rm T} \ = \ \frac{f_{\rm 1}+f_{\rm 2}}{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm T} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm},$$

$$ \Delta f_{\rm A} \ = \ \frac{f_{\rm 1}-f_{\rm 2}}{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline { = 1}\hspace{0.05cm},$$

$$h \ = \ 2 \cdot \Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus der Grafik erkennt man die Frequenzen $f_{1} \cdot T = 4.5$ und $f_{2} \cdot T = 3.5$.

• Daraus ergibt sich der Frequenzhub $\Delta f_{\rm A} \cdot T = 0.5$ und der Modulationsindex $\underline{h = 1}$.

(5)  Hier treten die beiden (normierten) Frequenzen $f_{1} \cdot T = 4.25$ und $f_{2} \cdot T = 3.75$ auf,

• womit sich der Frequenzhub $\Delta f_{\rm A} \cdot T = 0.25$ und der Modulationsindex $\underline{h = 0.5}$ berechnen lassen.

(6)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Lediglich bei $s_{\rm A}(t)$ wurde keine Phasenanpassung vorgenommen.
• Hier sind die Signalverläufe im Bereich des ersten und zweiten Bit ($a_{1} = a_{2} = +1$) jeweils cosinusförmig wie das Trägersignal (bezogen auf die Symbolgrenze).
• Dagegen ist im zweiten Symbol von $s_{\rm B}(t)$ ein minus–cosinusförmiger Verlauf (Anfangsphase $\phi_{0} = π$ entsprechend $180^\circ$) zu erkennen und im zweiten Symbol von $s_{\rm C}(t)$ ein minus–sinusförmiger Verlauf ($\phi_{0} = π /2$ bzw. $90^\circ$).
• Bei $s_{\rm A}(t)$ ist die Anfangsphase stets $0$, bei $s_{\rm B}(t)$ entweder $0$ oder $π$, während beim Signal $s_{\rm C}(t)$ mit Modulationsindex $h = 0.5$ insgesamt vier Anfangsphasen möglich sind: $0^\circ, \ 90^\circ, \ 180^\circ$ und $270^\circ$.

(7)  Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag, da für dieses Signal $h = 0.5$ gilt.

• Dies ist der kleinstmögliche Modulationsindex, für den Orthogonalität zwischen $f_{1}$ und $f_{2}$ innerhalb der Symboldauer $T$ besteht.