Exercise 2.5Z: Nyquist Equalization

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Ein digitales Basisbandübertragungssystem kann durch das dargestellte Blockschaltbild modelliert werden.

• H_S(f), H_K(f) und H_E(f) beschreiben die Komponenten „Sender”, „Kanal” und „Empfänger” im Frequenzbereich.

• Der Gesamtfrequenzgang H(f) = H_S(f) · H_K(f) · H_E(f) soll einen cos²–förmigen Verlauf haben:

$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \cos^2\left(\frac{\pi}{2} \cdot f \cdot T \right) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < 1/T,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| \ge 1/T.} \\ \end{array}$$

• Das Signal y(t) vor dem (Schwellenwert–)Entscheider weist deshalb äquidistante Nulldurchgänge im Abstand T auf.

• Vorausgesetzt wird dabei, dass die Quelle einen Diracimpuls x(t) mit Gewicht T abgibt (siehe Grafik).

Es wird darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um ein so genanntes Nyquistsystem handelt. Wie im Buch „Digitalsignalübertragung” noch ausführlich diskutiert werden wird, stellen diese Nyquistsysteme eine wichtige Klasse digitaler Übertragungssysteme dar, da sich bei diesen die sequenziell übertragenen Symbole nicht gegenseitig beeinflussen.

Für die Lösung dieser Aufgabe werden diese weiterreichenden Aspekte jedoch nicht benötigt. Es wird hier lediglich vorausgesetzt, dass

• der Sendeimpuls s(t) rechteckförmig sei mit Impulsdauer T:

$$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T),$$

• der Kanal bis einschließlich Teilaufgabe 2) als ideal vorausgesetzt wird, während für die letzte Teilaufgabe gelten soll:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} .$$

Gesucht ist für beide Kanäle der Empfänger- und gleichzeitig Entzerrerfrequenzgang H_E(f), damit der Gesamtfrequenzgang die gewünschte Nyquistform aufweist.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.3. Als bekannt vorausgesetzt wird die folgende trigonometrische Beziehung:

$$\frac{\cos^2(\alpha /2)}{\sin(\alpha )} = \frac{1}{2} \cdot {\rm cot}(\alpha /2) .$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Ausgangssignalwert zum Zeitpunkt t = 0.

$y(t = 0)$ =

2

Zunächst sei H_K(f) = 1. Berechnen Sie für diesen Fall den Frequenzgang H_E(f). Welche Werte ergeben sich bei den nachfolgend genannten Frequenzen?

idealer Kanal: $|H_E(f \cdot T = 0)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 0.25)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 0.5)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 0.75)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 1)|$ =

3

Berechnen Sie H_E(f) für den gaußförmigen Kanal entsprechend der Angabe.

GAusßkanal: $|H_E(f \cdot T = 0)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 0.25)| $ =

$|H_E(f \cdot T = 0.5)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 0.75)|$ =

$|H_E(f \cdot T = 1)|$ =

Musterlösung

Solution

1.  Mit dem konstanten Spektrum X(f) = T erhält man für die Spektralfunktion des Empfängerausgangssignals y(t):

$$Y(f)= T \cdot {H(f)}.$$

Der Signalwert bei t = 0 ist gleich der Fläche unter Y(f). Wie aus der nebenstehenden Skizze hervorgeht, ist diese gleich 1. Daraus folgt: y(t = 0) = 1.

2.  Aus der Bedingung H_S(f) · H_E(f) = H(f) folgt im betrachteten Bereich:

$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)} = \frac{\cos^2(\pi f T/2)}{\sin(\pi f T)/(\pi f T)}.$$

Wegen cos(0) = 1, si(0) = 1 gilt auch H_E(f = 0) = 1. Mit der gegebenen trigonometrischen Umformung gilt weiter:

$$H_{\rm E}(f) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi f T}{2} \cdot {\rm cot}\left( \frac{\pi f T}{2}\right),\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi }{8} \cdot {\rm cot}\left( 22.5^{\circ}\right)=\\ = \hspace{-0.15cm}\frac{\pi }{8} \cdot 2.414 = \hspace{0.15cm}\underline{0.948},\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.5) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi }{4} \cdot {\rm cot}\left( 45^{\circ}\right) =\\ = \hspace{-0.15cm}\frac{\pi }{4} \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.785},$$

$$ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.75) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{3 \pi }{8} \cdot {\rm cot}\left( 67.5^{\circ}\right) =\frac{3 \pi }{8} \cdot 0.414 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.488},\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 1) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{ \pi }{2} \cdot {\rm cot}\left( 90^{\circ}\right) =\frac{ \pi }{2} \cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

3.  Unter Berücksichtigung des Gaußkanals gilt:

$$H_{\rm E}(f)= \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)} = H_{\rm E}^{(b)}(f)\cdot {\rm e}^{\pi (f T)^2}.$$

H_E^(b)(f) bezeichnet den unter Punkt b) berechneten Entzerrerfrequenzgang unter der Voraussetzung eines idealen Kanals. Man erhält folgende numerische Ergebnisse:

$$H_{\rm E}(f\cdot T = 0) = 1 \cdot {\rm e}^{0} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.25) = 0.948 \cdot 1.217 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.154},\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.5) = 0.785 \cdot 2.193 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.722},\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 0.75) = 0.488 \cdot 5.854 \hspace{0.15cm}\underline{= 2.857},\\ H_{\rm E}(f \cdot T = 1) = 0 \cdot 23.141 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Die obige Grafik fasst die Ergebnisse dieser Aufgabe zusammen.