Exercise 3.7Z: Partial Fraction Decomposition

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In der Grafik sind durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme H_L(p) vier verschiedene Vierpole gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl Z der Nullstellen gleich der Anzahl N der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils K = 1.

Im Sonderfall Z = N kann zur Berechnung der Impulsantwort h(t) der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend

$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$

vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann

$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm},$$

wobei h'(t) die Laplace–Transformierte von H_L'(p) angibt, bei der die Bedingung Z' < N' erfüllt ist.

Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe. Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung |H(f)| = 1  ⇒ a(f) = 0 erfüllt. In der Aufgabe Z3.4 ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.

Weiterhin soll in dieser Aufgabe die p–Übertragungsfunktion

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$

näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters A durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 3.3.

Fragebogen

1

Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?

	Konfiguration (1),
	Konfiguration (2),
	Konfiguration (3),
	Konfiguration (4).

2

Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion H_L⁽⁵⁾(p)?

	Konfiguration (1),
	Konfiguration (2),
	Konfiguration (3),
	Konfiguration (4).

3

Berechnen Sie die Funktion H_L'(p) nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration (1). Geben Sie den Funktionswert für p = 0 ein.

$Diagramm\ (1):\ \ H_L'(P = 0)$ =

4

Berechnen Sie H_L'(p) für Konfiguration (2). Welche Aussagen treffen hier zu?

	HL'(p) besitzt die gleichen Nullstellen wie HL(p).
	HL'(p) besitzt die gleichen Polstellen wie HL(p).
	Der konstante Faktor von HL'(p) ist K' = 8.

5

Berechnen Sie H_L'(p) für Konfiguration (3). Welche Aussagen treffen hier zu?

	HL'(p) besitzt die gleichen Nullstellen wie HL(p).
	HL'(p) besitzt die gleichen Polstellen wie HL(p).
	Der konstante Faktor von HL'(p) ist K' = 8.

6

Berechnen Sie H_L'(p) für Konfiguration (4). Welche Aussagen treffen hier zu?

	HL'(p) besitzt die gleichen Nullstellen wie HL(p).
	HL'(p) besitzt die gleichen Polstellen wie HL(p).
	Der konstante Faktor von HL'(p) ist K' = 8.

Musterlösung

Solution

1.  Nach den in der Aufgabe Z3.4 angegebenen Kriterien liegt dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle p_x = – A + j · B in der linken p–Halbebene eine entsprechende Nullstelle p_o = A + j · B in der rechten Halbebene gibt. Mit K = 1 ist dann die Dämpfungsfunktion a(f) = 0 Np  ⇒  |H(f)| = 1. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden Konfigurationen (1) und (2) genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.

2.  Die Übertragungsfunktion H_L⁽⁵⁾(p) wird ebenso durch die Konfiguration (4) beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:

$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}=\\ = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Nullstellen liegen bei p_o = 0, der doppelte Pol bei p_x = –A = –2.

3.  Für die Konfiguration (1) gilt:

$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$

4.  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration (2):

$$H_{\rm L}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=\\ = \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 -4\cdot p +8}=1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge im Gegensatz zur Aussage 1. Während H_L(p) zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist, besitzt H_L'(p) nur eine einzige Nullstelle bei p = 0.

5.  Für die Konfiguration (3) gilt:

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$

Die Nullstelle von H_L'(p) liegt nun bei p = –2, die Konstante ist K' = 4 ⇒ richtig ist hier nur Aussage 2.

6.  Schließlich gilt für die Konfiguration (4):

$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen: Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert. Die Pole von H_L'(p) sind dagegen stets identisch mit denen von H_L(p).