Definition des Begriffs „Impulsinterferenz” (1)
Für die beiden ersten Kapitel dieses Buches wurde vorausgesetzt, dass der Detektionsgrundimpuls gd(t)
- entweder auf den Zeitbereich |t| ≤ T begrenzt ist, oder
- äquidistante Nulldurchgänge im Symbolabstand T aufweist.
Bezeichnen wir die Abtastwerte von gd(t) bei Vielfachen der Symboldauer T (Abstand der Impulse) als die Detektionsgrundimpulswerte, so wurde in den Kapiteln 1 und 2 stillschweigend vorausgesetzt:
\[g_\nu = g_d(\nu T) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\nu = 0, \\ \\ \nu \ne 0. \\ \end{array}\]
Als Konsequenz dieser Annahme hat sich daraus ergeben, dass der Nutzanteil (Index „S”)
\[d_{\rm S}(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_d ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}a_\nu \in \{ -1, +1\}\]
des Detektionssignals zu den Zeitpunkten νT nur zwei verschiedene Werte annehmen kann, nämlich ±g0.
Die obere der beiden Grafiken zeigt dS(t) für diesen impulsinterferenzfreien Fall mit g0 = s0 und gν≠0 = 0. Darunter gezeichnet ist der Signalverlauf für die Detektionsgrundimpulswerte
\[g_0 = 0.6 \cdot s_0, \hspace{0.2cm}g_{-1} = g_{1} =0.2 \cdot s_0, \hspace{0.2cm}g_\nu =0\hspace{0.3cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.3cm} |\nu| \ge 2 \hspace{0.05cm},\]
die Impulsinterferenzen hervorrufen.
In beiden Bildern ist der (jeweils dreieckförmige) Detektionsgrundimpuls gd(t) rot eingezeichnet. Die Detektionszeitpunkte νT sind jeweils durch blaue Kreise markiert. Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.
Definition des Begriffs „Impulsinterferenz” (2)
Man erkennt aus dem unteren Signalverlauf auf der vorherigen Seite:
- Der Detektionsgrundimpuls gd(t) ist nun im Bereich |t| ≤ 1.5T von Null verschieden und erfüllt somit nicht mehr die Nyquist–Bedingung der Impulsinterferenzfreiheit.
- Dies hat zur Folge, dass zu den (mit Kreisen markierten) Detektionszeitpunkten nicht nur zwei Werte (±s0) möglich sind wie im oberen Bild. Vielmehr gilt für die Detektionsnutzabtastwerte:
- \[d_{\rm S}(\nu \cdot T) \in \{ \pm s_0, \pm 0.6 s_0,\pm 0.2 s_0\}\hspace{0.05cm}.\]
- Die Abtastwerte, die aufgrund ungünstiger Nachbarimpulse nahe an der Schwelle liegen, werden durch das AWGN–Rauschen (mit Rauscheffektivwert σd) häufiger verfälscht als die weiter außen liegenden Abtastwerte.
- Beispielhaft werden mit σd/s0 = 0.2 die blau ausgefüllten Punkte nahe der Schwelle mit großer Wahrscheinlichkeit pS = Q(1) ≈ 16% verfälscht und die äußeren Punkte (mit weißem Kern) nur mit pS = Q(5) ≈ 3 · 10–7. Die Fehlerwahrscheinlichkeit der gelb gefüllten Punkte (alle im Abstand 0.6 · s0 von der Null–Linie) liegt dazwischen:
- \[p_{\rm S} ={\rm Q} (3) \approx 0.13 \% \hspace{0.05cm}.\]
Bisher wurden die Auswirkungen von Impulsinterferenzen möglichst anschaulich dargelegt. Es fehlt noch eine exakte Begriffsbestimmung.
In anderen Worten:
- Durch abfallende Flanken vorangegangener Impulse („Nachläufer”) und ansteigende Flanken folgender Impulse („Vorläufer”) wird der momentan anliegende Detektionsabtastwert verändert.
- Dadurch kann die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung für das aktuelle Symbol vergrößert oder verkleinert werden, je nachdem, ob der Abstand zur Schwelle kleiner oder größer wird.
- Im statistischen Mittel – also bei Betrachtung einer (unendlich) langen Symbolfolge – führt dies stets zu einer (beträchtlichen) Erhöhung der (mittleren) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS.
Mögliche Ursachen für Impulsinterferenzen
Die nachfolgende Grafik zeigt das Augendiagramm für ein
- impulsinterferenzbehaftetes System ohne Rauschen (links),
- ein impulsinterferenzfreies System ohne Rauschen (Mitte),
- das gleiche impulsinterferenzfreie System mit Rauschen (rechts).
Auf die Definition, Bedeutung und Berechnung des Augendiagramms wird im Kapitel 3.2 noch ausführlich eingegangen. Die Bilder wurden mit dem Programm „bas” erzeugt. Hinweis zum Download dieses Programms aus LNTsim finden Sie am Beginn dieses Kapitels unter Kapitelüberblick.
Diese Bilder können wie folgt interpretiert werden:
- Das mittlere Diagramm stammt von einem Nyquistsystem mit Cosinus–Rolloff–Charakteristik (Rolloff–Faktor r = 0.5). Es treten somit keine Impulsinterferenzen auf.
- Auch das rechte Augendiagramm stammt von einem impulsinterferenzfreien System (genauer gesagt: vom gleichen System wie die mittlere Grafik), obwohl hier d(νT) = ±s0 nicht zutrifft. Die Abweichungen von den Sollwerten ±s0 sind hier auf das AWGN–Rauschen zurückzuführen.
- Aus diesem letzten Punkt folgt die wichtige Erkenntnis: Die Frage, ob ein impulsinterferenzfreies oder ein impulsinterferenzbehaftetes System vorliegt, kann nur anhand des Detektionssignals (bzw. des Augendiagramms) ohne Rauschen entschieden werden.
- Das linke Diagramm weist auf Impulsinterferenzen hin, da hier kein Rauschen berücksichtigt ist. Ein Grund für diese Impulsinterferenzen könnte sein, dass der Gesamtfrequenzgang von Sender und Empfänger das erste Nyquistkriterium aufgrund von Toleranzen nicht exakt erfüllt.
- Impulsinterferenzen entstehen aber auch bei einem Kanal mit frequenzabhängigem Frequenzgang HK(f), wenn es dem Empfänger nicht gelingt, die Dämpfungs– und Phasenverzerrungen des Kanals vollständig (hundertprozentig) zu kompensieren.
- Letztendlich kommt es auch beim mittleren System zu Impulsinterferenzen, wenn nicht exakt in Augenmitte entschieden wird, sondern zu einem Detektionszeitpunkt TD ≠ 0. In diesem Fall müssen dann die Detektionsgrundimpulswerte zu gν = gd(TD + ν · T) definiert werden.
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