Contents
- 1 Blockweise und symbolweise Codierung
- 2 Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (1)
- 3 Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (2)
- 4 AKF und LDS eines Mehrstufensignals
- 5 Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems (1)
- 6 Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems (2)
- 7 Vergleich zwischen Binär– und Mehrstufensystem (1)
- 8 Vergleich zwischen Binär– und Mehrstufensystem (2)
- 9 Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit (1)
- 10 Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit (2)
- 11 Aufgaben
Blockweise und symbolweise Codierung
Bei der Übertragungscodierung unterscheidet man zwischen zwei Arten, der symbolweisen und der blockweisen Codierung. Bei symbolweiser Codierung, die im Kapitel 2.4 im Detail beschrieben ist, wird mit jedem ankommenden Quellensymbol qν ein Codesymbol cν erzeugt, das außer vom aktuellen Symbol qν auch von vorangegangenen Symbolen abhängen kann.
Typisch für alle Übertragungscodes zur symbolweisen Codierung ist, dass die Bitdauer Tq der als binär und redundanzfrei angenommenen Nachrichtenquelle mit der Symboldauer Tc des meist mehrstufigen und redundanten Codersignals c(t) übereinstimmt.
Dagegen wird bei der blockweisen Codierung jeweils einem Block von mq binären Quellensymbolen (Mq = 2) der Bitdauer Tq eine ein–eindeutige Sequenz von mc Codesymbolen aus einem Alphabet mit dem Codesymbolumfang Mc ≥ 2 zugeordnet. Für die Symboldauer eines Codesymbols gilt dann
\[T_c = \frac{m_q}{m_c} \cdot T_q \hspace{0.05cm},\]
und die relative Redundanz eines Blockcodes beträgt allgemein
\[r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2} (M_q)}{{\rm log_2} (M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)}\hspace{0.05cm}.\]
Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel 2.3.
Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (1)
Ein Sonderfall eines Blockcodes ist die redundanzfreie Codierung. Ausgehend vom redundanzfreien binären Quellensignal q(t) mit Bitdauer Tq wird ein Mc–stufiges Codersignal c(t) generiert, wobei die Symboldauer Tc = Tq · log2(Mc) beträgt. Somit ergibt sich für die relative Redundanz:
\[r_c = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} (M_c)} = 1- \frac{m_q}{m_c \cdot {\rm log_2} (M_c)}= 0 \hspace{0.05cm}.\]
Dabei gilt:
- Ist Mc eine Potenz zur Basis 2, so werden mq = log2(Mc) zu einem einzigen Codesymbol (mc = 1) zusammengefasst.
- Ist Mc keine Zweierpotenz, so ist eine hundertprozentig redundanzfreie Blockcodierung nicht möglich. Codiert man beispielweise mq = 3 Binärsymbole durch mc = 2 Ternärsymbole und setzt Tc = 1.5 · Tq, so verbleibt eine relative Redundanz von 1 – 1.5/log2(3) ≈ 5%.
- Codiert man einen Block von 128 Binärsymbolen mit 81 Ternärsymbolen, so ergibt sich eine relative Coderedundanz von weniger als 0.3%.
Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das Kapitel 1 verwenden wir im Folgenden die Bitdauer TB = Tq des redundanzfreien binären Quellensignals, die Symboldauer T = Tc von Codersignal und Sendesignal sowie die Stufenzahl M = Mc.
Damit ergibt sich für das Sendesignal die identische Form wie bei der Binärübertragung, jedoch mit anderen Amplitudenkoeffizienten:
\[s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} a_\nu \in \{ a_1, ... , a_\mu , ... , a_{ M}\}\hspace{0.05cm}.\]
Die Amplitudenkoeffizienten aν können prinzipiell beliebig – aber eindeutig – den Codersymbolen cν zugeordnet werden. Es ist zweckmäßig, die Abstände zwischen benachbarten Amplituden gleich groß zu wählen. Bei bipolarer Signalisierung (–1 ≤ aμ ≤ +1) gilt somit für die möglichen Amplitudenkoeffizienten mit dem Laufindex μ = 1, ... , M:
\[a_\mu = \frac{2\mu - M - 1}{M-1} \hspace{0.05cm}.\]
Unabhängig von der Stufenzahl M erhält man hieraus für die äußeren Amplitudenkoeffizienten a1 = –1 und aM = +1. Bei einem ternären Signal (M = 3) sind die möglichen Amplitudenkoeffizienten –1, 0 und +1, während bei einem Quaternärsignal (M = 4) folgende Koeffizienten auftreten: –1, –1/3, +1/3, +1.
Redundanzfreies Ternär– und Quaternärsignal (2)
s4(t) mit den möglichen Amplitudenkoeffizienten ±1 und ±1/3, das sich aus dem in der Mitte dargestellten binären Quellensignal q(t) ergibt. Jeweils zwei Binärsymbole werden nach der rot hinterlegten Tabelle zu einem quaternären Amplitudenkoeffizienten zusammengefasst. Die Symboldauer T des Signals s4(t) ist doppelt so groß wie die Bitdauer TB (vorher: Tq) des Quellensignals. Ist q(t) redundanzfrei, so ergibt sich auch ein redundanzfreies Quaternärsignal, das heißt, die möglichen Amplitudenkoeffizienten ±1 und ±1/3 sind gleichwahrscheinlich und innerhalb der Folge 〈aν〉 gibt es keine statistischen Bindungen.
AKF und LDS eines Mehrstufensignals
Bei einem redundanzfrei codierten M–stufigen bipolaren Digitalsignal s(t) gilt für die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten sowie für die entsprechende spektrale Leistungsdichte:
\[\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \\ \lambda \ne 0 \\ \end{array} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it \Phi_a(f)} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}= {\rm const.}\]
Unter Berücksichtigung der spektralen Formung durch den Sendegrundimpuls gs(t) erhält man:
\[\varphi_{s}(\tau) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}_{s}(f) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}\cdot |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.\]
Man erkennt aus diesen Gleichungen:
- Bei redundanzfreier mehrstufiger Codierung wird die Form von AKF und LDS allein durch den Sendegrundimpuls gs(t) bestimmt.
- Die Höhe von AKF und LDS ist bei gleicher Form gegenüber dem redundanzfreien Binärsignal um den Faktor φa(λ = 0) = E[aν2] = (M + 1)/(3M – 3) geringer.
- Dieser Faktor beschreibt die geringere Signalleistung des Mehrstufensignals aufgrund der M – 2 inneren Amplitudenkoeffizienten. Bei M = 3 ist dieser Faktor gleich 2/3, bei M = 4 gleich 5/9.
- Ein fairer Vergleich zwischen Binärsignal und Mehrstufensignal bei gleichem Informationsfluss (äquivalente Bitrate) sollte aber auch die unterschiedlichen Symboldauern berücksichtigen.
- Dabei zeigt sich, dass ein Mehrstufensignal aufgrund des schmaleren LDS weniger Bandbreite benötigt als das Binärsignal, wenn die gleiche Information übertragen wird.
Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems (1)
Nachfolgend sehen Sie die Augendiagramme eines binären (M = 2), eines ternären
(M = 3) und eines quaternären (M = 4) Übertragungssystems. Hierbei ist für das Gesamtsystem HS(f) · HE(f) von Sender und Empfänger eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik mit dem Rolloff–Faktor r = 0.5 vorausgesetzt, so dass Impulsinteferenzen keine Rolle spielen. Das Rauschen wird als vernachlässigbar klein angenommen.
Das Augendiagramm wird vorwiegend zur Abschätzung von Impulsinterferenzen genutzt. Eine genaue Beschreibung folgt in Kapitel 3.2 Der folgende Text ist aber auch ohne Detailkenntnisse verständlich.
Man erkennt aus obigen Darstellungen:
- Beim Binärsystem (M = 2) gibt es nur eine einzige Entscheiderschwelle: E1 = 0. Zu einem Übertragungsfehler kommt es, wenn die Rauschkomponente dN(TD) zum Detektionszeitpunkt größer ist als +s0 (falls dS(TD) = –s0) bzw. wenn dN(TD) kleiner ist als –s0, falls dS(TD) = +s0 gilt.
- Beim Ternärsystem (M = 3) erkennt man zwei Augenöffnungen und zwei Entscheiderschwellen E1 = –s0/2 und E2 = +s0/2. Der Abstand der möglichen Detektionsnutzsignalwerte dS(TD) zu der nächstgelegenen Schwelle beträgt jeweils s0/2. Die äußeren Amplitudenwerte (±s0) können nur in jeweils eine Richtung verfälscht werden, während dS(TD) = 0 von zwei Schwellen begrenzt wird.
- Dementsprechend wird ein Amplitudenkoeffizient aν = 0 gegenüber aν = +1 bzw. aν = –1 doppelt so oft verfälscht. Bei gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten sowie AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert σd ergibt sich gemäß Kapitel 1.2 für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
- \[p_{\rm S} = { 1}/{3} \cdot \left[{\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\right]= \frac{ 4}{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.\]
Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt. Beachten Sie aber bereits hier, dass mit dieser Gleichung nicht mehr die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB, sondern die Symbolfehlerwahrschein-
lichkeit pS angegeben wird. Die entsprechenden Aposteriori–Kenngrößen sind Bit Error Rate (BER) bzw. Symbol Error Rate (SER). Näheres hierzu auf der letzten Seite dieses Kapitels.
Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems (2)
Es folgt die Fortsetzung der Bildbeschreibung der letzten Seite:
Beim Quaternärsystem (M = 4) mit den möglichen Amplitudenwerten ±s0 und ±s0/3 gibt es drei Augenöffnungen und entsprechend auch drei Entscheiderschwellen bei E1 = –2s0/3, E2 = 0 und E3 = +2s0/3. Unter Berücksichtigung der Auftrittswahrscheinlichkeiten (bei gleichwahrscheinlichen Symbolen jeweils 1/4) und der sechs Verfälschungsmöglichkeiten (siehe Pfeile in der Grafik) erhält man nun:
\[p_{\rm S} = { 6}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/3}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.\]
Durch Erweiterung auf größere Werte von M ergibt sich allgemein:
\[p_{\rm S} = \frac{ 2 + 2 \cdot (M-2)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/(M-1)}{\sigma_d}\right) = \]
- \[ = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d (M)\cdot (M-1)}\right)\hspace{0.05cm}.\]
Die Schreibweise σd(M) soll deutlich machen, dass der Effektivwert des Detektionsrauschsignals dN(t) signifikant von der Stufenzahl M abhängt.
Vergleich zwischen Binär– und Mehrstufensystem (1)
Die Grafik zeigt die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS, die sich mit M–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt. Als Abszisse ist das Verhältnis EB/N0 logarithmisch aufgetragen.
Für diesen Systemvergleich unter fairen Bedingungen werden vorausgesetzt:
- Die äquivalente Bitrate RB = 1/TB sei konstant. Abhängig von der Stufenzahl M beträgt somit die Symboldauer von Codersignal und Sendesignal:
- \[T = T_{\rm B} \cdot {\rm log_2} (M) \hspace{0.05cm}.\]
- Die Nyquistbedingung wird durch eine Wurzel–Wurzel–Charakteristik mit Rolloff–Faktor r erfüllt. Es treten weiterhin keine Impulsinterferenzen auf. Für die Detektionsrauschleistung gilt:
- \[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.\]
- Der Vergleich der Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten pS erfolgt unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung. Die Energie pro Bit beträgt bei M–stufiger Übertragung:
- \[E_{\rm B} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.05cm}.\]
Setzt man diese Gleichungen in das allgemeine Ergebnis der letzten Seite ein, so erhält man:
\[p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{s_0^2 /(M-1)^2}{\sigma_d^2}}\right) =\]
- \[ = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{3 \cdot {\rm log_2} (M)}{M^2 -1}\cdot \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)= K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.\]
Für M = 2 ist K1 = K2 = 1 zu setzen. Für größere Stufenzahlen erhält man:
- M = 3: K1 = 1.333, K2 = 0.594, M = 4: K1 = 1.500, K2 = 0.400,
- M = 5: K1 = 1.600, K2 = 0.290, M = 6: K1 = 1.666, K2 = 0.221,
- M = 7: K1 = 1.714, K2 = 0.175, M = 8: K1 = 1.750, K2 = 0.143.
Die Beschreibung und Interpretation der obigen Grafik erfolgt auf der nächsten Seite.
Vergleich zwischen Binär– und Mehrstufensystem (2)
Die Bildbeschreibung wird fortgesetzt:
Die Grafik zeigt die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS in Abhängigkeit des Quotienten EB/N0 in dB, gültig für redundanzfreie M–stufige Digitalsysteme. Alle Systeme sind für die jeweilige Stufenzahl optimal, wenn vom AWGN–Kanal und Leistungsbegrenzung ausgegangen wird.
Die Kurvenverläufe kann man wie folgt interpretieren:
- Aufgrund der hier gewählten doppelt–logarithmischen Darstellung führt ein K2–Wert kleiner als 1 zu einer Parallelverschiebung der Fehlerwahrscheinlichkeitskurve nach rechts. Gilt K1 > 1, so verschiebt sich die Kurve gegenüber dem Binärsystem (K1 = 1) nach oben.
- Hinsichtlich Fehlerwahrscheinlichkeit ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen überlegen. Für M = 2 und 10 · lg EB/N0 = 12 dB ist pS bereits kleiner als 10–8. Beim Quaternärsystem (M = 4) muss für die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit 10 · lg EB/N0 etwas mehr als 16 dB betragen.
- Diese Aussage gilt jedoch nur bei verzerrungsfreiem Kanal, das heißt HK(f) = 1. Bei verzerrenden Übertragungskanälen kann dagegen ein höherstufiges System wegen der signifikant kleineren Detektionsstörleistung (nach dem Entzerrer) eine deutliche Verbesserung bringen.
- Beim AWGN–Kanal ist der einzige Vorteil einer höherstufigen Übertragung der niedrigere Bandbreitenbedarf aufgrund der kleineren äquivalenten Bitrate, der bei Basisbandübertragung nur eine untergeordnete Rolle spielt im Gegensatz zu den Trägerfrequenzsystemen gemäß Kapitel 1.5.
- Mit der Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” führt die Kombination aus rechteckförmigem gs(t) und rechteckförmigem hE(t) unabhängig von der Stufenzahl zum Optimum.
- Der Verlust der Mehrstufensystemen gegenüber dem Binärsystem ist hier noch größer als bei Leistungsbegrenzung. Dies erkennt man an dem mit M abnehmenden Faktor K2, für den dann gilt:
- \[p_{\rm S} = K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot \frac{2 \cdot s_{\rm 0}^2 \cdot T}{N_0}}\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} K_2 = \frac{{\rm log_2}\,(M)}{(M-1)^2} \hspace{0.05cm}.\]
Die Konstante K1 ist gegenüber der letzten Seite (Leistungsbegrenzung) unverändert, während K2 um den Faktor 3 kleiner ist:
- M = 3: K1 = 1.333, K2 = 0.198, M = 6: K1 = 1.666, K2 = 0.074,
- M = 5: K1 = 1.600, K2 = 0.097, M = 6: K1 = 1.666, K2 = 0.074,
- M = 7: K1 = 1.714, K2 = 0.058, M = 8: K1 = 1.750, K2 = 0.048.
Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit (1)
Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss zwischen der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und der Bitfehlerwahrscheinlichkeit unterschieden werden:
- Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bezieht sich auf die M–stufigen und eventuell redundanten Folgen 〈cν〉 und 〈wν〉:
- \[p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.\]
- Im Gegensatz dazu beschreibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen 〈qν〉 und 〈υν〉, also hinsichtlich Quellen– und Sinkensignal:
- \[p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.\]
Beide Wahrscheinlichkeiten sind hier als Zeitmittelwerte angegeben.
Die folgende Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nachfolgenden Abschnitte gültig. Während im Kapitel 2.2 der Block „Coder” eine redundanzfreie Codierung bewirkt, wird im Kapitel 2.3 eine blockweise Übertragungscodierung betrachtet, während im Kapitel 2.4 die symbolweisen Pseudoternärcodes behandelt werden. In beiden Fällen unterscheiden sich pB und pS. Nur beim redundanzfreien Binärsystem entsprechend Kapitel 1 sind pB und pS identisch.
Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit pS etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB. Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen immer auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB basieren. Dabei muss auch die Zuordnung zwischen den Quellen– und Codesymbolen berücksichtigt werden, wie auf der nächsten Seite gezeigt wird.
Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit (2)
- Die Verfälschungswahrscheinlichkeit zu einem benachbarten Symbol ist p = Q[s0/(3σd)].
- Die Verfälschung zu einem nicht benachbarten Symbol wird ausgeschlossen.
- Das Modell berücksichtigt die doppelten Verfälschungsmöglichkeiten der inneren Symbole.
Bei gleichwahrscheinlichen binären Quellensymbolen qν treten auch die quaternären Codesymbole cν mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Damit erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
\[p_{\rm S} ={1}/{4}\cdot (2 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p) = {3}/{2} \cdot p\hspace{0.05cm}.\]
Zur Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit muss zusätzlich die Zuordnung zwischen den Binär– und den Quaternärsymbolen berücksichtigt werden:
- Bei der Dualcodierung gemäß der gelb hinterlegten Tabelle kann ein Symbolfehler (wν ≠ cν) ein oder zwei Bitfehler (υν ≠ qν) zur Folge haben. Von den sechs Verfälschungsmöglichkeiten auf Quaternärsymbolebene führen vier zu jeweils einem und nur die beiden inneren zu zwei Bitfehlern. Daraus folgt:
- \[p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = p\hspace{0.05cm}.\]
- Der Faktor 1/2 berücksichtigt, dass ein Quaternärsymbol zwei Binärsymbole beinhaltet.
- Dagegen ist bei der sog. Graycodierung gemäß der grün hinterlegten Tabelle die Zuordnung zwischen den Binärsymbolen und den Quaternärsymbolen so gewählt, dass jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler zur Folge hat. Daraus folgt:
- \[p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 1 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = {3}/{4} \cdot p\hspace{0.05cm}.\]
Aufgaben
A2.3 Binär– und Quaternärsignal
Zusatzaufgaben:2.4 pS und pB bei einem Oktalsystem
A2.5 Ternäre Signalübertragung
