Exercise 4.14: Phase Progression of the MSK

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Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK, wie aus dem Blockschaltbild im Theorieteil hervorgeht. Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k$ ∈ {+1, –1} in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k$ ∈ {+1, –1} vorzunehmen. Diese Umcodierung wird in der Aufgabe Z4.13 eingehend behandelt.

Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_I(t)$ und $s_Q(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach dieser Umcodierung $$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $$ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls $$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Dieser ist ebenso wie die Signale $s_I(t)$ und $s_Q(t)$ auf 1 normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel 4.3 im Buch „Signaldarstellung”: $$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$ mit dem Betrag $$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$ und der Phase $$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$ Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu $$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$ Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.4. Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve $|s_{TP}(t)|$?

	Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
	Die Hüllkurve ist konstant.
	Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.

2

Es gelte $T = 1 μs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall 0 ≤ t ≤ T. Welche Phasenwerte ergeben sich bei t = T/2 und t = T?

$ϕ(t = T/2)$ = $Grad$

$ϕ(t = T)$ = $Grad$

3

Bestimmen Sie die Phasenwerte bei t = 2T, t = 3T und t = 4T.

$ϕ(t = 2T)$ = $Grad$

$ϕ(t = 3T)$ = $Grad$

$ϕ(t = 4T)$ = $Grad$

4

Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von 0 bis 8T. Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?

$ϕ(5T)$ = $Grad$

$ϕ(6T)$ = $Grad$

$ϕ(7T)$ = $Grad$

$ϕ(8T)$ = $Grad$

Musterlösung

Solution

1. Aus der oberen Skizze kann man $T_B = 1 μs$ ablesen.

2. Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer T doppelt so groß wie die Bitdauer: $$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

3. Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt: $$ a_{\rm I3} = q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ $$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$

4. Bei der MSK ist die Symboldauer T gleich der Bitdauer: $$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$ 5. Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$: $$q_5 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$

$$q_6 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$

$$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$ $$q_8 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$