Exercise 5.5Z: About the Rake Receiver

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Die Grafik zeigt einen Zweiwegekanal (gelbe Hinterlegung). Die entsprechende Beschreibungsgleichung lautet: $$ r(t) =0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ Die Verzögerung auf dem Nebenpfad sei $τ = 1 μs$. Darunter gezeichnet ist die Struktur eines RAKE–Empfängers (grüne Hinterlegung) mit den allgemeinen Koeffizienten $K, h_0, h_1, τ_0$ und $τ_1$.

Der RAKE–Empfänger hat die Aufgabe, die Energie der beiden Signalpfade zu bündeln und dadurch die Entscheidung sicherer zu machen. Die gemeinsame Impulsantwort von Kanal und RAKE–Empfänger kann in der Form $$h_{\rm KR}(t) = A_0 \cdot \delta (t ) + A_1 \cdot \delta (t - \tau) + A_2 \cdot \delta (t - 2\tau)$$ angegeben werden, allerdings nur dann, wenn die RAKE–Koeffizienten $h_0$, $h_1$, $τ_0$ und $τ_1$ geeignet gewählt werden. Der Hauptanteil von $h_{KR}(t)$ soll bei $t = τ$ liegen.

Die Konstante K ist so zu wählen, dass die Amplitude des Hauptpfads $A_1 = 1$ ist: $$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2}.$$ Gesucht sind außer den geeigneten RAKE–Parametern auch die Signale $r(t)$ und $b(t)$, wenn $s(t)$ ein Rechteck der Höhe 1 und der Breite $T = 5 μs$ ist.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf der Untersuchungen zum RAKE–Empfänger von Kapitel 5.4.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die Kanalimpulsantwort $h_K(t)$?

	$h_K(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen.
	$h_K(t)$ ist komplexwertig.
	$h_K(t)$ ist eine mit der Verzögerungszeit τ periodische Funktion.

2

Welche Aussagen gelten für den Kanalfrequenzgang $H_K(f)$?

	Es gilt $H_K(f = 0) = 2$.
	$H_K(f)$ ist komplexwertig.
	$|H_K(f)|$ ist eine mit der Frequenz 1/τ periodische Funktion.

3

Setzen Sie $K = 1$, $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$. Bestimmen Sie die Verzögerungen $τ_0$ und $τ_1$, damit die $h_{KR}(t)$–Gleichung mit $A_0 = A_2$ erfüllt wird.

$τ_0$ = $μs$

$τ_1$ = $μs$

4

Welcher Wert ist für die Konstante K zu wählen?

$K$ =

5

Welche Aussagen gelten für die Signale $r(t)$ und $b(t)$?

	Der Maximalwert von $r(t)$ ist 1.
	Die Breite von $r(t)$ ist $7 μs$.
	Der Maximalwert von $b(t)$ ist 1.
	Die Breite von $b(t)$ ist 7 μs.

Musterlösung

Solution

1. Die Impulsantwort $h_K(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt ⇒ $s(t) = δ(t)$. Daraus folgt $$ h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$ Richtig ist also der Lösungsvorschlag 1.

2. Der Kanalfrequenzgang $H_K(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_K(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür: $$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: $H_K(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit 1/τ, wie die nachfolgende Rechnung zeigt: $$|H_{\rm K}(f)|^2 = \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 =$$ $$ = \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] +$$ $$ + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$ Für f = 0 ist $|H_K(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand 1/τ wiederholt sich dieser Wert.

3. Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß K = 1. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort: $$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) +$$ $$ + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$ Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $τ_1 = τ$ gewählt werden. Mit $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$ erhält man dann $A_0 ≠ A_2$: $$h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) +0.48 \cdot \delta (t - \tau) + 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$ Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$: $$h_{\rm KR}(t) = 0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) +$$ $$ + 0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)=$$ $$ = 0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$ Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis: $$ \underline{\tau_0 = \tau = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 =0} \hspace{0.05cm}.$$

4. Für den Normierungsfaktor muss gelten: $$K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$ Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt 0.24/0.52 = 6/13): $$ h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$

5. Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt: $$r(t) = 0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$ $$b(t) = \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die folgende Grafik zeigt. Die Überhöhung des Ausgangssignals ⇒ $b(t) > 1$ ist auf den Normierungsfaktor K = 25/13 zurückzuführen. Mit K = 1 wäre der Maximalwert von $b(t)$ tatsächlich 1.