Applets:Period Duration of Periodic Signals

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Applet Descripition

Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

• Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert:   $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
• Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
• Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretical background

• Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt:   $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.

• Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.

$\text{Berechnungsvorschrift:}$  Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.

$\text{Beispiele:}$   Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.0$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$   ⇒   $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 3.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c)   $f_1' = 1.0$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$   ⇒   $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d)   $f_1' = 0.9$,   $f_2' = 2.5$   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$   ⇒   $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e)   $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $   ⇒   $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$   ⇒   $T_0 \to \infty$  ⇒   Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.

$\text{Anmerkung:}$  Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$,   $T_2 = 0.4\ \rm kHz$   ⇒   $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a)   $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Exercises

• Wählen Sie zunächst die Nummer  $(1,\ 2$, ... $)$  der zu bearbeitenden Aufgabe.
• Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Parameterwerte sind angepasst.
• Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
• Die Nummer  $0$  entspricht „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
• $A_1'$  und  $A_2'$  bezeichnen hier die auf  $1\ \rm V$  normierten Signalamplituden.
• $f_0'$,  $f_1'$  und  $f_2'$  sind die auf  $1\ \rm kHz$  normierten Frequenzen.

(1)   Es gelte  $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{.}$
          Wie groß ist die Periodendauer  $T_0$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  wegen  ${\rm ggt}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2)   Variieren Sie  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  im gesamten möglichen Bereich $\pm 180^\circ\text{.}$
          Wie wirkt sich dies auf die Periodendauer  $T_0$  aus?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  bleibt für alle  $\varphi_1$  und  $\varphi_2$  erhalten.

(3)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters”
          Variieren Sie  $A_1'$  im gesamten möglichen Bereich  $0 \le A_1' \le 1\text{:}$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer  $T_0 = 2.0 \ \rm ms$  bleibt erhalten mit Ausnahme von  $A_1' =0$.
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$In letzerem Fall ist  $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4)   Wählen Sie die Voreinstellung   ⇒   „Recall Parameters” und variieren Sie  $f_2' $?
          Hat dies Auswirkungen auf  $T_0$?  Welcher Wert ergibt sich für  $f_2' = 0.2$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer springt hin und her.
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Für  $f_2' = 0.2$  ergibt sich  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$   wegen   ${\rm ggt}(2.0, 0.2) = 0.2$.

(5)   Es gelte  $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 0.2, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ\text{.}$
          Wie groß ist die Periodendauer  $T_0$?  Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist  $T_0 = 10.0 \ \rm ms$  wegen  ${\rm ggt}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6)   Wählen Sie die letzte Einstellung   ⇒   „Recall Parameters” und ändern Sie  $f_2' = 0.6$.
          Speichern Sie diese Einstellung mit „Store Parameters”:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Die Periodendauer ist  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  wegen  ${\rm ggt}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7)   Wie groß ist bei gleicher Einstellung der maximale Signalwert  $x_{\rm max}\text{?}$

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.38 \ {\rm V} < A_1 + A_2$  mit  $t_* = 0.3 \ \rm ms$  und  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(8)   Welcher Unterschied ergibt sich mit  $\varphi_2 = 0^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Cosinusschwingungen?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $t_* = 0$,  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  ⇒   $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ {\rm V}=A_1 + A_2$.

(9)   Nun gelte  $\varphi_1 = \varphi_2 = 90^\circ \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}$ Summe zweier Sinusschwingungen:

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$Der maximale Signalwert ist nun  $x_{\rm max} = 1.07 \ {\rm V} < A_1 + A_2$.
$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ Dieser Wert ergibt sich mit  $T_0 = 5.0 \ \rm ms$  sowie  $t_* = 0.6 \ \rm ms$  bzw.  $t_* = 1.9 \ \rm ms$.

Applet Manual

Screenshot

    (A)     Parametereingabe per Slider

    (B)     Bereich der graphischen Darstellung

    (C)     Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

    (D)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (E)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

    (F)     Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

    (G)     Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

    (H)     Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

    (*)   Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

    (*)   Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

    (*)   Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

    (*)   Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

About the Authors

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
• 2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet   ⇒   Applet-Variante 1.
• Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

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