Period Duration of Periodic Signals

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Applet Descripition

Dieses Applet zeichnet den Verlauf und berechnet die Periodendauer $T_0$ der periodischen Funktion

$$x(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)+A_2\cdot \cos\left(2\pi f_2\cdot t- \varphi_2\right).$$

Bitte beachten Sie:

Die Phasen $\varphi_i$ sind hier im Bogenmaß einzusetzen. Umrechnung aus dem Eingabewert: $\varphi_i \text{[im Bogenmaß]} =\varphi_i \text{[in Grad]}/360 \cdot 2\pi$.
Ausgegeben werden auch der Maximalwert $x_{\rm max}$ und ein Signalwert $x(t_*)$ zu einer vorgebbaren Zeit $t_*$.
Das aufzurufende Applet verwendet die englischen Begriffe im Gegensatz zu dieser deutschen Beschreibung.

Die englische Beschreibung finden Sie unter Period Duration of Periodic Signals (derzeit noch nicht realisiert) .

Theoretical background

Ein periodisches Signal $x(t)$ liegt genau dann vor, wenn dieses nicht konstant ist und für alle beliebigen Werte von $t$ und alle ganzzahligen Werte von $i$ mit einem geeigneten $T_{0}$ gilt: $x(t+i\cdot T_{0}) = x(t)$. Man bezeichnet $T_0$ als die Periodendauer und $f_0 = 1/T_0$ als die Grundfrequenz.

Bei einer harmonischen Schwingung $x_1(t) = A_1\cdot \cos\left(2\pi f_1\cdot t- \varphi_1\right)$ gilt $f_0 = f_1$ und $T_0 = 1/f_1$, unabhängig von der Phase $\varphi_1$ und der Amplitude $A_1 \ne 0$.

$\text{Berechnungsvorschrift:}$ Setzt sich das periodisches Signal $x(t)$ wie in diesem Applet aus zwei Anteilen $x_1(t)$ und $x_2(t)$ zusammen, dann gilt mit $A_1 \ne 0$, $f_1 \ne 0$, $A_2 \ne 0$, $f_2 \ne 0$ für Grundfrequenz und Periodendauer:

$$f_0 = {\rm ggT}(f_1, \ f_2) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}T_0 = 1/f_0,$$

wobei „ggT” den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.

$\text{Beispiele:}$ Im Folgenden bezeichnen $f_0'$, $f_1'$ und $f_2'$ die auf $1\ \rm kHz$ normierten Signalfrequenzen:

(a) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 3.0$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.0) = 1.0$ ⇒ $T_0 = 1.0\ \rm ms$;

(b) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 3.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 3.5)= 0.5$ ⇒ $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(c) $f_1' = 1.0$, $f_2' = 2.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(1.0, \ 2.5) = 0.5$ ⇒ $T_0 = 2.0\ \rm ms$;

(d) $f_1' = 0.9$, $f_2' = 2.5$ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(0.9, \ 2.5) = 0.1$ ⇒ $T_0 = 10.0 \ \rm ms$;

(e) $f_2' = \sqrt{2} \cdot f_1' $ ⇒ $f_0' = {\rm ggt}(f_1', \ f_2') \to 0$ ⇒ $T_0 \to \infty$ ⇒ Das Signal $x(t)$ ist nicht periodisch.

$\text{Anmerkung:}$ Die Periodendauer könnte auch als kleinstes gemeinsame Vielfache (kgV) entsprechend $T_0 = {\rm kgV}(T_1, \ T_2)$ ermittelt werden:

(c) $T_1 = 1.0\ \rm ms$, $T_2 = 0.4\ \rm kHz$ ⇒ $T_0 = {\rm kgV}(1.0, \ 0.4) \ \rm ms = 2.0\ \rm ms$

Bei allen anderen Parameterwerten würde es aber zu numerischen Problemen kommen, zum Beispiel

(a) $T_1 = 1.0\ \rm ms$ und $T_2 = 0.333\text{...} \ \rm ms$ besitzen aufgrund der begrenzten Darstellung reeller Zahlen kein kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Exercises

First select the number (1, 2, ... ) of the exercise.
An exercise description is displayed. Parameter values are adjusted.
Solution after pressing "Show solution".
The number 0 corresponds to a "Reset": Same setting as at the program start.
$A_1'$ and $A_2'$ denote the signal amplitudes normalized to $1\ \rm V$.
$f_0'$, $f_1'$ and $f_2'$ are the frequencies normalized to $1\ \rm kHz$.

(1) Consider $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 2.0, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ$. How large is the period $T_0$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ due to $\rm{gcd}(2.0, 2.5) = 0.5$.

(2) Vary $\varphi_1$ and $\varphi_2$ in the whole possible range $\pm 180^\circ$. How does this affect the period $T_0$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ remains the same for all $\varphi_1$ and $\varphi_2$.

(3) Select the default setting ⇒ "Recall Parameters". Vary $A_1'$ in the entire possible range $0 \le A_1' \le 1$.

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period $T_0 = 2.0 \ \rm ms$ remains the same with the exception of $A_1' =0$. In the latter case: $T_0 = 0.4 \ \rm ms$.

(4) Choose the default setting ⇒ "Recall Parameters" and vary $f_2'$. Does this affect $T_0$? Which value is the result for $f_2' = 0.2$?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period jumps back and forth. For $f_2' = 0.2$ the result is $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ because of $\ \rm{gcd} (2.0,0.2)=0.2$. .

(5) Consider $A_1' = 1.0, \ A_2' = 0.5, \ f_1' = 0.2, \ f_2' = 2.5, \ \varphi_1 = 0^\circ \ \varphi_2 = 90^\circ$. How large is the period $T_0$? Save this setting with "Store Parameters".

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is $T_0 = 10.0 \ \rm ms$ due to $\rm{gcd}(0.2, 2.5) = 0.1$.

(6) Select the last setting ⇒ "Recall Parameters" and change $f_2' = 0.6$. Save this setting with "Store Parameters".

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The period is $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ due to $\rm{gcd}(0.2,0.6) = 0.2$.

(7) How large is the maximum signal value $x_{\rm max}$ with the same settings?`

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.38 \ {\rm V} < A_1 + A_2$ with $t_* = 0.3 \ \rm ms$ and $T_0 = 5.0 \ \rm ms$.

(8) What changes with $\varphi_2 = 0^\circ$ ⇒ Sum of two cosine waves?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$ $t_* = 0$, $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ ⇒ $x_{\rm max} =x(t_* + i \cdot T_0) = 1.5 \ {\rm V}=A_1 + A_2$.

(9) Now consider $\varphi_1 = \varphi_2 = 90^\circ$ ⇒ Sum of two sine waves?

$\hspace{1.0cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}$The maximum signal value is now $x_{\rm{max}} = 1.07 \ \rm V < A_1 + A_2$. This value results from $T_0 = 5.0 \ \rm ms$ and $t_* = 0.6 \ \rm ms$ or $t_* = 1.9 \ \rm ms$.

Applet Manual

Screenshot

(A) Parametereingabe per Slider

(B) Bereich der graphischen Darstellung

(C) Variationsmöglichkeit für die graphische Darstellung

(D) Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

(E) Numerikausgabe des Hauptergebnisses $T_0$; graphische Verdeutlichung durch rote Linie

(F) Ausgabe von $x_{\rm max}$ und der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

(G) Darstellung der Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$ durch grüne Punkte

(H) Einstellung der Zeit $t_*$ für die Signalwerte $x(t_*) = x(t_* + T_0)= x(t_* + 2T_0)$

Details zum obigen Punkt (C)

(*) Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

(*) Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

Andere Möglichkeiten:

(*) Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

(*) Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

About the Authors

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2004 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder ).
2017 wurde dieses Programm von David Jobst im Rahmen seiner Ingenieurspraxis (Betreuer: Tasnád Kernetzky) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet ⇒ Applet-Variante 1.
Parallel dazu erarbeitete Bastian Siebenwirth im Rahmen seiner Bachelorarbeit (Betreuer: Günter Söder) die HTML5-Variante 2.

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