Exercise 2.1: Linear? Or Non-Linear?

Interconnected system

We consider the sketched arrangement with input $x(t)$ and output $z(t)$:

The system $S_1$ is describable by the following equation:

$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$

Nothing else is known about the system $S_2$ with input $y(t)$ and output $z(t)$ .

The system $S_3$ is the interconnection of $S_1$ and $S_2$.

An oscillation with frequency $f_0 = 5 \ \rm kHz$ is applied to the input:

$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$

Hence, at the output of the overall system $S_3$ the following is obtained:

$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$

Please note:

The exercise belongs to the chapter Classification of Distortions.

The following trigonometric relation is given:

$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big[ 1 + \cos(2\alpha)\big].$$

Questions

Solution

(1) Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 t ) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \big].$$

Zum Zeitpunkt $t= 0$ tritt somit der Signalwert 6 V auf.

(2) Möglich sind die Alternativen 2 und 3:

Ein ideales System kommt wegen $z(t) ≠ x(t)$ nicht in Frage.
Bei nur einer Eingangsfrequenz $(f_0 = 5 \ \rm kHz)$ im Testsignal ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente mit $f \ne f_0$ ebenfalls um $\alpha = 0.5$ gedämpft und um $\tau = T_0/4 = 50 \ µ\rm s$ verzögert würde.
Ergäbe sich für die zweite Frequenz $\alpha = 0.5$ und $\tau = T_0/4 = 50 \ µ \rm s$, so könnte ein verzerrungsfreies System vorliegen.
Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente $\alpha \ne 0.5$ und/oder $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System linear verzerrend.
Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Der Beobachter würde erkennen, dass $S_2$ ein linear verzerrendes System ist.
Bei einem verzerrungsfreien System müsste $z(t)$ zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine $10 \ \rm kHz$–Komponente beinhalten,
bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile $($bei Vielfachen von $10 \ \rm kHz)$.

(4) In diesem Fall würde gelten:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \big].$$

Das heißt: $Y(f)$ würde Spektrallinien bei $f = 0$, $10 \ \rm kHz$ und $20 \ \rm kHz$ aufweisen.

Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit $f_0 = 5 \ \rm kHz$ hat aber gezeigt, dass $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$ gelten muss.
Die einzig mögliche Signalform ist somit

$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$

Möglich sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3, je nachdem, ob das System $S_2$ die Frequenz $20 \ {\rm kHz}$ unterdrückt oder durchlässt.

	$S_3$ is an ideal system.
	$S_3$ is a distortion-free system.
	$S_3$ is a linearly distorting system.
	$S_3$ is a non-linearly distorting system.

	$S_2$ ist ein verzerrungsfreies System.
	$S_2$ ist ein linear verzerrendes System.
	$S_2$ ist ein nichtlinear verzerrendes System.

	Das Signal $z(t)$ ist für alle Zeiten Null.
	Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$
	Ein Signal der Form $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$