View source for Aufgaben:Exercise 2.4: GF(2 to the Power of 2) Representation Forms

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[[File:P_ID2507__KC_A_2_4_neu.png|right|frame|Drei Darstellungen für &nbsp;${\rm GF}(2^2)$]]
Nebenstehend sehen Sie für den Erweiterungskörper&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; die Additions&ndash; sowie die Multiplikationstabelle in drei verschiedenen Varianten:
* die Polynomdarstellung,
* die Koeffizientenvektordarstellung,
* die Exponentendarstellung.






''Hinweise:''
* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Channel_Coding/Erweiterungsk%C3%B6rper|Erweiterungskörper]].
* Alle notwendigen Informationen zu&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$&nbsp; finden Sie auf der&nbsp; [[Channel_Coding/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|ersten Seite]]&nbsp; dieses Kapitels.
* In der Teilaufgabe '''(4)''' werden folgende Ausdrücke betrachtet:
:$$A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3,$$
:$$B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3).$$




===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Welche Charakteristika erkennt man aus der Polynomdarstellung?
|type="[]"}
+ Die Elemente&nbsp; $\alpha$&nbsp; und&nbsp; $1 + \alpha$&nbsp; sind weder&nbsp; $0$&nbsp; noch&nbsp; $1$.
+ Die Rechenoperationen erfolgen modulo&nbsp; $2$.
- Die Rechenoperationen erfolgen modulo&nbsp; $4$.
- Man erkennt das Ergebnis&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; aus der Additionstabelle.
+ Man erkennt das Ergebnis&nbsp; $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$&nbsp; aus der Multiplikationstabelle.

{Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor&ndash; und der Polynomdarstellung? Es gelte&nbsp; $k_0 &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; und&nbsp; $k_1 &#8712; \{0, \, 1\}$.
|type="()"}
- $(k_0 \ k_1)$&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
+ $(k_1 \ k_0)$&nbsp; bezieht sich auf das Element&nbsp; $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
- Zwischen beiden Darstellungen besteht keinerlei Zusammenhang.

{Wie hängen Polynom&ndash; und Exponentendarstellung zusammen?
|type="[]"}
- Es sind keine Zusammenhänge erkennbar.
+ Die Elemente&nbsp; $0, \ 1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha$&nbsp; sind in beiden Darstellungen gleich.
+ Das Element&nbsp; $1 + \alpha$&nbsp; lautet in der Exponentendarstellung&nbsp; $\alpha^2$.
- Das Element&nbsp; $\alpha^2$&nbsp; der Exponentendarstellung steht für&nbsp; $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.

{Berechnen Sie die Ausdrücke&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?
|type="[]"}
+ Es gilt&nbsp; $A = z_0$,
- Es gilt&nbsp; $A = z_2$,
+ Es gilt&nbsp; $B = z_1$,
- Es gilt&nbsp; $B = z_3$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>. 

Begründung:
* Wäre $\alpha = 0$ oder $\alpha = 1$, so wäre das Pseudoelement $\alpha$ nicht mehr unterscheidbar von den beiden anderen ${\rm GF}(2)$&ndash;Elementen $0$ und $1$.
* Die Modulo&ndash;$2$&ndash;Rechnung erkennt man aus der Additionstabelle. Beispielsweise gilt $1 + 1 = 0, \ \alpha + \alpha = 0, \ (1 + \alpha) + (1 + \alpha) = 0$, usw.
* Aus der Multiplikationstabelle geht hervor, dass $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt (3. Zeile, 3. Spalte). Damit gilt auch 
:$$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0.$$



'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 2</u>. So steht 
*"$01$" für das Element "$1$" und 
*"$10$" für das Element "$\alpha$".



'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: 
*Es gilt $\alpha^0 = 1$ und $\alpha^1 = \alpha$. 
*Bei dem zugrundeliegenden Polynom $p(x) = x^2 + x + 1$ folgt aus $p(\alpha) = 0$ weiterhin:
:$$\alpha^2 +\alpha + 1 = 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^2 =\alpha + 1 \hspace{0.05cm}.$$



'''(4)'''&nbsp; Entsprechend den Tabellen der Polynomdarstellung gilt:
:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 =  \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot (1+\alpha) + (1+\alpha) \cdot (1+\alpha) = (1+\alpha) + (1) + (\alpha) = 0 = z_0
 \hspace{0.05cm},$$
:$$ B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3) =  (0 + 1 + \alpha) \cdot (0 + 1 + 1+ \alpha) = (1+\alpha) \cdot \alpha = 1 = z_1
 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. 

Zu den gleichen Ergebnissen kommt man mit der Koeffizientenvektordarstellung:
:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = (10) \cdot (10) + (10) \cdot (11) + (11) \cdot (11) = (11) + (01) + (10) = (00) = 0 = z_0
 \hspace{0.05cm},$$
:$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3)  =  [(00) + (01) + (10)]  \cdot [(00) + (01) + (11)] =(11) \cdot (10) = (01) = z_1
 \hspace{0.05cm}.$$

Und schließlich mit der Exponentendarstellung:
:$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = \alpha^1 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^2 =
 \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 =  \alpha^2 + \alpha^0 + \alpha^1 = 0 = z_0
 \hspace{0.05cm},$$
:$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(z_0 +  z_1 + z_2) \cdot (z_0 +  z_1 + z_3)  =  [0 + \alpha^0 + \alpha^1]  \cdot [0 + \alpha^0 + \alpha^2] = \alpha^2 \cdot \alpha^1 = \alpha^3 = \alpha^0 = z_1
 \hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}



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