Exercise 2.6Z: Synchronous Demodulator

Das dargestellte Blockschaltbild zeigt ein Übertragungssystem mit Amplitudenmodulation (AM) und Synchrondemodulator (SD). Das Quellensignal bestehe aus zwei harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen f₂ = 2 kHz und f₅ = 5 kHz:

$$q(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(\omega_2 t )+ {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(\omega_5 t ) .$$

Dieses Signal wird bei AM mit dem dimensionslosen Trägersignal z(t) = cos(ω_T · t) der Trägerfrequenz f_T = 50 kHz multipliziert. Bei Zweiseitenbandmodulation (ZSB–AM) ist der gestrichelt eingezeichnete Block unerheblich, so dass für das Sendesignal gilt:

$$s(t) = q(t) \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t ) .$$

Im Synchrondemodulator wird das Empfängersignal r(t), das bei idealem Kanal identisch mit s(t) ist, mit dem empfangsseitigem Trägersignal z_E(t) multipliziert, wobei gilt:

$$z_{\rm E}(t) = K \cdot {\rm cos}(\omega_{\rm T} t - \Delta \varphi ) .$$

Dieses Signal sollte nicht nur frequenzsynchron mit z(t) sein, sondern auch phasensynchron – daher der Name „Synchrondemodulator”. Der obige Ansatz berücksichtigt einen Phasenversatz Δφ zwischen z(t) und z_E(t), der idealerweise 0 sein sollte, sich bei realen Systemen aber oft nicht vermeiden lässt.

Das Ausgangssignal b(t) des zweiten Multiplizierers beinhaltet neben dem gewünschten NF-Anteil auch Anteile um die doppelte Trägerfrequenz. Durch einen idealen Tiefpass – z.B. mit der Grenzfrequenz f_T – lässt sich das Sinkensignal υ(t) gewinnen, das im Idealfall gleich dem Quellensignal q(t) sein sollte.

Die Multiplikation beim Sender mit dem Trägersignal z(t) führt im Allgemeinen zu zwei Seitenbändern. Bei der Einseitenbandmodulation (ESB–AM) wird nur eines der beiden Bänder übertragen, zum Beispiel das untere Seitenband (USB). Damit erhält man bei idealem Kanal:

$$r(t) = s(t)= {1 \, \rm V} \cdot {\rm cos}((\omega_{\rm T} - \omega_2 )t ) - {0.5 \, \rm V} \cdot {\rm sin}((\omega_{\rm T} - \omega_5 )t ) .$$

Hier führt die Synchrondemodulation unter Berücksichtigung eines Phasenversatzes Δφ, der Konstante <nobr>K = 4</nobr> sowie des nachgeschalteten Tiefpasses zu folgendem verfälschten Sinkensignal:

$$v(t)= {1 \, \rm V} \cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot{\rm cos}( \omega_2 t - \Delta \varphi)+ {0.5 \, \rm V} \cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot{\rm sin}( \omega_5 t - \Delta \varphi)$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}v(t)= {2 \, \rm V} \cdot{\rm cos}( \omega_2 t - \Delta \varphi)+ {1 \, \rm V} \cdot{\rm sin}( \omega_5 t - \Delta \varphi)$$

Im Idealfall phasensynchroner Demodulation (Δφ = 0) gilt wieder

$$v(t) = q(t).$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.3 in diesem Buch. Die Thematik „Amplitudenmodulation/Synchrondemodulator” wird im Buch „Modulationsverfahren” noch ausführlich diskutiert werden.

Gegeben sind die folgenden trigonometrischen Zusammenhänge:

$$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left [ 1 + \cos(2\alpha) \right ] \hspace{0.05cm}, \\ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \right] \\ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \right] \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Falsch
	Richtig