Exercise 3.11: Viterbi Receiver and Trellis Diagram

Trellis diagram for a precursor

The Viterbi receiver allows a low-effort realization of the maximum likelihood decision rule. It contains the system components listed below:

a matched filter adapted to the basic transmission pulse with frequency response $H_{\rm MF}(f)$ and output signal $m(t)$,
a sampler spaced at the symbol duration (bit duration) $T$, which converts the continuous-time signal $m(t)$ into the discrete-time sequence $〈m_{\rm \nu}〉$,
a decorrelation filter with frequency response $H_{\rm DF}(f)$ for removing statistical ties between the noise components of the sequence $〈d_{\rm \nu}〉$,
the Viterbi decision, which uses a trellis-based algorithm to obtain the sink symbol sequence $〈v_{\rm \nu}〉$.

The graph shows the simplified trellis diagram of the two states "$0$" and "$1$" for time points $\nu ≤ 5$. This diagram is obtained as a result of evaluating the two minimum total error quantities ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(0)$ and ${\it \Gamma}_{\rm \nu}(1)$ corresponding to "Exercise 3.11Z".

Notes:

The exercise belongs to the chapter "Viterbi Receiver".
Reference is also made to the section "MAP and Maximum–Likelihood decision rule".

All quantities here are to be understood normalized. Also assume unipolar and equal probability amplitude coefficients: ${\rm Pr} (a_\nu = 0) = {\rm Pr} (a_\nu = 1)= 0.5.$
The topic is also covered in the interactive applet "Properties of the Viterbi Receiver".

Questions

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

Das Signal $m(t)$ nach dem Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ weist das größtmögliche Signal–zu–Störleistungsverhältnis auf.
Die Störanteile der Folge $〈m_{\rm \nu}〉$ sind aber aufgrund der spektralen Formung (stark) korreliert.
Aufgabe des zeitdiskreten Dekorrelationsfilters mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f)$ ist es, diese Bindungen aufzulösen, weshalb für $H_{\rm DF}(f)$ auch der Name "Whitening–Filter" verwendet wird.
Dies ist allerdings nur auf Kosten einer erhöhten Störleistung möglich ⇒ der letzte Lösungsvorschlag trifft demnach nicht zu.

(2) Die beiden bei $\underline {\nu = 1}$ ankommenden Pfeile sind jeweils blau gezeichnet und kennzeichnen das Symbol $a_1 = 0$. Somit ist bereits zu diesem Zeitpunkt das Ausgangssymbol $a_1$ festgelegt. Ebenso stehen die Symbole $a_3 = 1$ und $a_5 = 0$ bereits zu den Zeitpunkten $\underline {\nu = 3}$ bzw. $\underline {\nu = 5}$ fest.

Dagegen ist zum Zeitpunkt $\nu = 2$ eine Entscheidung bezüglich des Symbols $a_2$ nicht möglich.

Unter der Hypothese, dass das nachfolgende Symbol $a_3 = 0$ sein wird, würde sich Symbol $a_2 = 1$ ergeben (bei "$0$" kommt ein roter Pfad an, also von "$1$" kommend).
Dagegen führt die Hypothese $a_3 = 1$ zum Ergebnis $a_2 = 0$ (der bei "$1$" ankommende Pfad ist blau).

Ähnlich verhält es sich zum Zeitpunkt $\nu = 4$.

(3) Aus den durchgehenden Pfaden bei $\nu = 5$ ist ersichtlich:

$$a_{1}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a_{2}\hspace{0.15cm}\underline { =0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a_{3}\hspace{0.15cm}\underline {=1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a_{4}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} a_{5}\hspace{0.15cm}\underline {=0} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Richtig ist nur die zweite Aussage:

Da die Quellensymbole "$0$" und "$1$" als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt wurden, ist der ML–Empfänger (Viterbi) identisch mit dem MAP–Empfänger.
Ein Schwellenwertentscheider (der zu jedem Takt eine symbolweise Entscheidung trifft) hat nur dann die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie der Viterbi–Empfänger, wenn es keine Impulsinterferenzen gibt.
Dies ist hier offensichtlich nicht der Fall, sonst müsste zu jedem Zeitpunkt $\nu$ eine endgültige Entscheidung getroffen werden können.
Die erste Aussage trifft ebenfalls nicht zu. Das würde nämlich bedeuten, dass der Viterbi–Empfänger bei Vorhandensein von statistischem Rauschen die Fehlerwahrscheinlichkeit $0$ haben kann. Dies ist aus informationstheoretischen Gründen nicht möglich.

	$\nu = 1,$
	$\nu = 2,$
	$\nu = 3,$
	$\nu = 4,$
	$\nu = 5.$

	The matched filter $H_{\rm MF}(f)$ is mainly used for noise power limitation.
	The decorrelation filter removes ties between samples.
	The noise power is only affected by $H_{\rm MF}(f)$, not by $H_{\rm DF}(f)$.

	Es ist sicher, dass die erkannte Folge auch gesendet wurde.
	Ein MAP–Empfänger hätte die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit.
	Schwellenwertentscheidung ist gleich gut wie dieser Maximum–Likelihood–Empfänger.