Exercise 3.1Z: Influence of the Message Phase in Phase Modulation

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Two PM signal waveforms

We will now consider the phase modulation of diverse oscillations

$$ q(t) = \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm}.$$

The source signal is represented here in normalized form with $($amplitude  $1)$ , so that the phase-modulated signal can be characterised by the modulation index (or phase deviation)  $η$  as follows:

$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.1cm}\big[\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot q(t) \big]\hspace{0.05cm}.$$

• The signal  $s_1(t)$  shown in the upper graph is characterized by the paramet values  $ϕ_{\rm N} = -90^\circ$  und  $η_1 = 2$ .
• The frequency  $f_{\rm N}$  of this sinusoidal source signal as well as the carrier frequency  $f_{\rm T}$  can be determined from the signal section of duration  $200 \ \rm µ s$  represented here.

• The signal  $s_2(t)$  possibly differs from  $s_1(t)$  due to a different message phase  $ϕ_{\rm N}$  and modulation index  $η$.  All other system parameters are unchanged from  $s_1(t)$ .

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Phase Modulation.
• Particular reference is made to the page Signal characteristics of phase modulation.

Questions

1

Find the frequency  $f_{\rm N}$  of the message signal.

$f_{\rm N} \ = \ $ $\ \rm kHz$

2

What is the carrier frequency $f_{\rm T}$?

$f_{\rm T} \ = \ $ $\ \rm kHz$

3

What is the maximum phase deviation  $ϕ_{\rm max}$  between  $z(t)$  and  $s(t)$?

$ϕ_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm rad$

4

What is the maximum time shift of the zero crossings that this phase results in?

$Δt_{\rm max} \ = \ $ $\ \rm µ s$

5

Determine the modulation index  $η_2$  for the signal  $s_2(t)$.

$η_2 \ = \ $

6

What is the phase  $ϕ_{\rm N2}$  of the underlying source signal  $q(t)$ for  $s_2(t)$ ?

$ϕ_{\rm N2} \ = \ $ $\ \rm Grad$

Musterlösung

Solution

(1)  Man erkennt aus der Skizze, dass der dargestellte Signalausschnitt der Dauer  $200 \ \rm µ s$  genau der Periodendauer des sinusförmigen Quellensignals entsprechen muss.  Daraus folgt  $f_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \ \rm kHz}$.

• Zu den Zeitpunkten  $t = 0$,  $t = 100 \ \rm µ s$  und  $t = 200 \ \rm µ s$  sind die Signale  $z(t)$  und  $s(t)$  phasensynchron.
• In der ersten Halbwelle von  $q(t)$  kommen die Nulldurchgänge von  $s(t)$  etwas früher als die des Trägersignals  $z(t)$   ⇒   positive Phase.
• Dagegen ist im Bereich von  $t = 100 \ \rm µ s$  bis  $t = 200 \ \rm µ s$  die Phase  $ϕ(t) < 0$.

(2)  Es gilt  $f_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm kHz}$,

• da im dargestellten  $z(t)$–Signalausschnitt der Dauer  $200 \ \rm µ s$  genau  $10$  Perioden abgezählt werden können.

(3)  Die maximale relative Phasenabweichung beträgt  $ϕ_{\rm max} = η_1/(2π)\hspace{0.15cm}\underline{ ≈ 0.318}$.

(4)  Da die Periodendauer des Trägers  $T_0 = 20 \ \rm µ s$  ist, erhält man  $Δt_{\rm max} = ϕ_{\rm max} ·T_0\hspace{0.15cm}\underline{ ≈ 6.37 \ \rm µ s}$.

(5)  Die maximale Phasenabweichung (Verschiebung der Nulldurchgänge) ist bei  $s_2(t)$  genau so groß wie bei  $s_1(t)$. 

• Daraus kann auf  $η_2 = η_1\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$  geschlossen werden.

(6)  Das Signal  $s_2(t)$  ist gegenüber  $s_1(t)$  um  $25 \ \rm µ s$  nach rechts verschoben.  Deshalb muss auch für die Quellensignale gelten:

$$ q_2(t) = q_1(t - 25\,{\rm \mu s}) = \cos \hspace{-0.1cm} \big[2 \pi f_{\rm N} (t - 25\,{\rm \mu s}) \big ] = \cos (\omega_{\rm N} \cdot t - 0.75 \cdot \pi)\hspace{0.05cm}.$$

• Dies entspricht der Phasenlage  $ϕ_{\rm N2}\hspace{0.15cm}\underline{ = -135^\circ}$.