Exercise 3.7Z: Partial Fraction Decomposition

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P ID1789 LZI Z 3 7.png
In der Grafik sind durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme HL(p) vier verschiedene Vierpole gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl Z der Nullstellen gleich der Anzahl N der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils K = 1.
Im Sonderfall Z = N kann zur Berechnung der Impulsantwort h(t) der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) \hspace{0.05cm}$$
vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.05cm},$$
wobei h'(t) die Laplace–Transformierte von HL'(p) angibt, bei der die Bedingung Z' < N' erfüllt ist.
Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte Allpässe. Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung |H(f)| = 1  ⇒ a(f) = 0 erfüllt. In der Aufgabe Z3.4 ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.
Weiterhin soll in dieser Aufgabe die p–Übertragungsfunktion
$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2} \hspace{0.05cm}$$
näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters A durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 3.3.


Fragebogen

1

Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?

Konfiguration (1),
Konfiguration (2),
Konfiguration (3),
Konfiguration (4).

2

Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion HL(5)(p)?

Konfiguration (1),
Konfiguration (2),
Konfiguration (3),
Konfiguration (4).

3

Berechnen Sie die Funktion HL'(p) nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration (1). Geben Sie den Funktionswert für p = 0 ein.

$Diagramm\ (1):\ \ H_L'(P = 0)$ =

4

Berechnen Sie HL'(p) für Konfiguration (2). Welche Aussagen treffen hier zu?

HL'(p) besitzt die gleichen Nullstellen wie HL(p).
HL'(p) besitzt die gleichen Polstellen wie HL(p).
Der konstante Faktor von HL'(p) ist K' = 8.

5

Berechnen Sie HL'(p) für Konfiguration (3). Welche Aussagen treffen hier zu?

HL'(p) besitzt die gleichen Nullstellen wie HL(p).
HL'(p) besitzt die gleichen Polstellen wie HL(p).
Der konstante Faktor von HL'(p) ist K' = 8.

6

Berechnen Sie HL'(p) für Konfiguration (4). Welche Aussagen treffen hier zu?

HL'(p) besitzt die gleichen Nullstellen wie HL(p).
HL'(p) besitzt die gleichen Polstellen wie HL(p).
Der konstante Faktor von HL'(p) ist K' = 8.


Musterlösung

1.  Nach den in der Aufgabe Z3.4 angegebenen Kriterien liegt dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle px = – A + j · B in der linken p–Halbebene eine entsprechende Nullstelle po = A + j · B in der rechten Halbebene gibt. Mit K = 1 ist dann die Dämpfungsfunktion a(f) = 0 Np  ⇒  |H(f)| = 1. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden Konfigurationen (1) und (2) genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.
2.  Die Übertragungsfunktion HL(5)(p) wird ebenso durch die Konfiguration (4) beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2} =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}=\\ = \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2 }= H_{\rm L}^{(4)}(p) \hspace{0.05cm}.$$
Die beiden Nullstellen liegen bei po = 0, der doppelte Pol bei px = –A = –2.
3.  Für die Konfiguration (1) gilt:
$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0) =2} \hspace{0.05cm}.$$
4.  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration (2):
$$H_{\rm L}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm}\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}= \frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=\\ = \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 -4\cdot p +8}=1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8 \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge im Gegensatz zur Aussage 1. Während HL(p) zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist, besitzt HL'(p) nur eine einzige Nullstelle bei p = 0.
5.  Für die Konfiguration (3) gilt:
$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8} = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)} \hspace{0.05cm}.$$
Die Nullstelle von HL'(p) liegt nun bei p = –2, die Konstante ist K' = 4 ⇒ richtig ist hier nur Aussage 2.
6.  Schließlich gilt für die Konfiguration (4):
$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4} = 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4 \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist auch hier der Lösungsvorschlag 2. Allgemein lässt sich sagen: Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert. Die Pole von HL'(p) sind dagegen stets identisch mit denen von HL(p).