Digital Signal Transmission/Burst Error Channels

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Channel model according to Gilbert-Elliott

This channel model, which goes back to  "E. N. Gilbert"  [Gil60]  and  E. O. Elliott  [Ell63],  is suitable for describing and simulating digital transmission systems with burst error characteristics.

Gilbert-Elliott channel model with two states

The  Gilbert–Elliott model  (abbreviation: GE model) can be characterized as follows:

• The different transmission quality at different times is expressed by a finite number  $g$  of channel states  $(Z_1, Z_2,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, Z_g)$. 
  

• The in reality smooth transitions of the noise intensity – in the extreme case from completely error-free transmission to total failure – are approximated in the GE model by fixed probabilities in the individual channel states.
  

• The transitions between the  $g$  states occur according to a  "Markov process"  (1st order) and are characterized by  $g \cdot (g-1)$  transition probabilities. Together with the  $g$  error probabilities in the individual states, there are thus  $g^2$  free model parameters.
  

• For reasons of mathematical manageability, one usually restricts oneself to  $g = 2$  states and denotes these with  $\rm G$  ("GOOD") and  $\rm B$  ("BAD"). Mostly, the error probability in state  $\rm G$  will be much smaller than in state  $\rm B$.
  

• In what follows, we use these two error probabilities  $p_{\rm G}$  and  $p_{\rm B}$, where  $p_{\rm G} < p_{\rm B}$  should hold, as well as the transition probabilities  ${\rm Pr}({\rm B}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm G})$  and  ${\rm Pr}({\rm G}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{\rm B})$. This also determines the other two transition probabilities:

\[{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 1 - {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G), \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = 1 - {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)\hspace{0.05cm}.\]

Example GE error sequence

$\text{Example 1:}$  We consider the GE model with the parameters

$$p_{\rm G} = 0.01,$$

$$p_{\rm B} = 0.4,$$

$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B) = 0.1, $$

$$ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

The underlying model is shown at the end of the example with the parameters given here.

The upper graphic shows a (possible) error sequence of length  $N = 800$. If the GE model is in the "BAD" state, this is indicated by the gray background.

To simulate such a GE error sequence, switching is performed between the states "GOOD" and "BAD" according to the four transition probabilities.

• At the first clock call, the selection of the state is expediently done according to the probabilities  $w_{\rm G}$  and  $w_{\rm B}$, as calculated below.
  
• At each clock cycle exactly one element of the error sequence  $ \langle e_\nu \rangle$  is generated according to the current error probability  $(p_{\rm G}$  or  $p_{\rm B})$. 
• The  "error distance simulation"  is not applicable here, because in the GE model a state change is possible after each symbol (and not only after an error).

The probabilities that the Markov chain is in the "GOOD" or "BAD" state can be calculated from the assumed homogeneity and stationarity. One obtains with the above numerical values:

\[w_{\rm G} = {\rm Pr(in\hspace{0.15cm} state \hspace{0.15cm}G)}= \frac{ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B)}{ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.1}{0.1 + 0.01} = {10}/{11}\hspace{0.05cm},\]

\[w_{\rm B} = {\rm Pr(in\hspace{0.15cm} state \hspace{0.15cm}B)}= \frac{ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G)}{ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G)} = \frac{0.11}{0.1 + 0.01} = {1}/{11}\hspace{0.05cm}.\]

Considered GE model

These two state probabilities can also be used to determine the average error probability of the GE model:

\[p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}({\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B)}+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G)}{ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G)} \hspace{0.05cm}.\]

In particular, for the model considered here as an example:

\[p_{\rm M} ={10}/{11} \cdot 0.01 +{1}/{11} \cdot 0.4 = {1}/{22} \approx 4.55\%\hspace{0.05cm}.\]

Error distance distribution of the GE model

Error distance distribution of GE and BSC model

In  [Hub82]  you can find the analytical computations

• of the probability of the error distance  $k$:

\[{\rm Pr}(a=k) = \alpha_{\rm G} \cdot \beta_{\rm G}^{\hspace{0.05cm}k-1} \cdot (1- \beta_{\rm G}) + \alpha_{\rm B} \cdot \beta_{\rm B}^{\hspace{0.05cm}k-1} \cdot (1- \beta_{\rm B})\hspace{0.05cm},\]

• the  "error distance distribution":

\[V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = \alpha_{\rm G} \cdot \beta_{\rm G}^{\hspace{0.05cm}k-1} + \alpha_{\rm B} \cdot \beta_{\rm B}^{\hspace{0.05cm}k-1} \hspace{0.05cm}.\]

The following auxiliary quantities are used here:

\[u_{\rm GG} ={\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it u}_{\rm GB} ={\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm} \rm G}) \hspace{0.05cm},\]

\[u_{\rm BB} ={\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.29cm} {\it u}_{\rm BG} ={\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B})\hspace{0.05cm}\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \beta_{\rm G} =\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2} \hspace{0.05cm},\]

\[\hspace{0.8cm}\beta_{\rm B} =\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm}.\]

\[x_{\rm G} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_{\rm G} = \frac{(w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.\]

The given equations are the result of extensive matrix operations.

The upper graph shows the error distance distribution (EDD) of the GE model (red curve) in linear and logarithmic representation for the parameters

$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) = 0.001 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$

For comparison, the corresponding  $V_a(k)$ curve for the BSC model with the same mean error probability  $p_{\rm M} = 4.5\%$  is also plotted as a blue curve.

Error correlation function of the GE model

For the  "error correlation function"  (ECF) of the GE model with

• the mean error probability  $p_{\rm M}$,
• the transition probabilities  ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )$ and ${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )$  as well as
• the error probabilities  $p_{\rm G}$  and  $p_{\rm B}$  in the two states  $\rm G$  and  $\rm B$

we obtain after extensive matrix operations the relatively simple expression

\[\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_\nu \cdot e_{\nu +k}\big] = \left\{ \begin{array}{c} p_{\rm M} \\ p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) (p_{\rm M} - p_{\rm G}) [1 - {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^k \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm or }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm or }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}\]

For the GE model,  $\varphi_{e}(k)$  must always be calculated according to this equation. The iterative calculation algorithm

$$\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot \varphi_{e}(k - \kappa) $$

which is only valid for "renewing models", cannot be applied here, since the GE model is not renewing   ⇒   The error distances are not statistically independent of each other here.

Error correlation function of "GE" (circles) and "BSC" (crosses)

The graph shows an example of the ECF curve of the GE model marked with red circles. One can see from this representation:

• While for the memoryless channel (BSC model, blue curve) all ECF values are  $\varphi_{e}(k \ne 0)= p_{\rm M}^2$  for the burst error channel the ECF values approach this final value much more slowly.
  
• At the transition from  $k = 0$  to  $k = 1$  a certain discontinuity occurs. While  $\varphi_{e}(k = 0)= p_{\rm M}$,  the second equation valid for  $k > 0$  yields the following extrapolated value for  $k = 0$: 

\[\varphi_{e0} = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G})\hspace{0.05cm}.\]

• A quantitative measure of the length of the statistical ties is the correlation duration  $D_{\rm K}$, which is generally defined as the width of an equal-area rectangle of height  $\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2$: 

\[D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1 }^{\infty}\hspace{0.1cm} \big[\varphi_{e}(k) - p_{\rm M}^2\big ]\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Conclusion:}$  In the Gilbert–Elliott model, the correlation term is given by the simple, analytically expressible expression

\[D_{\rm K} =\frac{1}{ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G )}-1 \hspace{0.05cm}.\]

• $D_{\rm K}$  is larger the smaller  ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} G )$  and  ${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$  are, i.e., when state changes occur rarely.
• For the BSC model   ⇒   $p_{\rm B}= p_{\rm G} = p_{\rm M}$   ⇒   $D_{\rm K} = 0$ this equation is not applicable.

Channel model according to McCullough

The main disadvantage of the GE model is that it does not allow error distance simulation. As will be worked out in  "Exercise 5.5",  this has great advantages over the symbol-wise generation of the error sequence  $\langle e_\nu \rangle$  in terms of computational speed and memory requirements.

McCullough  [McC68]  modified the model developed three years earlier by Gilbert and Elliott so that an error distance simulation in the two states "GOOD" and "BAD" is applicable in each case by itself. The graph below shows McCullough's model, hereafter referred to as the  MC model,  while the GE model is shown above after renaming the transition probabilities   ⇒   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,  ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,  etc.

Channel models according to Gilbert-Elliott (top) and McCullough (bottom)

There are many similarities and a few differences between the two models:

• Like the Gilbert–Elliott model, the McCullough channel model is based on a first-order Markov process  with the two states "GOOD"  $(\rm G)$  and "BAD"  $(\rm B)$. No difference can be found with respect to the model structure.
  

• The main difference to the GE model is that a change of state between "GOOD" and "BAD" is only possible after an error – i.e. a "$1$" in the error sequence. This enables a error distance simulation.
  

• The four freely selectable GE parameters  $p_{\rm G}$,  $p_{\rm B}$,  ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$  and  ${\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$  can – as shown on the next section – be converted into the MC parameters  $q_{\rm G}$,  $q_{\rm B}$,  ${\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$  and  ${\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$  in such a way that a error sequence with the same statistical properties as in the GE model is generated.
  

• For example,  ${\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$  denotes the transition probability from the "GOOD" state to the "BAD" state under the condition that an error has just occurred in the "GOOD" state. The GE parameter  ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$  characterizes this transition probability without this additional condition.
  

$\text{Example 2:}$  The figure above shows an exemplary error sequence of the GE model with the parameters  $p_{\rm G} = 0.01$,  $p_{\rm B} = 0.4$,  ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.01$,  ${\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.1$. It can be seen that, in contrast to the lower MC sequence, a change of state from "GOOD" (without background) to "BAD" (gray background) and vice versa is possible at any time  $\nu$  – i.e. even when  $e_\nu = 0$. 

Error sequence of the GE model (top) and the MC model (bottom)

$\text{Conclusion:}$  The correlations between the two models can be summarized as follows:

• In the error sequence of the McCullough model shown in the example below, in contrast to the upper sequence, a change of state at time  $\nu$  is only possible at  $e_\nu = 1$.  The last error value before a gray background is always a "$1$".
  

• This has the advantage that one does not have to generate the errors "step–by–step" in an error sequence simulation, but can use the faster error distance simulation   ⇒   see  "Exercise 5.5".
  

• The parameters of the GE model can be converted into corresponding MC parameters in such a way that the two models are equivalent   ⇒   see next section. That means:   The MC error sequence has exactly the same statistical properties  as the GE error sequence. However, it does not mean that both error sequences are identical.

Conversion of the GE parameters into the MC parameters

The parameters of the equivalent MC model can be calculated from the GE parameters as follows:

\[q_{\rm G} =1-\beta_{\rm G}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.9cm}q_{\rm B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.9cm}q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) =\frac{\alpha_{\rm B} \cdot[{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.9cm} q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) = \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.\]

Here again the following auxiliary quantities are used:

\[u_{\rm GG} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\rm G}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it u}_{\rm GB} ={\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm} \rm G}) \hspace{0.05cm},\]

\[u_{\rm BB} = {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.29cm} {\it u}_{\rm BG} ={\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm B})\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \beta_{\rm G} = \frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.9cm}\beta_{\rm B} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm}.\]

\[x_{\rm G} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_{\rm G} = \frac{(w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.9cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Example 3:}$  As in  $\text{Example 2}$,  the GE parameters are:

$$p_{\rm G} = 0.01, \hspace{0.5cm} p_{\rm B} = 0.4, \hspace{0.5cm} p(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.01, \hspace{0.5cm} {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.1.$$

Applying the above equations, we then obtain for the equivalent MC parameters:

$$q_{\rm G} = 0.0186, \hspace{0.5cm} q_{\rm B} = 0.4613, \hspace{0.5cm} q(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.3602, \hspace{0.5cm} {\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.2240.$$

• If we compare in $\text{Example 2}$ the red error sequence (GE, change of state is always possible) with the blue sequence (equivalent MC, change of state only at  $e_\nu = 1$), we can see quite serious differences.
• But the blue error sequence of the equivalent McCullough model has exactly the same statistical properties as the red error sequence of the Gilbert-Elliott model.

The conversion of the GE parameters to the MC parameters is illustrated in  "Exercise 5.7"  using a simple example.   "Exercise 5.7Z"  further shows how the mean error probability, the error distance distribution, the error correlation function and the correlation duration of the MC model can be determined directly from the  $q$ parameters.

Burst error channel model according to Wilhelm

This model goes back to  "Claus Wilhelm"  and was developed from the mid-1960s onwards from empirical measurements of temporal consequences of bit errors. It is based on thousands of measurement hours in transmission channels from  $\text{200 bit/s}$  with analog modem up to  $\text{2.048 Mbit/s}$  via  "ISDN". Likewise, marine radio channels up to  $7500$  kilometers in the shortwave range were measured.

Exemplary function curves  $p_{\rm B}(n)$

Aufgezeichnet wurden Blöcke der Länge  $n$. Daraus wurde die jeweilige Blockfehlerrate  $h_{\rm B}(n)$  ermittelt.

• Ein Blockfehler liegt bereits dann vor, wenn auch nur eines der  $n$  Symbole verfälscht wurde.
• Wohl wissend, dass die Blockfehlerrate  $h_{\rm B}(n)$  nur für  $n \to \infty$  exakt mit der Blockfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  übereinstimmt, setzen wir bei der folgenden Beschreibung  $p_{\rm B}(n) \approx h_{\rm B}(n)$.
  

Bei einer Vielzahl von Messungen wurde immer wieder die Tatsache bestätigt, dass der Verlauf  $p_{\rm B}(n)$  in doppelt–logarithmischer Darstellung im unteren Bereich lineare Anstiege aufweisen (siehe Grafik). Es gilt also für  $n \le n^\star$:

\[{\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm B}(n) = {\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm S} + \alpha \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}n\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}\hspace{0.05cm}.\]

Hierbei bezeichnet  $p_{\rm S} = p_{\rm B}(n=1)$  die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die empirisch gefundenen Werte von  $\alpha$  liegen zwischen  $0.5$  und  $0.95$. Für  $1-\alpha$  wird auch die Bezeichnung Bündelungsfaktor  verwendet.

Beachten Sie bitte, dass  $p_{\rm B}(n)$  die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angibt. In anderem Zusammenhang bezeichnet in unserem Lerntutorial  $p_{\rm B}$  manchmal auch die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

$\text{Beispiel 4:}$  Beim BSC–Modell gilt für den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

\[p_{\rm B}(n) =1 -(1 -p_{\rm S})^n \approx n \cdot p_{\rm S}\hspace{0.05cm}.\]

Daraus folgt  $\alpha = 1$  bzw. der Bündelungsfaktor  $1-\alpha = 0$. In diesem Fall (und nur in diesem) ergibt sich auch bei nicht–logarithmischer Darstellung ein linearer Verlauf.

• Zu beachten ist, dass obige Näherung nur für  $p_{\rm S} \ll 1$  und nicht allzu großes  $n$  zulässig ist, da sonst die Näherung  $(1-p_{\rm S})^n \approx1 - n \cdot p_{\rm S}$  nicht anwendbar ist.
• Das heißt aber auch, dass die oben angegebene Gleichung auch nur für einen unteren Bereich $($für  $n < n^\star)$  gilt.
• Ansonsten würde sich für  $n \to \infty$  eine unendlich große Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergeben.

$\text{Definition:}$  Für die aus Messungen empirisch bestimmte Funktion  $p_{\rm B}(n)$  muss nun die Fehlerabstandsverteilung gefunden werden, aus der der Verlauf für  $n > n^\star$  extrapoliert werden kann, der die folgende Nebenbedingung erfüllt:

\[\lim_{n \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \infty} p_{\rm B}(n) = 1 .\]

Wir bezeichnen diesen Ansatz als Wilhelm–Modell. Da das Gedächtnis nur bis zum letzten Symbolfehler reicht, ist dieses Modell erneuernd (englisch: Renewal Model).

Fehlerabstandsbetrachtung zum Wilhelm–Modell

Wir betrachten nun die  Fehlerabstände. Eine Fehlerfolge  $\langle e_\nu \rangle$  kann in äquivalenter Weise durch die Fehlerabstandsfolge  $\langle a_{\nu\hspace{0.06cm}'} \rangle$  dargestellt werden, wie in der folgenden Grafik gezeigt. Man erkennt:

Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge

• Die Fehlerfolge  $\text{...}\rm 1001\text{...}$  wird durch  $a= 3$  ausgedrückt.
  
• Entsprechend bezeichnet der Fehlerabstand  $a= 1$  die Fehlerfolge  $\text{...}\rm 11\text{...}$.
  
• Die verschiedenen Indizes  $\nu$  und  $\nu\hspace{0.06cm}'$  berücksichtigen, dass die beiden Folgen nicht synchron laufen.

Mit den Wahrscheinlichkeiten  $p_a(k) = {\rm Pr}(a= k)$  für die einzelnen Fehlerabstände  $k$  und der mittleren (Symbol–)Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  gelten folgende Definitionen für

• die Fehlerabstandsverteilung (FAV):

\[ V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k)= \sum_{\kappa = k}^{\infty}p_a(\kappa) \hspace{0.05cm},\]

• den mittleren Fehlerabstand ${\rm E}\big[a\big]$:

\[ V_a(k) = {\rm E}\big[a\big] = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot p_a(k) = {1}/{p_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Beispiel 5:}$  Wir betrachten einen Block mit  $n$  Bit, beginnend bei der Bitposition  $\nu + 1$.

Zur Herleitung des Wilhelm–Modells

• Ein Blockfehler tritt immer dann auf, wenn ein Bit an den Positionen  $\nu + 1$, ... , $\nu + n$  verfälscht ist.
  
• Die Verfälschungswahrscheinlichkeiten werden in der Grafik durch die Fehlerabstandsverteilung  ${V_a}\hspace{0.06cm}'(k)$  ausgedrückt.
• Irgendwo vor dem Block der Länge  $n = 3$  befindet sich der letzte Fehler, aber mindestens im Abstand  $k$  vom ersten Fehler im Block entfernt.
• Also ist der Abstand gleich oder größer als  $k$, was genau der Wahrscheinlichkeit  ${V_a}'(k)$  entspricht.
• Das Hochkomma soll anzeigen, dass später noch eine Korrektur vorzunehmen ist, um von der empirisch gefundenen FAV zur richtigen Funktion  ${V_a}(k)$  zu kommen.

Für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}(n)$  haben wir nun verschiedene Gleichungen.

• Eine erste Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen  $p_{\rm B}(n)$  und der (approximativen) Fehlerabstandsverteilung  ${V_a}'(k)$  her:

\[(1)\hspace{0.4cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}'(k) \hspace{0.05cm}, \]

• Eine zweite Gleichung liefert unsere empirische Untersuchung zu Beginn dieses Abschnitts:

\[(2)\hspace{0.4cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}\]

• Die dritte Gleichung ergibt sich aus Gleichsetzen von $(1)$ und $(2)$:

\[(3)\hspace{0.4cm} \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}'(k) = n^{\alpha} \hspace{0.05cm}. \]

Durch sukzessives Einsetzen von  $n = 1, 2, 3,$ ... in diese Gleichung erhalten wir mit  ${V_a}'(k = 1) = 1$:

\[V_a\hspace{0.05cm}'(1) = 1^{\alpha} \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} V_a\hspace{0.05cm}'(1) + V_a\hspace{0.05cm}'(2) =2^{\alpha} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}V_a\hspace{0.05cm}'(1) + V_a\hspace{0.05cm}'(2) + V_a\hspace{0.05cm}'(3) = 3^{\alpha} \hspace{0.35cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} V_a\hspace{0.05cm}'(k) = k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \hspace{0.05cm}.\]

Die aus empirischen Daten gewonnenen Koeffizienten  ${V_a}'(k)$  erfüllen jedoch nicht notwendigerweise die Normierungsbedingung.

Um den Sachverhalt zu korrigieren, verwendet Wilhelm folgenden Ansatz:

\[V_a\hspace{0.05cm}(k) = V_a\hspace{0.05cm}'(k) \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} V_a\hspace{0.05cm}(k) = \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.05cm}.\]

Wilhelm bezeichnet diese Darstellung als  L–Modell, siehe  [Wil11]. Die Konstante  $\beta$  ist in Abhängigkeit

• der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$, und
  
• des empirisch gefundenen Exponenten  $\alpha$   ⇒   Bündelungsfaktor  $1- \alpha$

so zu bestimmen, dass die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei unendlich großer Blocklänge gleich  $1$  wird:

\[\lim_{n \hspace{0.05cm} \rightarrow \hspace{0.05cm} \infty} p_B(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}(k) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sum_{k = 1}^{\infty} \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)} = {1}/{p_{\rm S}} \hspace{0.05cm}.\]

Um  $\beta$  zu bestimmen, wird die  erzeugende Funktion  von  ${V_a}(k)$  verwendet, die wir mit  ${V_a}(z)$  benennen:

\[V_a\hspace{0.05cm}(z) = \sum_{k = 1}^{\infty}V_a\hspace{0.05cm}(k) \cdot z^k = \sum_{k = 1}^{n} \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)} \cdot z^k \hspace{0.05cm}.\]

In  [Wil11] wird näherungsweise  $V_a\hspace{0.05cm}(z) = 1/{\left (1- {\rm e}^{- \beta }\cdot z \right )^\alpha} $  hergeleitet. Aus der Gleichung für den mittleren Fehlerabstand folgt:

\[ {\rm E}\big[a\big] = \sum_{k = 1}^{\infty} k \cdot p_a(k) = \sum_{k = 1}^{\infty} V_a(k) = \sum_{k = 1}^{\infty} V_a(k) \cdot 1^k = V_a(z=1) = 1/p_{\rm S}\]

\[ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{p_{\rm S}} = \big [V_a(z=1)\big]^{-1}= \big [1- {\rm e}^{- \beta }\cdot 1\big]^{\alpha}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{- \beta } =1 - {p_{\rm S}}^{1/\alpha}\hspace{0.05cm}.\]

Numerischer Vergleich von BSC–Modell und Wilhelm–Modell

$\text{Fazit:}$  Fassen wir dieses Zwischenergebnis zusammen. Das  L–Modell  nach Wilhelm beschreibt die Fehlerabstandsverteilung in der Form

\[V_a\hspace{0.05cm}(k) = \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha}\big ] \cdot \big [ 1 - {p_{\rm S}^{1/\alpha} }\big ]^{k-1} \hspace{0.05cm}.\]

Dieses Modell soll nun anhand beispielhafter numerischer Ergebnisse erläutert werden.

$\text{Beispiel 6:}$  Wir gehen zunächst vom  BSC–Modell  aus.

• Die Verfälschungswahrscheinlichkeit setzen wir aus Darstellungsgründen sehr hoch auf  $p_{\rm S} = 0.2$.
• In der zweiten Zeile der nachfolgenden Tabelle ist dessen Fehlerabstandsverteilung  ${V_a}(k) = {\rm Pr}(a \ge k)$  für  $k \le10$ eingetragen.
  

Kenngrößen des BSC–Modells für  $p_{\rm S} = 0.2$

Das Wilhelm–Modell mit  $p_{\rm S} = 0.2$  und  $\alpha = 1$  weist genau die gleiche Fehlerabstandsverteilung ${V_a}(k)$ wie das entsprechende  BSC–Modell  auf. Dies zeigt auch die Rechnung. Mit  $\alpha = 1$  erhält man aus der Gleichung auf der letzten Seite:

\[V_a\hspace{0.05cm}(k) = \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha}\big ] \cdot \big [ 1 - {p_{\rm S}^{1/\alpha} }\big ]^{k-1} = (1 - p_{\rm S} )^{k-1} \hspace{0.05cm}.\]

Damit besitzen beide Modelle entsprechend den Zeilen 3 und 4 auch

• gleiche Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(a = k)= {V_a}(k-1) - {V_a}(k)$  der Fehlerabstände,
  

• gleiche Blockfehlerwahrscheinlichkeiten  $ p_{\rm B}(n)$.
  
  

Im Hinblick auf das folgende  $\text{Beispiel 7}$  mit  $\alpha \ne 1$  ist nochmals besonders zu erwähnen:

• Die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten  $ p_{\rm B}(n)$  des Wilhelm–Modells ergeben sich grundsätzlich aus der Fehlerabstandsverteilung  ${V_a}(k)$  entsprechend der Gleichung

\[ p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} V_a\hspace{0.05cm}(k) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} p_{\rm B}( 1) = 0.2 \cdot 1 = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}p_{\rm B}(2) = 0.2 \cdot (1+0.8) = 0.36 \hspace{0.05cm}.\]

• Nur im Sonderfall  $\alpha = 1$   ⇒   BSC–Modell kann  $ p_{\rm B}(n)$  auch durch Summation über die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(a=k)$  ermittelt werden:

\[ p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot \sum_{k = 1}^{n} {\rm Pr}(a=k) \hspace{0.15cm}\Rightarrow \hspace{0.15cm} p_{\rm B}( 1) = 0.2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}p_{\rm B}(2) = 0.2+ 0.16 = 0.36 \hspace{0.05cm}.\]

$\text{Beispiel 7:}$  Wir betrachten nun einen Kanal mit Bündelfehlercharakteristik.

• Die Grafik zeigt als grüne Kreise die Ergebnisse für das Wilhelm–L–Modell mit  $\alpha = 0.7$.
• Die rote Vergleichskurve gilt für  $\alpha = 1$  (bzw. für den BSC–Kanal) bei gleicher mittlerer Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = 0.2$.
• Unten rechts sind einige interessante Zahlenwerte angegeben.
  

Ergebnisse des Wilhelm–L–Modells mit  $\alpha = 0.7$ und  $p_{\rm S} = 0.2$

Man erkennt aus diesen Darstellungen:

• Der Verlauf der Blockfehlerfehlerwahrscheinlichkeit beginnt jeweils mit  $p_{\rm B}(n = 1) = p_{\rm S} = 0.2$, sowohl bei statistisch unabhängigen Fehlern (BSC) als auch bei Bündelfehlern (Wilhelm).
  

• Beim Bündelfehlerkanal ist  ${\rm Pr}(a=1)= 0.438$  deutlich größer als beim vergleichbaren BSC   ⇒   ${\rm Pr}(a=1)= 0.2$. Zudem erkennt man einen abgeknickten Verlauf im unteren Bereich.
  

• Der mittlere Fehlerabstand  ${\rm E}\big [a \big ] = 1/p_{\rm S} = 5$  ist aber bei gleicher Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ebenfalls identisch. Der große Ausreiser bei  $k=1$  wird durch kleinere Wahrscheinlichkeiten für  $k=2$,  $k=3$  ... ausgeglichen, sowie durch die Tatsache, dass für große  $k$  die grünen Kreise – wenn auch nur minimal – oberhalb der roten Vergleichskurve liegen.
  

• Das wichtigste Ergebnis ist aber, dass die Blockfehlerfehlerwahrscheinlichkeit für  $n > 1$  beim Bündelfehlerkanal kleiner ist als beim vergleichbaren BSC–Modell, zum Beispiel:   $p_{\rm B}(n = 20) = 0.859$.

Fehlerabstandsbetrachtung nach dem Wilhelm–A–Modell

Wilhelm hat aus der oben angegebenen  erzeugenden Funktion  $V_a(z)$  eine weitere Näherung entwickelt, die er als das  A–Modell  bezeichnet. Die Näherung basiert auf einer Taylorreihenentwicklung.

$\text{Definition:}$  Das  A–Modell  nach Wilhelm beschreibt die angenäherte Fehlerabstandsverteilung in der Form

\[V_a\hspace{0.05cm}(k) = \frac {1 \cdot \alpha \cdot (1+\alpha) \cdot \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}\cdot (k-2+\alpha) }{(k-1)\hspace{0.05cm}!}\cdot \left [ 1 - {p_{\rm S}^{1/\alpha} }\right ]^{k-1} \hspace{0.05cm}.\]

• Insbesondere ergibt sich  $V_a(k = 1) = 1$  und  $V_a(k = 2)= \alpha \cdot (1 - p_{\rm S}^{1/\alpha})$.
• Hierbei ist zu berücksichtigen, dass der Zähler des Vorfaktors aus  $k$  Faktoren besteht. Für  $k = 1$  ergibt sich dieser Vorfaktor demzufolge zu $1$.

Nun vergleichen wir die Unterschiede der beiden Wilhelm–Modelle (L bzw. A) hinsichtlich resultierender Blockfehlerwahrscheinlichkeit.

Ergebnisse des Wilhelm–Modells für  $p_{\rm S} = 0.01$  und einige  $\alpha$

$\text{Beispiel 8:}$  Nebenstehende Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm B}(n)$  für drei verschiedene  $\alpha$–Werte, erkennbar an den Farben

• Rot:       $\alpha = 1$   ⇒   BSC–Modell,
  
• Blau:     $\alpha = 0.95$  ⇒   schwache Bündelung,
  
• Grün:    $\alpha = 0.7$   ⇒   starke Bündelung.
  
  

Die durchgezogenen Linien gelten für das A–Modell und die gestrichelten für das L–Modell. Die im Bild angegebenen Zahlenwerte für  $p_{\rm B}(n = 100)$  beziehen sich ebenfalls auf das A–Modell.

Für $\alpha = 1$ geht sowohl das A–Modell als auch das L–Modell in das BSC–Modell (rote Kurve) über.

Desweiteren ist anzumerken:

• Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit    $p_{\rm S} = 0.01$   ⇒   ${\rm E}\big[a \big ] = 100$    ist hier (einigermaßen) realistisch angenommen. Alle Kurven starten so bei    $p_{\rm B}(n=1) = 0.01$   ⇒   gelber Punkt.
  

• Der Unterschied zwischen zwei gleichfarbigen Kurven ist gering (bei starker Bündelung etwas größer), wobei die durchgezogene Kurve stets oberhalb der gestrichelten Kurve liegt.
  

• Auch dieses Beispiel zeigt:     Je stärker die Bündelung $($kleineres  $\alpha)$, desto kleiner ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit    $p_{\rm B}(n)$. Dies gilt allerdings nur, wenn man wie hier von einer konstanten Symbolfehlerwahrscheinlichkeit    $p_{\rm S}$    ausgeht.
  

• Ein (dürftiger) Erklärungsversuch:     Nehmen wir an, dass bei BSC mit sehr kleinem  $p_{\rm S}$  jeder Blockfehler von genau einem Symbolfehler herrührt, dann gibt es bei gleicher Symbolfehleranzahl weniger Blockfehler, wenn zwei Symbolfehler in einen Block fallen (Bündelung).
  

• Noch ein (passenderes?) Beispiel aus dem täglichen Leben. Man kann eine Straße bei konstantem Verkehrsaufkommen leichter überqueren, wenn die Fahrzeuge "irgendwie gebündelt" kommen.

Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–A–Modells

Eine weitere Beschreibungsform der digitalen Kanalmodelle ist neben der Fehlerabstandsverteilung  $V_a(k)$  die  Fehlerkorrelationsfunktion  $\varphi_{e}(k)$  – abgekürzt FKF. Wir gehen von der binären Fehlerfolge  $\langle e_\nu \rangle$  mit  $e_\nu \in \{0, 1\}$  aus, wobei hinsichtlich des $\nu$–ten Bits

• $e_\nu = 0$  eine richtige Übertragung bezeichnet, und
• $e_\nu = 1$  einen Symbolfehler (Bitfehler).

$\text{Definition:}$  Die  Fehlerkorrelationsfunktion  $\varphi_{e}(k)$  gibt die (zeitdiskrete)  Autokorrelationsfunktion  der ebenfalls zeitdiskreten Zufallsgröße  $e$  an.

\[\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] = \overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k} }\hspace{0.05cm}.\]

Die überstreichende Linie in der rechten Gleichung kennzeichnet die Zeitmittelung.

Der Fehlerkorrelationswert  $\varphi_{e}(k)$  liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um  $k$  auseinander liegender Folgenelemente, zum Beispiel über  $e_{\nu}$  und  $e_{\nu +k}$. Die dazwischen liegenden Elemente  $e_{\nu +1}$, ... , $e_{\nu +k-1}$  beeinflussen dagegen den  $\varphi_{e}(k)$–Wert nicht.

$\text{Ohne Beweis:}$  Die Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–A–Modells kann wie folgt angenähert werden:

\[\varphi_e\hspace{0.05cm}(k) = p_{\rm S} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \left [ 1 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha}{1\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha \cdot (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \alpha)}{2\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^2 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac {\alpha \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (k\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) }{k\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^k \right ] \]

Zur Abkürzung ist  $C = (1-p_{\rm S})^{1/\alpha}$  verwendet. Auf die Herleitung wird hier verzichtet.

Nachfolgend werden die Eigenschaften der Fehlerkorrelationsfunktion an einem Beispiel aufgezeigt.

Fehlerkorrelationsfunktionen des Wilhelm–Modells

$\text{Beispiel 9:}$  Wie im  $\text{Beispiel 8}$  gelte  $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für

• Grün:    $\alpha = 0.7$   ⇒   starke Bündelung.
• Blau:     $\alpha = 0.95$  ⇒   schwache Bündelung,
  
• Rot:       $\alpha = 1$   ⇒   BSC–Modell,
  

Die folgenden Aussagen lassen sich weitgehend verallgemeinern, siehe auch  GE–Modell:

• Der FKF-Wert an der Stelle  $k = 0$  ist bei allen Kanälen gleich  $p_{\rm S} = 10^{-2}$  (markiert durch den Kreis mit grauer Füllung) und der Grenzwert für  $k \to \infty$  liegt stets bei  $p_{\rm S}^2 = 10^{-4}$.
  

• Dieser Endwert wird beim BSC–Modell bereits bei  $k = 1$  erreicht (rot gefüllte Markierung). Hier kann die FKF also nur die beiden Werte  $p_{\rm S}$  und  $p_{\rm S}^2$  annehmen.
  

• Auch für für  $\alpha < 1$  (blaue und grüne Kurve) erkennt man einen Knick bei  $k = 1$. Danach verläuft die FKF monoton fallend. Der Abfall ist umso langsamer, je kleiner  $\alpha$  ist, also je gebündelter die Fehler auftreten.

Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell

Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in  [Wil11]  sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = 10^{-3}$  zugrunde liegt.

• In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler $($BSC bzw.  $\alpha = 1)$,
• die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit  $\alpha = 0.7$. Zudem soll folgende Vereinbarung gelten:
  

$\text{Definition:}$  Ein  Fehlerburst  (oder kurz Burst) beginnt stets mit einem Symbolfehler und endet, wenn  $k_{\rm Burst}- 1$  fehlerfreie Symbole aufeinanderfolgen.

• $k_{\rm Burst}$  bezeichnet den Burst–Endeparameter.
• Das Burstgewicht   $G_{\rm Burst}$  entspricht der Anzahl aller Symbolfehler im Burst.
• Bei einem Einzelfehler  gilt  $G_{\rm Burst}= 1$  und die Burstlänge (bestimmt durch den ersten und letzten Fehler) ist ebenfalls  $L_{\rm Burst}= 1$.

Einzelfehlerwahrscheinlichkeit in einem Block der Länge  $n$

$\text{Beispiel 10:}\ \text{Wahrscheinlichkeit }p_1\text{ eines Einzelfehlers in einer Probe der Länge} \ n$

Für den BSC–Kanal  $(\alpha = 1)$  gilt  $p_1 = n \cdot 0.001 \cdot 0.999^{n-1}$   ⇒   rote Kurve. Aufgrund der doppel–logarithmischen Darstellung ergibt sich mit diesen Zahlenwerten ein (nahezu) linearer Verlauf. Beim BSC–Modell treten also Einzelfehler in einer Probe der Länge  $n = 100$  mit etwa  $9\%$  Wahrscheinlichkeit auf.

Beim Bündelfehlerkanal mit  $\alpha = 0.7$  (grüne Kurve) beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit nur etwa  $0.7\%$  und der Kurvenverlauf ist hier leicht gekrümmt.

Bei der folgenden Rechnung gehen wir zunächst von der Annahme aus, dass der Einzelfehler in der Probe der Länge  $n$  an der Position  $b$  auftritt:

• Bei einem Einzelfehler müssen dann noch  $n-b$  fehlerfreie Symbole folgen. Nach Mittelung über die möglichen Fehlerpositionen  $b$  erhält man somit:

\[p_1 = p_{\rm S} \cdot \sum_{b = 1}^{n} \hspace{0.15cm}V_a (b) \cdot V_a (n+1-b) \hspace{0.05cm}.\]

• Wegen der Ähnlichkeit mit der Signaldarstellung eines  Digitalen Filters  kann man die Summe als Faltung von  $V_a(b)$  mit sich selbst bezeichnen. Für die erzeugende Funktion  $V_a(z)$  wird aus der Faltung ein Produkt (bzw. wegen  $V_a(b) \star V_a(b)$  das Quadrat) und man erhält folgende Gleichung:

\[V_a(z=1) \cdot V_a(z=1) = \big [ V_a(z=1) \big ]^2 = {\big [ 1 -(1- {p_{\rm S} }^{1/\alpha})\big ]^{-2\alpha} } \hspace{0.05cm}.\]

• Mit der  spezifischen Fehlerabstandsverteilung  $V_a(z)$  erhält man somit folgendes Endergebnis:

\[p_1 = p_{\rm S} \cdot \frac{2\alpha \cdot (2\alpha+1) \cdot \hspace{0.05cm} \text{... } \hspace{0.05cm} \cdot (2\alpha+n-2)} {(n-1)!}\cdot (1- {p_{\rm S} }^{1/\alpha})^{n-1} \hspace{0.05cm}.\]

Mittlere Fehleranzahl im Burst der Länge  $k$

$\text{Beispiel 11:}\ \text{Mittlere Fehleranzahl } {\rm E}[G_{\rm Burst}] \text{ in einem Burst mit Endeparameter }k_{\rm Burst}$

Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit sei weiterhin  $p_{\rm S} = 10^{-3}$, also (relativ) klein.

(1)   Rote Kurve für den BSC–Kanal  (bzw.  $\alpha = 1)$:

• Der Parameter  $k_{\rm Burst}= 10$  bedeutet beispielsweise, dass der Burst beendet ist, wenn nach einem Fehler neun fehlerfreie Symbole folgenden. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlerabstand  $a \le 9$  ist bei kleinem  $p_{\rm S}$  $($hier:  $10^{-3})$  äußerst klein. Daraus folgt weiter, dass dann (fast) jeder Einzelfehler als ein "Burst" aufgefasst wird, und es gilt  ${\rm E}[G_{\rm Burst}] \approx 1.01$ .
  
• Bei größerem Burst–Endeparameter  $k_{\rm Burst}$  nimmt auch die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(a \le k_{\rm Burst})$  deutlich zu und es kommt zu "Bursts" mit mehr als einem Fehler. Wählt man beispielsweise  $k_{\rm Burst}= 100$, so beinhaltet ein "Burst" im Mittel  $1.1$  Symbolfehler.
  
• Das bedeutet gleichzeitig, dass es auch beim BSC–Modell zu langen Fehlerbursts (entsprechend unserer Definition) kommen kann, wenn bei gegebenem  $p_{\rm S}$  der Burst–Endeparameter zu groß gewählt ist oder bei vorgegebenem  $k_{\rm Burst}$  die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  zu groß ist.
  
  

(2)   Grüne Kurve für den Wilhelm–Kanal mit  $\alpha = 0.7$:

Das hier angegebene Verfahren zur numerischen Bestimmung der mittleren Fehleranzahl  ${\rm E}[G_{\rm Burst}]$  eines Bursts kann unabhängig vom  $\alpha$–Wert angewendet werden. Man geht wie folgt vor:

• Entsprechend den Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(a=k)$  generiert man eine Fehlerfolge $e_1$,  $e_2$,  ... , $e_i$,  ...  mit den Fehlerabständen  $a_1$,  $a_2$,  ... , $a_i$,  ...
  
• Ist ein Fehlerabstand  $a_i \ge k_{\rm Burst}$, so markiert dieser das Ende eines Bursts. Ein solches Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(a \ge k_{\rm Burst}) = V_a(k_{\rm Burst} )$  ein.
  
• Wir zählen solche Ereignisse "$a_i \ge k_{\rm Burst}$" im gesamten Block der Länge  $n$. Deren Anzahl ist gleichzeitig die Anzahl  $N_{\rm Burst}$  der Bursts im Block.
  
• Gleichzeitig gilt die Beziehung  $N_{\rm Burst} = N_{\rm Fehler} \cdot V_a(k_{\rm Burst} )$, wobei  $N_{\rm Fehler}$  die Anzahl aller Fehler im Block angibt.
• Daraus lässt sich die mittlere Fehlerzahl pro Burst in einfacher Weise berechnen:

\[{\rm E}[G_{\rm Burst}] =\frac {N_{\rm Fehler} }{N_{\rm Burst} } =\frac {1}{V_a(k_{\rm Burst})}\hspace{0.05cm}.\]

Die Markierungen in der Grafik korrespondieren mit folgenden Zahlenwerten der  Fehlerabstandsverteilung:

• Die grünen Kreise $($Wilhelm–Kanal,  $\alpha = 0.7)$  ergeben sich aus  $V_a(10) = 0.394$  und  $V_a(100) = 0.193$.
• Die roten Kreise $($BSC–Kanal,  $\alpha = 1)$  sind die Kehrwerte von  $V_a(10) = 0.991$  und  $V_a(100) = 0906$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.6: Fehlerkorrelationsdauer

Aufgabe 5.6Z: GE-Modelleigenschaften

Aufgabe 5.7: McCullough-Parameter aus Gilbert-Elliott-Parameter

Aufgabe 5.7Z: Nochmals McCullough-Modell