Signal Representation/Differences and Similarities of Low-Pass and Band-Pass Signals

1. Signal Representation
2. Bandpass Signals
3. Differences and Similarities of Low-Pass and Band-Pass Signals

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# OVERVIEW OF THE FOURTH MAIN CHAPTER #

In the third main chapter:   Aperiodic Signals – Impulses  often low-pass signals were assumed, i.e., those signals whose spectral functions lie in the range around the frequency  $f = 0$ . Particularly in optical transmission and in radio transmission systems - but not only in these - the transmitted signals are in the range around a carrier frequency  $f_{\rm T}$. Such signals are called  bandpass signals. All principles of the Fourier transformation and inverse transformation described in the last chapter apply to bandpass signals in the same way. Besides there are some special features of bandpass-signals, whose observance can lead to a simpler description.

This chapter contains in detail:

• the enumeration of differences  and similarities  of lowpass and bandpass signals,
• the synthesis  of bandpass signals from the equivalent lowpass signal,
• the analytical signal  and the corresponding spectral function,
• the equivalent low-pass signal  in the time and frequency domain, and finally
• the representation of analytical signal/equivalent low-pass signal in the complex plane.

Further information about the topic as well as tasks, simulations and programming exercises can be found in the experiment Analog Modulation Methods  of the practical course „Simulation of Digital Transmission Systems”. This (former) LNT course at the TU Munich is based on

• the Windows program  AMV   ⇒   Link refers to the zip version of the program
• and its   lab manual   ⇒  link refers to the pdf version (86 pages).

Motivation of Bandpass Signals for Communications Engineering

In the previous chapters of this book, almost only signals whose spectra lie in a narrow range around the frequency  $f = 0$  have been considered. Examples are analog speech, music and image signals, which all - despite their different bandwidths - can be described as  'low pass signals  .

If you want to transmit such a low-pass signal to a spatially distant sink, the signal may have to be converted to another frequency position. There can be several reasons for this:

• Often the transmission channel is unsuitable for the direct transmission of the source signal in the original frequency band, because this band contains frequencies that are unfavorable for it. Only by a frequency shift by means of a so-called modulator  a transmission is made possible.
• A single transmission channel can be used for the simultaneous transmission of several signals, if they are modulated with different carrier frequencies at the transmitting end. This method is called    FDMA  ,abbreviated as Frequency Division Multiple Access
• The transmission quality can be improved compared to the simplest analog methodAmplitude Modulation  at the expense of a larger bandwidth and thus a higher signal-to-noise ratio  can be achieved. Examples are the.   Frequency Modulation  (FM) as an analog method and the digital   Pul  (PCM).

$\text{Remember:}$  The transmitted signals of many transmission methods are  bandpass signals.

Note:   Dem Autor ist durchaus bewusst, dass es nach der letzten Rechtschreibreform „Tiefpasssignal” und „Bandpasssignal” heißen müsste. Um diese unschönen Konstrukte zu vermeiden, verwenden wir im Folgenden meist die Schreibweisen „Tiefpass–Signal” und „Bandpass–Signal”, manchmal auch „TP–Signal” und „BP–Signal”.

$\text{Example 1: Zur Klassifizierung von Signalen hinsichtlich „Tiefpass” und „Bandpass”}$

(a)     Sprache  und Musik  sind Tiefpass–Signale mit einer Bandbreite von  $\text{20 kHz}$  (bei sehr guter Qualität). Da eine Funkübertragung aber erst ab ca.  $\text{100 kHz}$  möglich ist, erfolgt bei Analogsystemen vor der Übertragung eine Umsetzung auf Trägerfrequenzen zwischen

• $\text{0.525 ... 1.61 MHz}$  $($Mittelwellenrundfunk, Amplitudenmodulation, Kanalabstand  $\text{9 kHz})$,
• $\text{87.5 ... 108 MHz}$  $($Rundfunk auf UKW, Frequenzmodulation, Kanalabstand  $\text{300 kHz})$.

(b)     TV-Bildsignale  weisen eine größere Bandbreite auf, zum Beispiel  $\text{5 MHz}$ . Auch hier erfolgt vor der Ton– und Bildübertragung eine Frequenzbandverschiebung durch Trägerfrequenzen zwischen

• $\text{41 ... 68 / 174 ... 230 MHz}$  (Fernsehen, VHF-Band, Kanalabstand  $\text{7 MHz})$,
• $\text{470 ... 850 MHz}$  $($Fernsehen, UHF-Band, Kanalabstand  $\text{8 MHz})$.

(c)    Beim GSM-Mobilfunk  liegen die Trägerfrequenzen im D-Band bei  $\text{900 MHz}$  und im D-Band bei  $\text{1800 MHz}$.

(d)     Bei optischer Übertragung  werden die elektrischen Signale in Licht gewandelt, also auf Frequenzen zwischen ca.  $\text{200 THz}$  und  $\text{350 THz}$  $($entsprechend  $\text{1.55 µm ... 0.85 µm}$  Wellenlänge).

Eigenschaften von BP-Signalen

Auf dieser Seite werden – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – einige Eigenschaften von Bandpass–Signalen zusammengestellt und den Tiefpass–Signalen vergleichend gegenübergestellt. Dabei gehen wir von den Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  gemäß der folgenden Skizze aus.

Tiefpass- und Bandpass-Spektrum

Zu der Grafik ist anzumerken:

• Die Dreiecksform der dargestellten Spektren ist schematisch zu verstehen und soll nur das belegte Frequenzband kennzeichnen. Daraus sollte also nicht geschlossen werden, dass alle Frequenzen innerhalb des Bandes tatsächlich belegt sind und dass alle Spektralfunktionen linear mit der Frequenz  $f$  zunehmen.
• Die zugehörigen Zeitfunktionen  $x_{\rm TP}(t)$  und  $x_{\rm BP}(t)$  seien vorerst reell. Das bedeutet, dass nach dem  Zuordnungssatz  die Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  – bezogen auf die Frequenz  $f = 0$  – jeweils einen geraden Realteil und einen ungeraden Imaginärteil besitzen.
• Als Bandbreite  $B_{\rm TP}$  bzw.  $B_{\rm BP}$  bezeichnen wir für Tiefpass und Bandpass gleichermaßen das belegte Frequenzband bei den positiven Frequenzen (in der Grafik:   durchgezogene Kurvenverläufe).

$\text{Beispiel 2:}$  Es folgt ein Beispiel mit diskreten Spektrallinien. Die linke Grafik zeigt das Spektrum  $Q(f)$  des Nachrichtensignals

$$q(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} + 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 3\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) + 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot 4\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t). $$

Die diskreten Spektrallinien des Realteils   ⇒   ${\rm Re}\big[Q(f)\big]$  sind blau dargestellt und diejenigen des Imaginärteils   ⇒   ${\rm Im}\big[Q(f)\big]$  rot.

Beispiel von Tiefpass- und Bandpass-Spektrum

Rechts dargestellt ist das Spektrum  $S(f)$  nach Einseitenband–Amplitudenmodulation (ESB–AM) mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \,\text{kHz}$. Eine Beschreibung dieses Übertragungssystems finden Sie im Kapitel  Hüllkurvendemodulation  des Buches „Modulationsverfahren”.

• Nach dieser Beschreibung ist  $q(t)$  eindeutig ein Tiefpass–Signal und  $s(t)$  ein Bandpass–Signal. Die Bandbreiten sind jeweils  $B_{\rm TP} = B_{\rm BP} = 4 \,\text{kHz}$.
• Die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  sind zudem reell, da sowohl  $Q(f)$  als auch  $S(f)$  einen geraden Real- und einen ungeraden Imaginärteil aufweisen.
• Würde beim Quellensignal der Gleichanteil  $(3 \,\text{V})$  fehlen, so würde man sinnvollerweise  $q(t)$  noch immer als tiefpassartig bezeichnen.
• Ohne Kenntnis der Aufgabenstellung könnte man  $q(t)$  dann aber auch als Bandpass–Signal mit der Bandbreite  $B_{\rm BP} = 1 \,\text{kHz}$  auffassen.

Dieses Beispiel zeigt, dass es kein eindeutiges mathematisches Unterscheidungsmerkmal zwischen Tiefpass– und Bandpass–Signalen gibt.

Beschreibung eines BP-Signals mittels TP-Signalen

Wir betrachten zwei Tiefpass–Spektren  $X_1(f)$  und  $X_2(f)$  mit den Bandbreiten  $B_1$  und  $B_2$  entsprechend der linken Grafik.

Aus dieser Darstellung ist zu erkennen:

• Sind  $X_1(f)$  und  $X_2(f)$  bis zu einer Frequenz  $f_{12}$  identisch, so beschreibt die Differenz ein Bandpass-Spektrum mit Bandbreite  $B_{\rm BP} = B_1 - f_{12}$. Entsprechend der rechten Grafik gilt dann:

$$X_{\rm BP}(f) = X_1(f) -X_2(f).$$

• Aufgrund der Linearität der Fouriertransformation gilt für die zum Bandpass-Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  zugehörige Zeitfunktion:

$$x_{\rm BP}(t) = x_1(t) - x_2(t).$$

• Aus der Fouriertransformation folgt allgemein, dass das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$  ist. Bei jedem Bandpass–Signal ist demzufolge dieses Integral stets Null:

$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$

$\text{Beispiel 3:}$  Die roten Kurven in den beiden Grafiken zeigen das Bandpass-Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  und die zugehörige Zeitfunktion

$$x_{\rm BP}(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 10 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t).$$

Tiefpass– und Bandpass–Spektrum und zugehörige Signale

Ebenfalls dargestellt sind die zwei Tiefpass–Spektren und –Signale. Man erkennt aus diesen Bildern:

• Die blau-gepunktete Kurve in der linken Grafik stellt das trapezförmige Spektrum  $X_1(f)$  dar, wobei die äquivalente Bandbreite  $\Delta f_1= 10 \,\text{kHz}$  beträgt und der Rolloff-Faktor  $r_1 = 0.2$  ist.
• Die blau-gepunktete Kurve in der rechten Grafik zeigt das dazugehörige Tiefpass–Signal  $x_1(t)$. Der Signalwert bei  $t = 0$  entspricht der blauen Trapezfläche des Spektrums  $X_1(f)$:

$$x_1(t = 0) = 10 \,\text{V}.$$

• Die grüne Kurve gilt für das Rechteckspektrum  $X_2(f)$  mit der äquivalenten Bandbreite  $\Delta f_2= 2 \,\text{kHz}$. Das dazugehörige Zeitsignal  $x_2(t)$  verläuft  $\sin(x)/x$–förmig und es gilt:

$$x_2(t = 0) = 2 \,\text{V}.$$

Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve. Entsprechend ist

$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$

$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$

Synthese von BP-Signalen aus dem äquivalenten TP-Signal

Wir betrachten ein Tiefpass-Signal  $x_{\rm TP}(t)$  mit Spektrum  $X_{\rm TP}(f)$  entsprechend der linken Skizze.

Multipliziert man dieses Signal mit einer (dimensionslosen) harmonischen Schwingung

$$z(t) = {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} Z(f) = {1}/{2}\cdot \delta (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot \delta (f + f_{\rm T}),$$

so ergibt sich nach dem Faltungssatz für das Spektrum des Signals  $x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot z(t)$:

$$X_{\rm BP}(f) = X_{\rm TP}(f)\star Z(f) = {1}/{2}\cdot X_{\rm TP} (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot X_{\rm TP}(f + f_{\rm T}).$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass die  Faltung  der Spektralfunktion  $X_{\rm TP}(f)$  mit der verschobenen Diracfunktion  $\delta (f - f_\rm {T})$  die um  $f_\rm {T}$  nach rechts verschobene Funktion  $X_{\rm TP}(f-f_\rm {T})$  ergibt.

Ein BP–Spektrum ergibt sich durch beidseitiges Verschieben eines TP–Spektrums

Aus der rechten Spektralbereichsdarstellung erkennt man eindeutig, dass

$$x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \cdot t)$$

ein Bandpass-Signal ist. Die Einhüllende von  $x_{\rm BP}(t)$  ist durch den Betrag  $|x_{\rm TP}(t)|$  gegeben. Anwendung findet dieses Prinzip zum Beispiel bei der  Amplitudenmodulation ohne Träger, die im Buch „Modulationsverfahren” eingehend behandelt wird.

Aus obiger Grafik erkennt man:

• Das Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  hat im Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  die gleiche Form wie  $X_{\rm TP}(f)$  im Bereich um  $f = 0$, ist aber gegenüber dem Tiefpass-Spektrum um den Faktor  $2$  gedämpft.
• Da  $X_{\rm TP}(f)$  bezogen auf  $f = 0$  einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt, weist das Bandpass-Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  gleiche Symmetrieeigenschaften auf – allerdings nun bezogen auf die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.
• Auch  $X_{\rm BP}(f)$  besitzt Anteile bei negativen Frequenzen. Da das zugehörige Signal  $x_{\rm BP}(t)$  gemäß obiger Gleichung ebenfalls reell ist, muss auch  $X_{\rm BP}(f)$  bezüglich der Frequenz  $f = 0$  einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzen.
• Die Bandbreite des Bandpass-Signals ist doppelt so groß wie die des Tiefpass-Signals:   $B_{\rm BP} = 2 \cdot B_{\rm TP}$. Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Aussage ist, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  mindestens um den Faktor  $2$  größer ist als die maximale Frequenz  $(B_{\rm TP})$  des Signals  $x_{\rm TP}(t)$.

$\text{Beispiel 4:}$  Ein Tiefpass-Signal besitze diskrete Spektralanteile bei  $f_1 = 1\,\text{ kHz}, \, f_2 = 2\,\text{ kHz}, \,f_3 = 3\,\text{ kHz}$  und  $f_4 = 4\,\text{ kHz}$:

$$x_{\rm TP}(t) = 0.26\cdot {\cos} ( \omega_1 \hspace{0.05cm} t + 20^{ \circ}) \hspace{0.18cm}+ 0.54\cdot {\cos} ( \omega_2 \hspace{0.05cm} t - 180^{ \circ}) + 0.30\cdot {\cos} ( \omega_3 \hspace{0.05cm} t + 120^{ \circ}) +0.14\cdot {\cos} ( \omega_4 \hspace{0.05cm} t -40^{ \circ}).$$

Das dazugehörige Spektrum  $X_{\rm TP}(f)$  ist wegen der von Null verschiedenen Phasenlagen komplex.

ZSB-AM-Signal mit unterschiedlichen Trägerfrequenzen

• Multipliziert man  $x_{\rm TP}(t)$  mit einem Cosinussignal der Amplitude  $1$  und der Frequenz  $f_{\rm T} = 20 \,\text{kHz}$, so ergibt sich das Bandpass-Signal gemäß der oberen Grafik.
• Die untere Skizze gilt für das Bandpass-Signal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \,\text{kHz}$.
• In beiden Darstellungen sind die Funktionsverläufe  $\pm \vert x_{\rm TP}(t) \vert $  als Einhüllende der Bandpass-Signale zu erkennen.

Hinweis: Die Thematik dieses Kapitels wird im Lernvideo  Eigenschaften von Tiefpass– und Bandpass–Signalen  behandelt.

Weitere Informationen zum Thema, zahlreiche Aufgaben und Simulationen finden Sie im Versuch „Analoge Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Windows-Programm  AMV   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
• der zugehörigen  Praktikumsanleitung   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; insgesamt 86 Seiten.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.1: Tiefpass- und Bandpass-Signale

Aufgabe 4.1Z: Hochpass-System

Aufgabe 4.2: Rechteckförmige Spektren

Aufgabe 4.2Z: Multiplikation mit Sinussignal