Aufgabe 2.12: Zur nichtkohärenten Demodulation

From LNTwww

Nichtkohärente
ASK–Demodulation

Wir betrachten ein AM–moduliertes Signal:

$$ s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Den Empfänger erreicht aufgrund der Kanallaufzeit das Signal

$$ r(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

Die skizzierte Anordnung erlaubt eine perfekte Demodulation – das heißt  $v(t) = q(t)$ – ohne Kenntnis der Phase  $Δϕ_T$, allerdings nur dann, wenn das Quellensignal  $q(t)$  gewisse Voraussetzungen erfüllt.

Die beiden empfängerseitigen Trägersignale lauten:

$$ z_{\rm 1, \hspace{0.08cm}E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
$$ z_{\rm 2, \hspace{0.08cm}E}(t) = -2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm TP_1$  und  $\rm TP_2$  bezeichnen zwei ideale (rechteckförmige) Tiefpässe, deren Grenzfrequenz jeweils gleich der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  ist. 

Als (digitale) Quellensignale werden betrachtet:

  • das unipolare Rechtecksgnal  $q_1(t)$  mit den dimensionslosen Amplitudenwerten  $0$  und  $3$,
  • das bipolare Rechtecksignal  $q_2(t)$  mit den dimensionslosen Amplitudenwerten  $±3$.


Diese beiden Signale ergeben hinsichtlich  $s(t)$  ein  ASK–Signal  bzw. ein  BPSK–Signal.

Die nichtlineare Funktion  $v = g(b)$  soll im Rahmen dieser Aufgabe ermittelt werden.





Hinweise:

  • Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie lauten die Signale  $b_1(t)$  und  $b_2(t)$  in den beiden Zweigen – jeweils nach Multiplizierer und Tiefpass?  Welche Aussagen treffen zu?

$b_1(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
$b_2(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
$b_1(t) = q(t) · \sin(Δϕ_{\rm T})$.
$b_2(t) = q(t) · \sin(Δϕ_{\rm T})$.
$b_1(t) = b_2(t) = q(t)$.

2

Welche Werte  $b_{\rm min}$  und  $b_{\rm max}$  nimmt das Signal  $b(t)$  an, wenn am Eingang das unipolare Quellensignal  $q_1(t)$  anliegt?

$b_{\rm min} \ = \ $

$b_{\rm max} \ = \ $

3

Wie muss die Kennlinie  $v = g(b)$  gewählt werden, damit  $v(t) = q(t)$  gilt?

$v=g(b) = b^2$.
$v=g(b) = \sqrt{b}$.
$v=g(b) = \arctan(b).$

4

Welche Werte  $b_{\rm min}$  und  $b_{\rm max}$  nimmt das Signal  $b(t)$  an, wenn am Eingang das bipolare Quellensignal  $q_2(t)$  anliegt?

$b_{\rm min} \ = \ $

$b_{\rm max} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Durch Anwendung der auf der Angabenseite gegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man unter Berücksichtigung der beiden Tiefpässe (die Anteile um die doppelte Trägerfrequenz werden entfernt):

$$b_1(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},$$
$$ b_2(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot (-2) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \sin(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig sind somit die erste und die vierte Antwort.


(2)  Die Summe der Quadrate der beiden Teilsignale ergibt:

$$ b(t) = b_1^2(t) + b_2^2(t)= q^2(t) \cdot \left( \cos^2(\Delta \phi_{\rm T})+ \sin^2(\Delta \phi_{\rm T})\right) = q^2(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die möglichen Amplitudenwerte sind somit:  

$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
$$ b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$


(3)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

$$v=g(b) = \sqrt{b} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} v(t) = \sqrt{ q^2(t) } = q(t)\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Das Ergebnis  $b(t) = q^2(t)$ – siehe Teilaufgabe  (2)  – führt hier zum Ergebnis:

$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 9},$$
$$b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$

Dies zeigt, dass der hier betrachtete Demodulator nur dann funktioniert, wenn für alle Zeiten  $q(t) ≥ 0$  oder  $q(t) ≤ 0$  gilt und dies dem Empfänger auch bekannt ist.