Aufgaben:Exercise 2.12: Non-coherent Demodulation

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Non-coherent
ASK Demodulation

Consider an amplitude modulated signal:

$$ s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Reaching the receiver based on the channel propagation time, the signal is

$$ r(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

The arrangement shown here allows perfect demodulation – that is,  $v(t) = q(t)$ – without knowledge of the phase  $Δϕ_T$, but only if the source signal  $q(t)$  satisfies certain conditions.

The two receiver-side carrier signals are:

$$ z_{\rm 1, \hspace{0.08cm}E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

$$ z_{\rm 2, \hspace{0.08cm}E}(t) = -2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm TP_1$  and  $\rm TP_2$  denote two ideal (rextangular) lowpass filters, each with cutoff frequency equal to the carrier frequency  $f_{\rm T}$ .

As (digital) source signals we consider:

• the unipolar square wave  $q_1(t)$  with dimensionless amplitude values  $0$  and  $3$,
• the bipolar square wave signal  $q_2(t)$  with the dimensionless amplitude values  $±3$.

With respect to  $s(t)$ , these two signals result in an  ASK signal  and a  BPSK signal, respectively.

The nonlinear function  $v = g(b)$  is to be determined in this exercise.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter   Further AM Variants.
• Particular reference is made to the page  Incoherent (non-coherent) Demodulation.

• The following trigonometric transformations are given:

$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$

$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$

$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$

Questions

1 What are the signals  $b_1(t)$  and  $b_2(t)$  in both branches – after multiplier and lowpass respectively?  Which statements apply?

	$b_1(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
	$b_2(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
	$b_1(t) = q(t) · \sin(Δϕ_{\rm T})$.
	$b_2(t) = q(t) · \sin(Δϕ_{\rm T})$.
	$b_1(t) = b_2(t) = q(t)$.

2 Welche Werte  $b_{\rm min}$  und  $b_{\rm max}$  nimmt das Signal  $b(t)$  an, wenn am Eingang das unipolare Quellensignal  $q_1(t)$  anliegt?

$b_{\rm min} \ = \ $

$b_{\rm max} \ = \ $

3 Wie muss die Kennlinie  $v = g(b)$  gewählt werden, damit  $v(t) = q(t)$  gilt?

	$v=g(b) = b^2$.
	$v=g(b) = \sqrt{b}$.
	$v=g(b) = \arctan(b).$

4 Welche Werte  $b_{\rm min}$  und  $b_{\rm max}$  nimmt das Signal  $b(t)$  an, wenn am Eingang das bipolare Quellensignal  $q_2(t)$  anliegt?

$b_{\rm min} \ = \ $

$b_{\rm max} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Durch Anwendung der auf der Angabenseite gegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man unter Berücksichtigung der beiden Tiefpässe (die Anteile um die doppelte Trägerfrequenz werden entfernt):

$$b_1(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},$$

$$ b_2(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot (-2) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \sin(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

• Richtig sind somit die erste und die vierte Antwort.

(2)  Die Summe der Quadrate der beiden Teilsignale ergibt:

$$ b(t) = b_1^2(t) + b_2^2(t)= q^2(t) \cdot \left( \cos^2(\Delta \phi_{\rm T})+ \sin^2(\Delta \phi_{\rm T})\right) = q^2(t)\hspace{0.05cm}.$$

Die möglichen Amplitudenwerte sind somit:  

$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$

$$ b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$

(3)  Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:

$$v=g(b) = \sqrt{b} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} v(t) = \sqrt{ q^2(t) } = q(t)\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Das Ergebnis  $b(t) = q^2(t)$ – siehe Teilaufgabe  (2)  – führt hier zum Ergebnis:

$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 9},$$

$$b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$

Dies zeigt, dass der hier betrachtete Demodulator nur dann funktioniert, wenn für alle Zeiten  $q(t) ≥ 0$  oder  $q(t) ≤ 0$  gilt und dies dem Empfänger auch bekannt ist.