Modulation Methods/Non-Linear Digital Modulation

1. Modulation Methods
2. Digital Modulation Methods
3. Non-Linear Digital Modulation

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Properties of nonlinear modulation methods

All modulation methods can be alternatively classified as:

• amplitude, phase and frequency modulation,
• analog and digital modulation methods,
• linear and non-linear modulation methods.

Considering this last distinction, the following definition applies:

$\text{Definition:}$  A  linear modulation method  is present if any linear combination of signals at modulator input leads to a corresponding linear combination at its output. Otherwise, it is   non-linear modulation.

At the  beginning of the book  it was already pointed out that the main difference between an analog and a digital modulation method is that in the first one an analog source signal  $q(t)$  is present and in the second one a digital signal. However, a closer look will reveal that there are a few more differences between these methods. This will be discussed in more detail below.

The following diagram shows some of the differences with respect to the classifications given above.

Analog and digital AM, PM and FM methods KORREKTUR

•  Analog amplitude modulation  $\rm (AM)$  is a linear method. The locus curve - that is, the equivalent low-pass signal  $s_{\rm TP}(t)$  represented in the complex plane - is a straight line.

• There are many similarities between  analog phase modulation  $\rm (PM)$  and  analog frequency modulation  $\rm (FM)$    ⇒ common description as angle modulation  $\rm (WM)$.  In that case, the locus curve is the arc of a circle. In harmonic oscillation, there is a line spectrum  $S(f)$  at multiples of the message frequency $f_{\rm N}$  around the carrier frequency  $f_{\rm T}$.

•  Digital amplitude modulation, referred to as either   Amplitude Shift Keying  $\rm (ASK)$  or as On–Off–Keying  $\rm (OOK)$ , is also linear. In the binary case, the locus curve consists of only two points.

• Since   binary phase modulation  $($Binary Phase Shift Keying,  $\rm BPSK)$  can be represented as  $\rm ASK$  with bipolar amplitude coefficients, it is also linear.  The shape of the BPSK power-spectral density is essentially determined by the magnitude square spectrum  $|G_s(f)|^2$  of the fundamental transmission pulse.

• However, this also means:  

1.   The BPSK spectral function is continuous in  $f$, unlike the analog phase modulation of a harmonic oscillation (which only has one frequency!).
2.   If one were to consider BPSK as (analog) phase modulation with digital source signal  $q(t)$ , then an infinite number of Bessel line spectra would have to be convolved together to calculate  ${\it Φ}_s(f)$  when  $Q(f)$  is represented as an infinite sum of individual frequencies.

• Since  quadrature amplitude modulation  with four signal space points   $\rm (4–QAM)$  can also be described as the sum of two mutually orthogonal, quasi-independent BPSK systems, it too represents a linear modulation scheme. The same applies to the  higher-level QAM methods  such as   $\rm 16–QAM$,   $\rm 64–QAM$, ...

• Higher-level   Phase Shift Keying, such as  $\rm 8–PSK$, is linear only in special cases, see [Klo01].  Digital frequency modulation  $($Frequency Shift Keying,  $\rm FSK)$  is always nonlinear. This method is described below, where we restrict our focus to the binary case  $\rm (2-FSK)$  beschränken.

FSK – Frequency Shift Keying

Wir gehen hier aus

• vom Sendesignal der analogen Frequenzmodulation,

$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [\psi(t)\big ] \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} \psi(t) = 2\pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + K_{\rm FM} \cdot \int q(t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t,$$

• dem rechteckförmigen Binärsignal mit  $a_ν ∈ \{+1, –1\}$   ⇒   bipolare Signalisierung:

$$q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_s (t - \nu \cdot T) \hspace{0.2cm} {\rm mit} \hspace{0.2cm} g_s(t) = \left\{ \begin{array}{l} A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} 0 < t < T\hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Fasst man die Amplitude  $A$  und die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$  zum Frequenzhub  (Definition siehe unten)

$${\rm \Delta}f_{\rm A} = \frac{A \cdot K_{\rm FM}}{2 \pi}$$

zusammen, so lautet das  FSK–Sendesignal  im  $ν$–ten Zeitintervall:

$$s(t) = s_0 \cdot \cos\hspace{-0.05cm}\big [2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$

Dieses lässt sich mit den beiden möglichen Signalfrequenzen

$$f_{\rm +1} = f_{\rm T} +{\rm \Delta}f_{\rm A} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = f_{\rm T} -{\rm \Delta}f_{\rm A}$$

auch in folgender Form schreiben:

$$s(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm +1} \cdot t ) \\ s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm -1} \cdot t ) \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} a_{ \nu} = +1 \hspace{0.05cm}, \\ a_{ \nu} = -1\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

• Zu jedem Zeitpunkt tritt also stets nur eine der beiden Frequenzen  $f_{+1}$  und  $f_{–1}$  auf. 
• Die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  selbst kommt im Signal nicht vor.

$\text{Definition:}$  Der  Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  ist in gleicher Weise definiert wie bei der analogen Frequenzmodulation, nämlich als die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t)$  von der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Manchmal wird der Frequenzhub in der Literatur auch mit  $Δf$  bzw.  $F$  bezeichnet.

Eine weitere wichtige Beschreibungsgröße ist in diesem Zusammenhang der "Modulationsindex", der ebenfalls bereits bei der analogen Frequenzmodulation als  $η = Δf_{\rm A}/f_{\rm N}$  definiert wurde.  Bei der FSK ist eine etwas andere Definition erforderlich, was hier durch einen anderen Kennbuchstaben berücksichtigt wird:   $η   ⇒   h$.

$\text{Definition:}$  Bei digitaler Frequenzmodulation (FSK) bezeichnet der  Modulationsindex   $h$  das Verhältnis aus dem Gesamtfrequenzhub und der Symbolrate  $1/T$:

$$h = \frac{2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{1/T} = 2 \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A}\cdot T \hspace{0.05cm}.$$

Manchmal wird in der Fachliteratur  $h$  auch als  Phasenhub  bezeichnet.

Signalverläufe  $q(t)$,  $z(t)$  und  $s(t)$  bei binärer FSK

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt unten das FSK–Sendesignal  $s(t)$  für

• das oben skizzierte binäre Quellensignal  $q(t)$  mit Amplitudenwerten  $\pm A =\pm 1 \ \rm V$, und
• das darunter gezeichnete Trägersignal  $z(t)$  mit vier Schwingungen pro Symboldauer  $(f_{\rm T} · T = 4)$.

Zugrunde liegt der Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2$.  Die beiden möglichen Frequenzen sind  $f_{\rm +1} = 5/T \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}f_{\rm -1} = 3/T \hspace{0.05cm}.$

Bei einem FSK–Übertragungssystem mit Bitrate  $1 \ {\rm Mbit/s} \ \ (T = 1 \ \rm µ s)$  müsste somit die folgende FM–Konstante verwendet werden:

$$K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} }{A } = \frac{2 \pi }{A \cdot T } \approx 6.28 \cdot 10^{6}\,\,{\rm V^{-1}s^{-1} }\hspace{0.05cm}.$$

Kohärente Demodulation der FSK

Die Grafik zeigt den bestmöglichen Demodulator für binäre FSK, der kohärent arbeitet und demzufolge auch Kenntnis über die Phasenlage des FSK–Signals benötigt.  Im Blockschaltbild ist dies berücksichtigt, indem das Empfangssignal  $r(t)$  gleich dem Sendesignal  $s(t)$  angenommen wurde – siehe Signalverläufe im vorherigen Abschnitt.

Kohärenter FSK–Demodulator

Dieser Demodulator arbeitet nach folgendem Prinzip (siehe obere Anordnung):

• Es handelt sich hierbei um einen  Maximum–Likelihood–Empfänger  $\rm (ML)$  in der Realisierungsform mit  Matched–Filter.  Dieses Filter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  kann bei dem vorausgesetzten rechteckförmigen Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  auch als Integrator realisiert werden.
• Die beiden Signale  $b_{+1}(t)$  bzw.  $b_{–1}(t)$  vor den jeweiligen Matched–Filtern ergeben sich durch die phasenrichtige Multiplikation mit den Schwingungen der Frequenzen  $f_{+1}$  bzw.  $f_{–1}$.
• Der Maximum–Likelihood–Empfänger entscheidet sich bekanntlich für den Zweig  (das Symbol)  mit der größeren „Metrik”, wobei das nachgeschaltete Matched–Filter zu berücksichtigen ist.  Das heißt:
• Wahrscheinlich wurde  $a_ν = +1$  gesendet, wenn folgende Relation erfüllt ist:

$$d_{\rm +1}(\nu \cdot T) > d_{\rm -1}(\nu \cdot T) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} d(\nu \cdot T) = d_{\rm +1}(\nu \cdot T) - d_{\rm -1}(\nu \cdot T) > 0\hspace{0.05cm}.$$

Das obere Blockschaltbild wurde zum besseren Verständnis entsprechend dieser Beschreibung gezeichnet.

• Natürlich kann man die Matched–Filterung aber auch auf die rechte Seite der Differenzbildung verschieben, wie im unteren Modell dargestellt.
• Dann muss nur noch ein Filter realisiert werden.

In  Aufgabe 4.13  wird dieser FSK–Demodulator ausführlich behandelt.  Auf dem entsprechenden Angabenblatt sehen Sie auch die entsprechenden Signalverläufe.

Fehlerwahrscheinlichkeit der orthogonalen FSK

$\text{Definition:}$  Man spricht von  orthogonaler FSK,

• wenn der Modulationsindex  $h$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.5$  ist, und damit
• der Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$  ein ganzzahliges Vielfaches von  $0.25/T$.

Beim kohärenten Demodulator ist der Korrelationskoeffizient zwischen  $d_{+1}(T_{\rm D})$  und  $d_{–1}(T_{\rm D})$  zu allen Detektionszeitpunkten gleich Null.  Der Betrag  $|d(T_{\rm D})|$ – also der Abstand der Detektionsabtastwerte von der Schwelle – ist somit konstant.  Es treten keine Impulsinterferenzen auf.

Geht man von den Voraussetzungen

• orthogonale FSK,
• AWGN–Kanal  $($gekennzeichnet durch den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0)$, und
• der hier beschriebenen kohärenten Demodulation

aus, so ergibt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/(2 N_0 }) \hspace{0.1cm}\right ).$$

Dies entspricht  gegenüber der BPSK  einer Degradation von  $3 \ \rm dB$, weil

• zwar der kohärente FSK–Demodulator bezüglich des Nutzsignals das gleiche Ergebnis liefert,
• auch die Rauschleistungen in den beiden Zweigen genau so groß sind wie bei der BPSK,
• es aber wegen der Subtraktion zu einer Verdopplung der Gesamtrauschleistung kommt.

Während aber bei der binären Phasenmodulation (BPSK) eine nichtkohärente Demodulation auf keinen Fall möglich ist, gibt es auch einen  nichtkohärenten FSK–Demodulator, allerdings mit etwas erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

Die Herleitung dieser Gleichung erfolgt im Kapitel  Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation  des Buches „Digitalsignalübertragung”.

Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung

Wir betrachten weiter die orthogonale FSK.  Die Grafik zeigt oben das Quellensignal  $q(t)$  und und darunter gezeichnet das FSK–Signal  $s_{\rm A}(t)$  mit dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T = 2$.  Zu den weiteren Signalverläufen ist Folgendes anzumerken:

Binäres FSK–Signale mit  $h = 2$,  $h = 1$  und  $h = 0.5$, teilweise mit Phasenanpassung

• Das FSK–Signal  $s_{\rm B}(t)$  verwendet die Momentanfrequenzen  $f_{+1} = 4.5/T$,  $f_{–1} = 3.5/T$   ⇒   $Δf_{\rm A} ·T = 0.5$   ⇒   $h = 1.$ Diese FSK ist wegen $h = 1$  $($Vielfaches von  $0.5)$ ebenfalls orthogonal.  Bei kleinerem  $h$  ist aber die Bandbreiteneffizienz besser   ⇒   das Spektrum  $S_{\rm B}(f)$  ist schmäler als  $S_{\rm A}(f)$.

• Allerdings erkennt man im Signal  $s_{\rm B}(t)$  an jeder Symbolgrenze einen Phasensprung um  $π$, wodurch sich wieder eine Verbreiterung des Spektrums ergibt.  Solche Phasensprünge lassen sich durch Phasenanpassung vermeiden.  Man spricht dann von  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$.

• Auch beim CPM–Signal  $s_{\rm C}(t)$  gilt  $f_{+1} = 4.5/T, f_{–1} = 3.5/T$  und  $h = 1$.  Im Bereich  $0$ ... $T$  wird der Koeffizient  $a_1 = +1$  mit  $\cos (2π·f_{+1}·t)$  repräsentiert,  im Bereich  $T$ ... $2T$  wird dagegen der ebenfalls positive Koeffizient  $a_2 = +1$  durch die um  $π$  verschobene Funktion  $\ –\cos (2π·f_{+1}·t)$  dargestellt.

• Der Modulationsindex  $h = 0.5$  von Signal  $s_{\rm D}(t)$  ist der kleinste Wert, der eine orthogonale FSK ermöglicht   ⇒   Bezeichnung  Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$.  Bei MSK sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.

Zur Verdeutlichung des hier dargelegten Sachverhaltens gibt es das interaktive Applet  Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation (CPM).

MSK – Minimum Shift Keying

Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe an verschiedenen Punkten des MSK–Senders. Man erkennt

• das digitale Quellensignal am Punkt  (1), eine Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Koeffizienten  $a_ν ∈ \{–1, +1\}$:

$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• das Rechtecksignal  $q_{\rm R}(t)$  am Punkt  (2)  nach Faltung mit dem Rechteckimpuls  $g(t)$  der Dauer  $T$  und der Höhe  $1/T$:

$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm},$$

• den  Frequenzmodulator  (Integrator und nachgeschalteter Phasenmodulator).  Für das Signal am Punkt  (3)  gilt:

$$\phi(t) = {\pi}/{2}\cdot \int_{0}^{t} q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

Die Phasenwerte bei Vielfachen der Symboldauer  $T$  sind Vielfache von  $π/2$, wobei der für das MSK–Verfahren gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist.  Der Phasenverlauf ist linear.  Daraus ergibt sich das MSK–Signal am Punkt  (4)  des Blockschaltbildes zu

$$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t + \phi(t)) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )) \hspace{0.05cm}.$$

Realisierung der MSK als Offset–QPSK

Durch einen modifizierten Betrieb von  Offset–QPSK  $\rm (O–QPSK)$  lässt sich auch Minimum Shift Keying  $\rm (MSK)$  realisieren.

Gegenüber dem herkömmlichen Offset–QPSK–Betrieb  (obere Grafik)  sind folgende Modifikationen zu berücksichtigen, die in der unteren Grafik rot hervorgehoben sind:

Herkömmliches O–QPSK und O–QPSK in MSK–Betriebsart

• Die Symboldauer  $T$  der MSK ist gleich der Bitdauer  $T_{\rm B}$  des binären Eingangssignals, während bei der originären O–QPSK  $T = 2 \cdot T_{\rm B}$  gilt.
• Anstelle der Seriell–Parallel–Wandlung und Signalraumzuordnung müssen nun die Quellensymbole umcodiert werden:  

$$a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k.$$

• Alle Amplitudenkoeffizienten  $a_k$  mit geradzahligem Index  $(a_0,\ a_2$, ...$)$  werden dem Diracpuls im oberen Zweig eingeprägt, während  $a_1,\ a_3$, ...  im unteren Zweig übertragen werden.
• Der Abstand der einzelnen Diracimpulse beträgt nun  $2T$  anstelle von  $T$  und der Versatz  ("Offset")  im Quadraturzweig ist nicht mehr  $T/2$, sondern  $T$.  In beiden Fällen ist der Offset gleich  $T_{\rm B}$.
• Während beim herkömmlichen O–QPSK–Betrieb jeder beliebige Grundimpuls  $g_s(t)$  möglich ist, zum Beispiel ein Rechteck– oder ein Wurzel–Nyquist–Impuls, gibt es für den MSK–Betrieb nur einen einzigen geeigneten Grundimpuls. Dieser erstreckt sich über zwei Symboldauern:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot \cos \big ({\pi/2 \cdot t}/T \big ) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

$\text{Beispiel 2:}$ 

Signalverläufe der O–QPSK im MSK–Betrieb

• Die Grafik zeigt oben das binäre bipolare Quellensignal  $q(t)$,
• in der Mitte die äquivalenten TP–Signale  $s_{\rm I}(t)$  und  $s_{\rm Q}(t)$  im  $\rm I$– und  $\rm Q$–Zweig,
• unten den Phasenverlauf  $ϕ(t)$  des gesamten MSK–Sendesignals  $s(t)$.

Die Umcodierung  $a_k = (–1)^{k+1} · a_{k–1} · q_k$  ist bereits berücksichtigt, ebenso der MSK–Grundimpuls:

$$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array} {l} s_0 \cdot \cos ({\pi \cdot t}/{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r} } \\{\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Man erkennt aus dem Vergleich des obersten und des untersten Diagramms:

• Der MSK–Phasenverlauf  $ϕ(t)$  ist abschnittsweise linear und steigt bzw. fällt innerhalb einer jeden Symboldauer um  $90^\circ \ (π/2)$, je nachdem, ob gerade  $q_k = +1$  oder  $q_k = -1$  anliegt.
• Das Sendesignal  $s(t)$  beinhaltet abschnittsweise die beiden Frequenzen  $f_{\rm T} ± 1/(4T)$.  Es hat prinzipiell den gleichen Verlauf wie das Signal  $s_{\rm D}(t)$  im Abschnitt  Binäre FSK mit kontinuierlicher Phasenanpassung.

Diese Form der MSK–Realisierung können Sie mit dem interaktiven Applet

 Quaternary Phase Shift Keying und Offset-QPSK 

bei folgenden Einstellungen darstellen:

• Offset–QPSK,
• MSK–Zuordnung,
• Cosinusimpuls.

General Description of Continuous Phase Modulation

Wir gehen weiter davon aus, dass die Quelle durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$  charakterisiert wird.  Diese können sowohl binär als auch  $M$–stufig sein.  Sie sind aber stets bipolar zu betrachten, zum Beispiel   $a_ν\in \{+1, -1\}$.

• Die  Phasenfunktion  $ϕ(t)$  kann bei  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$  allgemein in folgender Form dargestellt werden  $(h$  bezeichnet den Modulationsindex$)$:

$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot\int_{-\infty}^{t} \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (\tau - \nu \cdot T)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$

• In dieser Darstellung bezeichnet  $g(t)$  den  Frequenzimpuls, der folgende Bedingung erfüllen muss:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} g (t)\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 \hspace{0.05cm}.$$

• Mit dem  Phasenimpuls   $g_ϕ(t)$  gilt aber auch der folgende Zusammenhang:

$$\phi(t) = {\pi}\cdot h \cdot \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g_\phi (t - \nu \cdot T),\hspace{0.2cm}{\rm wobei}\hspace{0.2cm}g_\phi(t) = \int_{-\infty}^{t} g (\tau )\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau\hspace{0.05cm}.$$

Frequenzimpuls und Phasenimpuls einiger CPM–Varianten

Durch geeignete Wahl der Impulse  $g(t)$  bzw.  $g_ϕ(t)$  lassen sich viele CPM–Varianten realisieren. Einige davon sind nachfolgend dargestellt.

• Die Grafik zeigt jeweils oben den  CPM–Frequenzimpuls  $g(t)$  und unten den  CPM–Phasenimpuls  $g_ϕ(t)$.
• Die beiden linken Grafiken beschreiben die  $\rm MSK$.
• Die Bezeichnung  $\rm 1–REC$  gibt an, dass  $g(t)$  sich über eine einzige Symboldauer  $(T)$  erstreckt und rechteckförmig ist.

Die weiteren CPM–Varianten wurden mit dem Ziel entworfen, die bereits kleine Bandbreite des MSK–Signals weiter zu verringern:

• Bei  $\rm 1–RC$  ergibt sich allein durch den „weicheren” Raised–Cosine–Impuls  $g(t)$  gegenüber dem Rechteck ein schmaleres Leistungsdichtespektrum.
• Bei  $\rm 2–RC$  und  $\rm 2–REC$  handelt es sich um "Partial–Response"–Impulse, jeweils über  $2T$.  Dadurch wird der Phasenverlauf weicher.  Es wird aber auch die Demodulation erschwert, da in das Datensignal gezielte Pseudomehrstufigkeiten eingebracht werden.

Die Berechnung der CPM–Verfahren im Spektralbereich ist im allgemeinen kompliziert. Nur der Sonderfall „MSK” führt zu einfach handhabbaren Gleichungen, wie in der  Aufgabe A4.14  gezeigt wird.

$\text{Fazit:}$  Die  Continuous Phase Modulation  $\rm (CPM)$  ist keine Phasenmodulation, sondern ist eine  nichtlineare digitale Frequenzmodulation  $\rm (FSK)$, mit dem Ziel

• eine konstante Betragseinhüllende zu garantieren  (Einbrüche der Hüllkurve führen schon bei geringen Nichtlinearitäten zu Problemen), 
• einen stetigen Phasenverlauf zu ermöglichen  (Phasensprünge verbreitern das Spektrum).

Für genauere Informationen verweisen wir auf die Fachliteratur, zum Beispiel auf das empfehlenswerte Buch  [Kam04].

GMSK – Gaussian Minimum Shift Keying

Ein Vorteil der MSK ist der geringe Bandbreitenbedarf, weil:   Bandbreite ist stets teuer.

• Durch eine geringfügige Modifikation hin zum  Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$  wird das Spektrum weiter verschmälert.
• Diese Modulationsart wird zum Beispiel beim Mobilfunkstandard  GSM  angewendet.

Signalverläufe bei Gaussian Minimum Shift Keying  $\rm (GMSK)$

Aus der Grafik erkennt man:

• Der Frequenzimpuls  $g(t)= g_{\rm G}(t)$  ist nun nicht mehr rechteckförmig wie  $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf.

• Dadurch ergibt sich ein weicherer Phasenverlauf am Punkt  (3)  als bei  MSK, bei dem  $ϕ(t)$  symbolweise linear ansteigt / abfällt.

• Man erreicht die sanfteren GMSK–Phasenübergänge durch einen  Gaußtiefpass.  Dessen Frequenzgang und Impulsantwort lauten mit der systemtheoretischen Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:

$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (\frac{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$

• Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  (2)  ergibt sich aus der Faltung von  $g_{\rm R}(t)$  und  $h_{\rm G}(t)$.

• Das Signal  $s(t)$  am Punkt  (4)  weist bei GMSK nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf wie bei MSK, auch wenn dies aus obiger Grafik mit bloßem Auge schwer zu erkennen ist.

$\text{Beispiel 3:}$  Beim GSM–Verfahren ist die 3dB–Grenzfrequenz mit  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  spezifiziert, wobei zwischen der systemtheoretischen und der 3dB–Grenzfrequenz folgender Zusammenhang besteht:

$$H_{\rm G}(f= f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}dB}) = {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3 \hspace{0.03cm}{dB} } }/{2 f_{\rm G} })^2} = {1}/{\sqrt{2} }$$

$$\Rightarrow\hspace{0.15cm} f_{\rm 3 dB} = f_{\rm G} \cdot \sqrt { {4}/{\pi}\cdot {\rm ln }\sqrt{2} }\approx {2}/{3}\cdot f_{\rm G} \hspace{0.05cm}.$$

Aus  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  folgt damit auch  $f_{\rm G} · T ≈ 0.45$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.13: FSK–Demodulation

Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK

Aufgabe 4.14Z: Offset–QPSK vs. MSK

Aufgabe 4.15: MSK im Vergleich mit BPSK und QPSK

Aufgabe 4.15Z: MSK–Grundimpuls und MSK-Spektrum

Aufgabe 4.16: Vergleich zwischen binärer PSK und binärer FSK