Exercise 5.4: Sine Wave Generator

Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist:

$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$

Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte $y_\nu$ für Zeiten $\nu\lt 0$ identisch Null.
Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der z-Transformation:

$$z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 T} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right) + 1}}.$$

Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung $(M = 2)$ um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:

$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$

Im Bild ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ verzichtet werden kann.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gelte:

$$a_1 = 0.5,\quad b_1 = \sqrt 3 .$$

Fragebogen

$y_0 \ = $

$y_1 \ = $

$y_2 \ = $

$y_7 \ = $

$T_0/T\ = $

$a_1 \ = $

$b_1 \ = $

Musterlösung

Solution

(1) Die „$1$” am Eingang wirkt sich (wegen $a_0= 0$)am Ausgang erst zum Zeitpunkt $\nu = 1$ aus:

$$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$

Bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:

$$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$

(2) Für $\nu \ge 2$ ist das Filter rein rekursiv:

$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$

Insbesondere erhält man

$$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$

$$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$

$$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = {1}/{2};$$

$$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$$

$$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - 0.5}.$$

(3) Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe (2) erhält man für große $\nu$–Werte: $y_\nu = y_{\nu - 12} .$ Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:

$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$

Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung:

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot c{\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$

(4) Aus $f_0 = 10 \hspace{0.05cm} \rm kHz$ folgt $T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm \mu s$ bzw. $T_0/T = 100$. Damit erhält man:

$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$

$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$