Exercise 2.2Z: Power Consideration

Analytical signal - line spectrum

Let us consider two harmonic oscillations

$$ s_1(t) = A_1 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t ) \hspace{0.05cm},$$

$$s_2(t) = A_2 \cdot \cos(\omega_{\rm 2} \cdot t + \phi) \hspace{0.05cm},$$

where $f_2 ≥ f_1$ should hold for the frequencies.

The graph shows the spectrum of the analytical signal $s_+(t)$, which is additively composed of the two components $s_{1+}(t)$ and $s_ {2+}(t)$ .

Here, the transmission power $P_{\rm S}$ should be understood as the root mean square value of the signal $s(t)$ , averaged over the largest measurement period possible::

$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {s^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

According to this definition, if $s(t)$ describes a voltage waveform, $P_{\rm S}$ has unit $\rm V^2$ and refers to resistance $R = 1 \ \rm Ω$. Dividing by $R$ gives the physical power in $\rm W$.

Hints:

This exercise belongs to the chapter Double-Sideband Amplitude Modulation.
Reference is also made to the chapter Quality Criteria.
Use the numerical values $A_1 = 2\ \rm V$, $A_2 = 1 \ \rm V$ and $R = 50 \ \rm Ω$.

Questions

$P_1 \ = \ $

$\ \rm V^{ 2 }$

$P_1 \ = \ $

$\ \text{mW}$

$P_2 \ = \ $

$\ \rm V^{ 2 }$

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^{ 2 }$

$ϕ = 0\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^{ 2 }$

$ϕ = 90^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^{ 2 }$

$ϕ = 180^\circ\text{:}\hspace{0.3cm} P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm V^{ 2 }$

Solution

(1) Entsprechend den Gleichungen auf der Angabenseite gilt:

$$P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {A_1^2 \cdot \cos^2(\omega_{\rm 1} t + \phi_1) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Zur allgemeineren Berechnung ist die Phase $ϕ_1$ berücksichtigt, die hier eigentlich Null ist. Mit der Gleichung $\cos^{2}(α) = 0.5 · (1 + \cos(2α))$ ergibt sich:

$$ P_{\rm 1} = \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t + \lim_{T_{\rm M} \rightarrow \infty}\hspace{0.1cm}\frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm M}} {\frac{A_1^2}{2}\cdot \cos(2\omega_{\rm 1} t + 2\phi_1)}\hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}.$$

Der zweite Term liefert aufgrund der Integration über die Cosinusfunktion, der Division durch $T_{\rm M}$ und dem anschließenden Grenzübergang unabhängig von der Phase $ϕ_1$ keinen Beitrag. Damit erhält man:

$$P_{\rm 1} = \frac{A_1^2}{2} = \frac{(2\,{\rm V})^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit $R = 50\ \rm Ω$ erhält man für die „unnormierte” Leistung:

$$P_{\rm 1} = \frac{2\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 40\,{\rm mW}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Bereits in der Musterlösung zur Teilaufgabe (1) wurde gezeigt, dass die Phase keinen Einfluss auf die Leistung hat. Daraus folgt:

$$P_{\rm 2} = \frac{A_2^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Zur Leistungsberechnung muss über $s^{2}(t)$ gemittelt werden, wobei gilt:

$$s^2(t) = s_1^2(t) + s_2^2(t) + 2 \cdot s_1(t) \cdot s_2(t).$$

Aufgrund der Division durch die Messdauer $T_{\rm M}$ und des erforderlichen Grenzübergangs liefert der letzte Term unabhängig von der Phase $ϕ$ keinen Beitrag. Deshalb:

$$P_{\rm S} = P_{\rm 1} + P_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Mit $f_2 = f_1$ lautet das Spektrum des analytischen Signals:

$$S_+(f) = (A_{\rm 1} + A_{\rm 2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \phi})\cdot \delta (f - f_1) \hspace{0.05cm}.$$

Somit ergibt sich das Signal

$$s(t) = A_3 \cdot \cos(\omega_{\rm 1} t + \phi_3) \hspace{0.05cm},$$

dessen Phase $ϕ_3$ für die Leistungsberechnung keine Rolle spielt. Die Amplitude dieses Signals ist

$$A_3 = \sqrt{ \left(A_1 + A_2 \cdot \cos(\phi)\right)^2 + A_2^2 \cdot \sin^2(\phi)} = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 \cdot \cos(\phi)}\hspace{0.05cm}.$$

Für $ϕ = 0$ addieren sich die Amplituden skalar:

$$A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + 2 \cdot A_1 \cdot A_2 } = A_1 + A_2 = 3\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 4.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

Dagegen addieren sich die Amplituden für $ϕ = 90^\circ$ vektoriell ⇒ gleiches Ergebnis wie in der Teilaufgabe (4):

$$ A_3 = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 } = \sqrt{5}\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} = \frac{5\,{\rm V}^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$

Für $ϕ = 180^\circ$ überlagern sich die Cosinusschwingungen destruktiv:

$$A_3 = A_1 - A_2 = 1\,{\rm V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5\,{\rm V}^2}\hspace{0.05cm}.$$