Contents
- 1 Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit
- 2 Definition der Bitfehlerquote (1)
- 3 Definition der Bitfehlerquote (2)
- 4 Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (1)
- 5 Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (2)
- 6 Optimaler Binärempfänger - Realisierung mit Matched-Filter (1)
- 7 Optimaler Binärempfänger - Realisierung mit Matched-Filter (2)
- 8 Optimaler Binärempfänger – Realisierungsform „Integrate & Dump”
- 9 Interpretation des optimalen Empfängers
Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit
Die Grafik zeigt ein sehr einfaches, aber allgemeingültiges Modell eines binären Übertragungssystems.
Dieses lässt sich wie folgt charakterisieren:
- Die Quelle und die Sinke werden durch die beiden Binärfolgen 〈qν〉 und 〈υν〉 beschrieben.
- Das gesamte Übertragungsystem – bestehend aus Sender, Übertragungskanal inklusive Störungen und Empfänger – wird als „Black Box” mit binärem Ein– und Ausgang betrachtet.
- Dieser „Digitale Kanal” wird allein durch die Fehlerfolge 〈eν〉 charakterisiert. Bei fehlerfreier Übertragung des ν–ten Bits (υν = qν) gilt eν = 0, andernfalls (υν ≠ qν) wird eν = 1 gesetzt.
Diese statistische Größe ist das wichtigste Beurteilungskriterium eines jeden Digitalsystems.
Die Berechnung als Erwartungswert E[…..] gemäß dem ersten Teil der obigen Gleichung entspricht einer Scharmittelung über die Verfälschungswahrscheinlichkeit Pr(υν ≠ qν) des ν–ten Symbols, während die überstreichende Linie im rechten Teil eine Zeitmittelung kennzeichnet. Beide Berechnungsarten führen – unter der gerechtfertigten Annahme ergodischer Prozesse – zum gleichen Ergebnis, wie im Kapitel 4 des Buches „Stochastische Signaltheorie” gezeigt wurde.
Auch aus der Fehlerfolge 〈eν〉 lässt sich die Bitfehlerwahrscheinlichkeit als Erwartungswert bestimmen, wobei zu berücksichtigen ist, dass eν nur die Werte 0 und 1 annehmen kann:\[\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]= {\rm E}[{\it e_{\nu}}]\hspace{0.05cm}.\] Die obige Definition der Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt unabhängig davon, ob es statistische Bindungen innerhalb der Fehlerfolge 〈eν〉 gibt oder nicht. Je nachdem ist der Aufwand zur Berechnung von pB unterschiedlich groß und bei einer Systemsimulation müssen unterschiedliche digitale Kanalmodelle herangezogen werden. Im Kapitel 5 wird gezeigt, dass das sog. BSC–Modell (Binary Symmetrical Channel) statistisch unabhängige Fehler liefert, während für die Beschreibung von Bündelfehlerkanälen auf die Modelle von Gilbert–Elliott: .: Capacity of Burst–Noise Channel, In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266 and McCullough : The Binary Regenerative Channel, In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968 zurückgegriffen werden muss.
Definition der Bitfehlerquote (1)
Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB eignet sich zum Beispiel gut für die Konzipierung und Optimierung von Digitalsystemen. Diese ist eine Apriori-Kenngröße, die eine Vorhersage über das Fehlerverhalten eines Nachrichtensystems erlaubt, ohne dass dieses bereits realisiert sein muss.
Dagegen muss zur messtechnischen Erfassung der Qualität eines realisierten Systems oder bei einer Systemsimulation auf die Bitfehlerquote übergegangen werden, die durch den Vergleich von Quellen– und Sinkensymbolfolge ermittelt wird. Diese ist somit eine Aposteriori-Kenngröße des Systems.
Die Schreibweise hB(N) soll deutlich machen, dass die per Messung oder durch Simulation ermittelte Bitfehlerquote signifikant von dem Parameter N – also der Anzahl der insgesamt übertragenen oder simulierten Symbole – abhängt. Nach den elementaren Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung stimmt nur im Grenzfall N → ∞ die Aposteriori–Kenngröße hB mit der Apriori–Kenngröße pB exakt überein.
Der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit wird in einem Lernvideo zum Buch „Stochastische Signaltheorie” verdeutlicht:
Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen (Dateigröße: 1.97 MB, Dauer: 4:25)
Für die nachfolgende Herleitung wird das BSC–Modell zugrunde gelegt, das in Kapitel 5.2Please add link im Detail beschrieben wird. Jedes einzelne Bit wird mit der Wahrscheinlichkeit p = Pr(υν ≠ qν) = Pr(eν = 1) verfälscht, unabhängig von den Fehlerwahrscheinlichkeiten der benachbarten Symbole. Die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB ist somit ebenfalls gleich p.
Definition der Bitfehlerquote (2)
Nun soll abgeschätzt werden, wie genau die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB = p beim BSC-Modell durch die Bitfehlerquote hB approximiert wird. Dies geschieht in mehreren Schritten:
- Die Anzahl der Bitfehler bei der Übertragung von N Symbolen ist eine diskrete Zufallsgröße:\[n_{\rm B}(N) = \sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu} \hspace{0.2cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1, ... , N \}\hspace{0.05cm}.\]
- Bei statistisch unabhängigen Fehlern (BSC) ist nB binominalverteilt. Demzufolge gilt:\[m_{n{\rm B}}=N \cdot p_{\rm B},\hspace{0.2cm}\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}\hspace{0.05cm}.\]
- Für Mittelwert und Streuung der Bitfehlerquote hB = nB/N gilt deshalb:\[m_{h{\rm B}}= \frac{m_{n{\rm B}}}{N} = p_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\sigma_{h{\rm B}}= \frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}= \sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.05cm}.\]
- Nach Moivre und Laplace lässt sich die Binominalverteilung in eine Gaußverteilung überführen:\[f_{h{\rm B}}({h_{\rm B}}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{h{\rm B}}}\cdot {\rm exp} \left[-\frac{(h_{\rm B}-p_{\rm B})^2}{2 \cdot \sigma_{h{\rm B}}^2}\right].\]
- Mit dem Gaußschen Fehlerintergal Q(x) lässt sich somit die Wahrscheinlichkeit pε berechnen, dass die per Simulation/Messung über N Symbole ermittelte Bitfehlerquote hB(N) betragsmäßig um weniger als einen Wert ε von der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB abweicht:\[p_{\varepsilon}= {\rm Pr} \left( |h_{\rm B}(N) - p_{\rm B}| < \varepsilon \right) = 1 -2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{\varepsilon}{\sigma_{h{\rm B}}} \right)= 1 -2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{\varepsilon \cdot \sqrt{N}}{\sqrt{p_{\rm B} \cdot (1-p_{\rm B})}} \right)\hspace{0.05cm}.\]
Dieses Ergebnis ist wie folgt zu interpretieren: Wenn man unendlich viele Versuchsreihen über jeweils N Symbole durchführt, ist der Mittelwert mhB tatsächlich gleich der gesuchten Fehlerwahrscheinlichkeit pB. Bei einer einzigen Versuchsreihe wird man dagegen nur eine Näherung erhalten, wobei die jeweilige Abweichung vom Sollwert bei mehreren Versuchsreihen gaußverteilt ist.
\(\sigma_{h{\rm B}}= \sqrt{{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}/{N}}\approx 10^{-4}\hspace{0.05cm}.\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit einen Wert zwischen 0.9 · 10–3 und 1.1 · 10–3 (ε = 10–4) haben wird, ist somit gleich pε = 1 – 2 · Q(ε/σhB) = 1 – 2 · Q(1) ≈ 68.4%. Soll diese Wahrscheinlichkeit (Genauigkeit) auf 95% gesteigert werden, so müsste N auf 400 000 erhöht werden.
Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (1)
Entsprechend den Voraussetzungen zu diesem Kapitel gehen wir davon aus, dass das Detektionssignal zu den Detektionszeitpunkten wie folgt dargestellt werden kann:\[ d(\nu T) = d_{\rm S}(\nu T)+d_{\rm N}(\nu T)\hspace{0.05cm}. \]
Der Nutzanteil wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) fdS(dS) beschrieben, wobei wir hier von unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten pL = Pr(dS = –s0),
pH = Pr(dS = +s0) = 1– pL ausgehen. Die WDF fdN(dN) der Störkomponente ist gaußförmig und besitzt die Streuung σd.
Die WDF fd(d) der Detektionsabtastwerte d(νT) ergibt sich unter der Voraussetzung, dass dS(νT) und dN(νT) statistisch unabhängig voneinander sind („signalunabhängiges Rauschen”), als Faltungsprodukt:
\(f_d(d) = f_{d{\rm S}}(d_{\rm S}) \star f_{d{\rm N}}(d_{\rm N})\hspace{0.05cm}.\)
Der Schwellenwertentscheider mit der Schwelle E = 0 trifft dann eine falsche Entscheidung, wenn
- das Symbol L gesendet wurde (dS = –s0) und d > 0 ist (rote schraffierte Fläche), oder
- das Symbol H gesendet wurde (dS = +s0) und d < 0 ist (blaue schraffierte Fläche).
Da die Flächen der zwei Gaußkurven zusammen 1 ergeben, gibt die Summe aus der rot und der blau schraffierten Fläche die Bitfehlerwahrscheinlichkeit pB an. Die beiden grün schraffierten Flächen in der oberen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fdN(dN) sind – jede für sich – ebenfalls gleich pB.
Die anhand der Grafik veranschaulichten Ergebnisse sollen nun formelmäßig hergeleitet werden. Es gilt\[p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( \upsilon_\nu = \mathbf{H}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} q_\nu = \mathbf{L})+
p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( \upsilon_\nu = \mathbf{L}\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} q_\nu = \mathbf{H})\hspace{0.05cm}.\]
Hierbei sind pL und pH die Quellensymbolwahrscheinlichkeiten, während die jeweils zweiten, bedingten Wahrscheinlichkeiten Pr(υν | qν) die Verfälschungen durch den AWGN–Kanal beschreiben.
Aus der Entscheidungsregel des Schwellenwertentscheiders (mit Schwelle E = 0) ergibt sich auch:\[p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)>0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)<0) =\]
- \[= p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)<-s_0) \hspace{0.05cm}.\]
Die Herleitung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.
Fehlerwahrscheinlichkeit bei Gaußschem Rauschen (2)
Die weitere Herleitung soll nun Schritt für Schritt erfolgen. Ausgegangen wird von der Gleichung:\[p_{\rm B} = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)>0)+
p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d(\nu T)<0) =\]
- \[ = p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)+ p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)<-s_0) \hspace{0.05cm}.\]
- Die beiden Überschreitungswahrscheinlichkeiten in obiger Gleichung sind aufgrund der Symmetrie der Gaußschen WDF fdN(dN) gleich und es gilt:\[p_{\rm B} = (p_{\rm L} + p_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0) = {\rm Pr}( d_{\rm N}(\nu T)>s_0)\hspace{0.05cm}.\]
- Das bedeutet, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei einem Binärsystem mit der Schwelle E = 0 nicht von den Symbolwahrscheinlichkeiten pL und pH = 1 – pL abhängt.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass der gaußverteilte Stör– bzw. Rauschterm mit Streuung σd größer ist als die NRZ–Sendeimpulsamplitude s0, ergibt sich zu\[p_{\rm B} = \int_{s_0}^{+\infty}f_{d{\rm N}}(d_{\rm N})\,{\rm d} d_{\rm N} = \frac{\rm 1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma_d}\int_{ s_0}^{+\infty}{\rm exp} \left [-\frac{d_{\rm N}^2}{2\sigma_d^2} \right ]\,{\rm d} d_{\rm N}\hspace{0.05cm}.\]
- Unter Verwendung des komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet das Ergebnis\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.\]
- Häufig – insbesondere in der englischsprachigen Literatur – wird anstelle der Funktion Q(x) die vergleichbare komplementäre Error Function erfc(x) verwendet. Mit dieser gilt:\[p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2}\cdot \sigma_d}\right)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} {\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.\]
Beide Funktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. Nachfolgend finden Sie ein Interaktionsmodul zur Berechnung der Funktionswerte von Q(x) und 1/2 · erfc(x):
Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Zur Auswertung obiger Gleichungen ist nach Ansicht des Autors bei der Basisbandübertragung die Q–Funktion besser geeignet. Aber das ist natürlich Geschmacksache.
Mit s0/σd = 4 erhält man für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
\[p_{\rm B} = {\rm Q} (4) = 0.317 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},\]
\[p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( {4}/{\sqrt{2}})= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.828)\approx {1}/{2} \cdot {\rm erfc} ( 2.8)= 0.375 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.\]
Richtig ist der erste Wert. Bei der zweiten Berechnungsart muss man runden oder – noch besser – interpolieren, was aufgrund der starken Nichtlinearität dieser Funktion sehr schwierig ist.
Außerhalb von Übungsbeispielen wird s0/σd in der Regel einen „krummen” Wert besitzen. In diesem Fall bietet „Q(x)” natürlich keinen Vorteil gegenüber „erfc(x)”.
Optimaler Binärempfänger - Realisierung mit Matched-Filter (1)
Für das Folgende wird von den im Kapitel 1.1 genannten Voraussetzungen ausgegangen. Dann kann man für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Empfängerfilters ansetzen:\[H_{\rm E}(f) = {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm E}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/T \\
1/(2T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|< T/2 \hspace{0.05cm},\\
|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|= T/2 \hspace{0.05cm},\\
|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|>T/2 \hspace{0.05cm}. \\
\end{array}\]
Aufgrund der Linearität kann für das Detektionsnutzsignal geschrieben werden:\[d_{\rm S}(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_d ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm}g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm E}(t) \hspace{0.05cm}.\]
Die Faltung zweier Rechtecke gleicher Breite T ergibt einen dreieckförmigen Detektionsgrundimpuls gd(t) mit
gd(t = 0) = s0.
Wegen gd(|t| ≥ T) = 0 ist das System
impulsinterferenzfrei; es gilt dS(νT) = ±s0.
Die Varianz des Detektionsstörsignals dN(t) – also die Detektionsstörleistung – lautet:\[\sigma _d ^2 = \frac[[:Template:N 0]]{2} \cdot \int_{ - \infty }^{
+ \infty } {\left| {H_{\rm E}( f )} \right|^2
\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = \frac[[:Template:N 0]]{2} \cdot \int_{-
\infty }^{+ \infty } {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f =
\frac[[:Template:N 0]]{2T} \hspace{0.05cm}.\]
Damit ergeben sich für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit folgende Gleichungen:\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}}\right)= {\rm Q} \left(
\sqrt{\rho_d}\right)\hspace{0.05cm},\]
\[p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{{
s_0^2 \cdot T}/{N_0}}\right)= {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left(
\sqrt{{\rho_d}/{2}}\right)
\hspace{0.05cm}.\]
ρd ist das momentane Signal–zu–Stör–Leistungsverhältnis (SNR) des Detektionssignals d(t) zu den Zeitpunkten νT. Wir nennen es im Folgenden kurz „Detektions–SNR”. Es gilt die Definition\[\rho_d = \frac{d_{\rm S}^2(\nu T)}{{\rm E}[d_{\rm N}^2(\nu T)]}= \frac{s_0^2}{\sigma _d ^2}
\hspace{0.05cm}.\]
Optimaler Binärempfänger - Realisierung mit Matched-Filter (2)
Ein Vergleich der Ergebnisse der letzten Seite mit Kapitel 5.4 von Buch „Stochastische Signaltheorie” zeigt, dass das Empfangsfilter
HE(f) ein an den Sendegrundimpuls gs(t) angepasstes Matched–Filter ist:\[H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) = K_{\rm MF}\cdot G_s^*(f)\hspace{0.05cm}.\]
Gegenüber der Seite Matched–Filter–Optimierung sind hier folgende Modifikationen berücksichtigt::
- Die Matched–Filter–Konstante ist hier zu KMF = 1/(s0 · T) gesetzt. Damit ist der Frequenzgang HMF(f) dimensionslos.
- Der im allgemeinen frei wählbare Detektionszeitpunkt ist hier zu TD = 0 gewählt. Damit ergibt sich allerdings ein akausales Filter.
- Das Detektions–SNR kann für jeden beliebigen Sendegrundimpuls gs(t) mit Spektrum Gs(f) wie folgt dargestellt werden, wobei sich die rechte Identität aus dem Parsevalschen Theorem ergibt:\[\rho_d = \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}\hspace{0.4cm}{\rm mit}\hspace{0.4cm} E_{\rm B} = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t = \int^{+\infty} _{-\infty} |G_s(f)|^2\,{\rm d}f\hspace{0.05cm}.\]
- EB wird oft als Energie pro Bit bezeichnet und EB/N0 – fälschlicherweise – als SNR. Bei binärer Basisbandübertragung unterscheidet sich EB/N0 vom tatsächlichen SNR ρd um den Faktor 2.
- Die auf der letzten Seite hergeleitete Bitfehlerwahrscheinlichkeit kann somit auch in der folgenden Weise geschrieben werden:\[p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)= {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right) \hspace{0.05cm}.\]
Die Eigenschaften des Matched-Filters werden in folgendem Interaktionsmodul behandelt: Zur Verdeutlichung des Matched-Filters.
Optimaler Binärempfänger – Realisierungsform „Integrate & Dump”
Bei rechteckförmigen NRZ–Sendeimpulsen kann das Matched–Filter auch als Integrator (jeweils über eine Symboldauer T) realisiert werden. Damit gilt für das Detektionssignal zu den Detektionszeitpunkten:\[d(\nu \cdot T + T/2) = \frac {1}{T} \cdot \int^{\nu \cdot T + T/2} _{\nu \cdot T - T/2} r(t)\,{\rm
d}t \hspace{0.05cm}.\]
Die folgende Grafik verdeutlicht die Unterschiede bei der Realisierung des optimalen Binärempfängers mit Matched–Filter (MF) ⇒ mittlere Skizze bzw. als „Integrate & Dump” (I&D) ⇒ untere Skizze.
Man erkennt aus diesen Signalverläufen:
- Das Detektionsnutzsignal dS(t) ist zu den Detektionszeitpunkten in beiden Fällen gleich ±s0.
- Die unterschiedlichen Detektionszeitpunkte sind darauf zurückzuführen, dass das Matched–Filter im Gegensatz zu „Integrate & Dump” als akausal angesetzt wurde (siehe letzte Seite).
- Beim MF–Empfänger ist die Varianz des Detektionsstörsignals zu allen Zeiten t gleich:\[{\rm E}[d_{\rm N}^2(t)]= {\sigma _d ^2} = {\rm const.}\]
- Dagegen nimmt beim I&D–Empfänger die Varianz von Symbolanfang bis Symbolende zu.
- Zu den Detektionszeitpunkten νT ist die Detektionsstörleistung in beiden Fällen gleich, so dass sich die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt. Mit EB = s02 · T gilt nämlich:\[\sigma _d ^2 = \frac[[:Template:N 0]]{2} \cdot \int_{- \infty }^{ +\infty } {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = \frac[[:Template:N 0]]{2T} \hspace{0.05cm}\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{ s_0^2 / \sigma _d ^2} \right)= {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right) \hspace{0.05cm}.\]
Interpretation des optimalen Empfängers
In diesem Abschnitt wurde gezeigt, dass mit einem Empfänger, bestehend aus linearem Empfangsfilter und nichtlinearem Entscheider, die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen ist:\[ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)
= [[:Template:1]]/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{{ E_{\rm B}}/{N_0}}\right) \hspace{0.05cm}.\]
Die sich ergebende Konfiguration ist ein Sonderfall des sog. Maximum–Aposteriori–Empfängers (MAP), der im Kapitel 3.7Please add link dieses Buches behandelt wird.
Für die Gültigkeit obiger Gleichung müssen allerdings eine Reihe von Voraussetzungen erfüllt sein::
- Das Sendesignal s(t) ist binär sowie bipolar (antipodisch) und weist pro Bit die (mittlere) Energie EB auf. Die (mittlere) Sendeleistung ist somit EB/T.
- Es liegt ein AWGN–Kanal (Additive White Gaussian Noise) mit der konstanten (einseitigen) Rauschleistungsdichte N0 vor.
- Das Empfangsfilter HE(f) ist bestmöglich an das Sendegrundimpulsspektrum Gs(f) entsprechend dem Matched–Filter–Kriterium angepasst.
- Der Entscheider (Schwellenwert, Detektionszeitpunkte) sei optimal. Eine kausale Realisierung des Matched–Filters kann man durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes ausgleichen.
- Obige Gleichung gilt unabhängig vom Sendegrundimpuls gs(t). Allein die für die Übertragung eines Binärsymbols aufgewendete Energie EB ist entscheidend für die Fehlerwahrscheinlichkeit.
- Voraussetzung für die Anwendbarkeit obiger Gleichung ist, dass die Detektion eines Symbols nicht durch andere Symbole beeinträchtigt wird. Solche Impulsinterferenzen vergrößern pB enorm.
- Ist die absolute Sendeimpulsdauer TS kleiner oder gleich dem Symbolabstand T, so ist obige Gleichung bei Erfüllung des Matched-Filter-Kriteriums immer anwendbar.
- Die Gleichung gilt auch für Nyquistsysteme, bei denen zwar TS > T gilt, es aber aufgrund von äquidistanten Nulldurchgängen des Grundimpulses gd(t) nicht zu Impulsinterferenzen kommt.
